2022年高考數(shù)學第二輪復習 專題六 解析幾何第1講 直線與圓 理

2022年高考數(shù)學第二輪復習 專題六 解析幾何第1講 直線與圓 理真題試做1(xx·陜西高考，理4)已知圓C：x2y24x0，l是過點P(3,0)的直線，則()Al與C相交 Bl與C相切Cl與C相離 D以上三個選項均有可能2(xx天津高考，理8)設m，nR，若直線(m1)x(n1)y20與圓(x1)2(y1)21相切，則mn的取值范圍是()A1，1B(，11，)C22，22D(，2222，)3(xx·重慶高考，理3)對任意的實數(shù)k，直線ykx1與圓x2y22的位置關系一定是()A相離 B相切C相交但直線不過圓心 D相交且直線過圓心4(xx·江蘇高考，12)在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2y28x150，若直線ykx2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是_5(xx·江西高考，文14)過直線xy20上點P作圓x2y21的兩條切線，若兩條切線的夾角是60°，則點P的坐標是_6(xx·浙江高考，文17)定義：曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離已知曲線C1：yx2a到直線l：yx的距離等于曲線C2：x2(y4)22到直線l：yx的距離，則實數(shù)a_.考向分析直線與方程是解析幾何的基礎，高考中主要考查基本概念和求在不同條件下的直線方程；直線平行與垂直的關系的判定；兩條直線的交點和距離問題等，一般以選擇題、填空題的形式考查對于圓的考查，主要是結合直線的方程用幾何法或待定系數(shù)法確定圓的標準方程及一般方程；利用圓的性質(zhì)求動點的軌跡方程；直線與圓，圓與圓的位置關系等問題，其中含參數(shù)問題為命題熱點一般以選擇題、填空題的形式考查，難度不大，從能力要求看，主要考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結合思想以及分析問題與解決問題的能力熱點例析熱點一直線方程與兩條直線的位置關系經(jīng)過點P(2，3)作圓(x1)2y225的弦AB，使點P為弦AB的中點，則弦AB所在直線方程為()Axy50 Bxy50Cxy50 Dxy50規(guī)律方法 (1)求直線方程的方法直接法：直接選用恰當?shù)闹本€方程的形式，寫出結果；待定系數(shù)法：先由直線滿足的一個條件設出直線方程，使方程中含有一待定系數(shù)，再由題目中另一條件求出待定系數(shù)(2)兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1l2k1k2，l1l2k1k21；兩條不重合的直線a1xb1yc10和a2xb2yc20平行的充要條件為a1b2a2b10且a1c2a2c1或b1c2b2c1；兩條直線a1xb1yc10和a2xb2yc20垂直的充要條件為a1a2b1b20.判定兩直線平行與垂直的關系時，如果給出的直線方程中存在字母系數(shù)，不僅要考慮斜率存在的情況，還要考慮斜率不存在的情況(3)忽視對直線方程中的字母分類討論而丟解或增解直線方程的截距式1中，有ab0的限制，而截距可以取正數(shù)、負數(shù)和零，所以需要對a，b分類討論，否則容易造成丟解如過點P(2，1)，在x軸，y軸上的截距分別為a，b，且滿足a3b的直線易漏掉過原點的情形變式訓練1 (1)“a3”是“直線ax2y10與直線6x4yc0平行”的_條件()A充要B充分而不必要C必要而不充分D既不充分也不必要(2)已知圓C過點(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線l：yx1被圓C所截得的弦長為2，則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為_熱點二圓的方程【例2】已知圓C經(jīng)過點A(1,3)，B(2,2)，并且直線m：3x2y0平分圓的面積求圓C的方程規(guī)律方法 圓的方程的求法求圓的方程一般有兩類方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關系，從而求得圓的基本量和方程；(2)代數(shù)法，用待定系數(shù)法先設出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)，從而求得圓的方程一般采用待定系數(shù)法特別提醒：圓心到切線的距離等于半徑，該結論在解題過程中經(jīng)常用到，需牢記變式訓練2 我們把圓心在一條直線上且相鄰兩圓彼此外切的一組圓叫做“串圓”在如圖所示的“串圓”中，圓C1和圓C3的方程分別為x2+y21和(x3)2+(y4)21，則圓C2的方程為_.