四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第一章 簡易邏輯綜合檢測 新人教A版選修1 -1

四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第一章 簡易邏輯綜合檢測 新人教A版選修1 -1一、選擇題1.命題“若x2<4,則-2<x<2”的逆否命題是().A.若x24,則x2或x-2B.若-2<x<2,則x2<4C.若x>2或x<-2,則x2>4D.若x2或x-2,則x24【解析】命題“若p,則q”的逆否命題為“若q,則p”.故選D.【答案】D2.設(shè)p:log2x<0,q:2x2,則p是q的().A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】p:log2x<0,即0<x<1;q:2x2,即x1.q:x<1,p是q的充分不必要條件,故選A.【答案】A3.“>”是“sin >sin ”成立的( ).A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】取=180°,=30°,則>,但sin 30°>sin 180°,所以充分性不成立;反過來,取=30°,=180°,可以得出必要性也不成立.故選D.【答案】D4.下列結(jié)論正確的是().A.若向量ab,則存在唯一實數(shù)使a=bB.已知向量a,b為非零向量,則“a,b的夾角為鈍角”的充要條件是“a·b<0”C.“若=,則cos =”的否命題為“若,則cos ”D.若命題p:xR,x2-x+1<0,則p:xR,x2-x+1>0【解析】選項A中,若b為零向量,a為非零向量,則不存在實數(shù),使a=b;選項B中,當(dāng)a,b的夾角為180°時,也有a·b<0;選項D中,p應(yīng)為“xR,x2-x+10”.故選C.【答案】C5.已知命題p:xR,2x<3x;命題q:xR,x3=1-x2,則下列命題中為真命題的是().A.pqB.(p)qC.p(q)D.(p)(q)【解析】因為當(dāng)x=-1時,2-1>3-1,所以命題p:xR,2x<3x為假命題,則p為真命題.令f(x)=x3+x2-1,因為f(0)=-1<0,f(1)=1>0,所以函數(shù)f(x)=x3+x2-1在(0,1)上存在零點,即命題q:xR,x3=1-x2為真命題.所以(p)q為真命題.故選B.【答案】B6.已知命題p:若不等式x2+x+m>0恒成立,則m>命題q:在ABC中,“A>B”是“sin A>sin B”的充要條件,則().A.p假q真B.“pq”為真C.“pq”為假D.p假q真【解析】易判斷出命題p為真命題,命題q為真命題,所以p為假命題,q為假命題,結(jié)合各選項知B正確.【答案】B7.給定兩個命題p,q,若p是q的充分不必要條件,則q是p的().A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】因為p是q的充分不必要條件,所以pq,q/ p,所以qp,p/ q,所以q是p的充分不必要條件.【答案】C8.下列有關(guān)命題的敘述,錯誤的個數(shù)為().若pq為真命題,則pq為真命題;“x>5”是“x2-4x-5>0”的充分不必要條件;若命題p:x0R,使得+x0-1<0,則p:xR,使得x2+x-10;命題“若x2-3x+2=0,則x=1或x=2”的逆否命題為“若x1或x2,則x2-3x+20”.A.1B.2 C.3 D.4【解析】若pq為真命題,則p,q中至少有一個為真,所以pq不一定為真,所以錯誤.由x2-4x-5>0得x>5或x<-1,所以“x>5”是“x2-4x-5>0”的充分不必要條件,所以正確.由特稱命題的否定是全稱命題知正確.“若x2-3x+2=0,則x=1或x=2”的逆否命題為“若x1且x2,則x2-3x+20”,故錯誤.【答案】B9.下列說法正確的個數(shù)是().若命題p:xR,使得x2+x-1<0,則p:xR,均有x2+x-1>0;若p是q的必要不充分條件,則p是q的充分不必要條件;命題“若x=y,則sin x=sin y”的逆否命題為真命題;“m=-1”是“直線l1:mx+(2m-1)y+1=0與直線l2:3x+my+3=0垂直”的充要條件.A.1B.2C.3D.4【解析】若命題p:xR,使得x2+x-1<0,則p:xR,均有x2+x-10,因此不正確.若p是q的必要不充分條件,則p是q的充分不必要條件,因此正確.因為命題“若x=y,則sin x=sin y”是真命題,所以其逆否命題也為真命題,因此正確.當(dāng)m=0時,直線l1:mx+(2m-1)y+1=0與直線l2:3x+my+3=0垂直;當(dāng)m0時,若兩條直線垂直,則-×=-1,解得m=-1.所以“m=-1”是“直線l1:mx+(2m-1)y+1=0與直線l2:3x+my+3=0垂直”的充分不必要條件,因此不正確.綜上可得,正確說法的個數(shù)為2.【答案】B10.已知命題p:函數(shù)f(x)=x2-2mx+4在2,+)上單調(diào)遞增;命題q:關(guān)于x的不等式mx2+2(m-2)x+1>0對任意的xR恒成立.若pq為真命題,pq為假命題,則實數(shù)m的取值范圍為().A.(1,4) B.-2,4 C.(-,1(2,4)D.(-,1)(2,4)【解析】當(dāng)命題p為真命題時,函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x=m,m2.當(dāng)命題q為真命題時,若m=0,則原不等式為-4x+1>0,該不等式的解集不為R,不符合條件;若m0,則有解得1<m<4.pq為真,pq為假,p與q必定一真一假.若p真q假,則有解得m1;若p假q真,則有解得2<m<4.綜上所述,m的取值