熱點三直線與圓的位置關系【例3】如圖所示，已知以點A(1,2)為圓心的圓與直線l1：x2y70相切過點B(2,0)的動直線l與圓A相交于M，N兩點，Q是MN的中點，直線l與l1相交于點P.(1)求圓A的方程；(2)當|MN|2時，求直線l的方程；(3)是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請說明理由規(guī)律方法 (1)研究直線與圓的位置關系最基本的解題方法為代數(shù)法，將幾何問題代數(shù)化，利用函數(shù)與方程思想解題(2)與弦長有關的問題常用幾何法，即利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，及半弦長，構成直角三角形的三邊，利用其關系來處理變式訓練3 已知直線l：2mxy8m30和圓C：(x3)2(y6)225.(1)證明：不論m取什么實數(shù)，直線l與圓C總相交；(2)求直線l被圓C截得的線段的最短長度以及此時直線l的方程思想滲透1數(shù)形結合思想解答與圓有關的范圍問題時，經(jīng)常以形助數(shù)，巧妙破解【典型例題1】若直線yxb與曲線y3有公共點，則b的取值范圍是()A1,12 B12，12C12，3 D1，3解析：方程yxb表示斜率為1的平行直線系，曲線方程可化為(x2)2(y3)24(1y3)表示圓心為(2,3)，半徑為2的下半圓如圖所示，當直線yxb與半圓相切時須滿足圓心(2,3)到直線xyb0的距離等于2，即2，解得b12或b12(舍)當直線yxb過點(0,3)時，可得b3，由圖可知滿足題意的b的取值范圍為12b3.答案：C2分類討論思想遇到字母時往往要對其進行討論【典型例題2】試判斷方程x2y24x2my80表示的曲線類型解：將x2y24x2my80配方，得(x2)2(ym)2m24.(1)當m240，即m2或m2時，原方程表示以(2，m)為圓心，為半徑的圓；(2)當m240，即m±2時，原方程表示點(2，2)或(2,2)；(3)當m240，即2m2時，原方程不表示任何曲線1“ab”是“直線yx2與圓(xa)2(yb)22相切”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件2已知圓C與直線xy0及xy40都相切，圓心在直線xy0上，則圓C的方程為()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)223(xx·安徽安慶二模，5)已知圓C：x2y22x4y40，直線l：2xy0，則圓C上的點到直線l的距離最大值為()A1 B2 C3 D44(xx·山東濰坊二模，14)若a，b，c是RtABC的三邊的長(c為斜邊長)，則圓C：x2y24被直線l：axbyc0所截得的弦長為_5(xx·吉林長春實驗中學二模，14)圓心在直線x2y10上，且經(jīng)過原點和點(2,1)的圓的方程為_6(xx·湖北武昌5月模擬，13)在圓x2y24上的點，與直線l：4x3y120的距離的最小值是_7已知直線l過點P(0,2)，斜率為k，圓Q：x2y212x320.(1)若直線l和圓相切，求直線l的方程；(2)若直線l和圓交于A，B兩個不同的點，問是否存在常數(shù)k，使得與共線？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由參考答案命題調(diào)研·明晰考向真題試做1A解析：由題意可知圓心坐標為(2,0)，半徑r2.因為點P(3,0)到圓心的距離d12，所以點P在圓內(nèi)故直線l與圓C相交2D解析：直線與圓相切，1，|mn|，即：mnmn1，設mnt，則mn2，t1，t24t40，解得：t22或t22.3C解析：直線ykx1過定點(0,1)，而02122，所以點(0,1)在圓x2y22內(nèi)部，直線ykx1與圓x2y22相交且直線不經(jīng)過圓心，故選C.4解析：圓C的方程可化為(x4)2y21，直線ykx2是過定點(0，2)的動直線圓心C到直線ykx2的距離d，要使其滿足已知條件，則需d11，即11，解得0k.故k的最大值為.5(，)解析：如圖所示，過P點作圓x2y21的兩條切線，切點分別為A，B，由已知得，APO30°，所以|PO|2.設P點坐標為(x0，y0)，則解得故所求坐標為(，)6解析：x2(y4)22到直線yx的距離為，所以yx2a到y(tǒng)x的距離為，而與yx平行且距離為的直線有兩條，分別是yx2與yx2，而拋物線yx2a開口向上，所以yx2a與yx2相切，可求得a.精要例析·聚焦熱點熱點例析【例1】A解析：設圓心為C，則AB垂直于CP.kCP1，故直線AB：y3x2，即xy50，故選A.【變式訓練1】(1)C解析：兩條直線平行的充要條件是：，即故“a3”是“直線ax2y10與直線6x4yc0平行”的必要而不充分條件(2)xy30解析：設圓心坐標為(x0,0)(x00)由于圓過點(1,0)，則半徑r|x01|，圓心到直線l的距離d.由弦長為2可知2(x01)22，整理得(x01)24.x01±2，x03或x01(舍去)因此圓心為(3,0)，由此可求得過圓心且與直線yx1垂直的直線方程為y(x3)，即xy30.【例2】解：由已知得，線段AB的中點E，kAB1，故線段AB的中垂線方程為yx，即xy10.因為圓C經(jīng)過A，B兩點，故圓心在線段AB的中垂線上，又因為直線m：3x2y0平分圓的面積，所以直線m經(jīng)過圓心由解得即圓心C(2,3)而圓的半徑r|CB|1，所以圓C的方程為(x2)2(y3)21.【變式訓練2】2(y2)2解析：易求出C1(0,0)，半徑r11，圓心C3(3,4)，半徑r31.設圓C2的圓心坐標為C2(a，b)，半徑r2，據(jù)題意即可解出故圓C2的方程為2(y2)2.【例3】解：(1)設圓A的半徑為R.圓A與直線l1：x2y70相切，R2.圓A的方程為(x1)2(y2)220.(2)當直線l與x軸垂直時，易知x2符合題意；當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為yk(x2)，即kxy2k0.連接AQ，則AQMN.|MN|2，|AQ|1.由|AQ|1，得k，直線l的方程為3x4y60.所求直線l的方程為x2或3x4y60.(3)AQBP，.當直線l與x軸垂直時，得P，則.又(1,2)，.當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為yk(x2)由解得P，5.綜上所述，是定值，且.【變式訓練3】(方法一)(1)證明：設圓心C到直線l的距離為d，則有d，整理可得4(d21)m212md290，為使上面關于m的方程有實數(shù)解，則12216(d21)(d29)0，解得0d.可得d5，故不論m為何實數(shù)，直線l與圓C總相交(2)解：由(1)可知0d，即d的最大值為.根據(jù)平面幾何知識可知：當圓心到直線l的距離最大時，直線l被圓C截得的線段長度最短當d時，線段(即弦)的最短長度為22.將d代入可得m，代入直線l的方程得直線被圓C截得最短線段時l的方程為x3y50.(方法二)(1)證明：將直線l的方程變形有：m(2x8)y30，解得知直線l過定點A(4，3)又(43)2(36)225，A點在圓C內(nèi)部，因此直線l與圓C總相交(2)同方法一創(chuàng)新模擬·預測演練1A解析：直線yx2與圓(xa)2(yb)22相切圓心(a，b)到直線yx2的距離dr，即，|ab2|2.解得ab0或ab4，故選A.2B解析：由圓心在直線xy0上，不妨設為C(a，a)，r，解得a1，r，圓C的方程為(x1)2(y1)22.3C解析：可利用數(shù)形結合法進行分析解決425.22解析：設所求圓的方程為(xa)2(yb)2r2，由題設可得解此方程組，得所以所求圓的方程為22.6解析：圓的半徑是2，圓心O(0,0)到l：4x3y120的距離d，所以圓x2y24上的點與直線l：4x3y120的距離的最小值是2.7解：(1)將圓的方程化簡，得(x6)2y24.圓心Q(6,0)，半徑r2.直線l的方程為：ykx2，故圓心到直線l的距離d，因為直線l和圓相切，故dr，即2，解得k0或k，所以，直線l的方程為y2或3x4y80.(2)將直線l的方程和圓的方程聯(lián)立得消y得(1k2)x24(k3)x360，因為直線l和圓相交，故4(k3)24×36×(1k2)0，解得k0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有而y1y2kx12kx22k(x1x2)4，(x1x2，y1y2)，(6，2)因為與共線，所以2×(x1x2)6×(y1y2)，即(13k)(x1x2)120，代入得(13k)120，解得k.又因為k0，所以沒有符合條件的常數(shù)k.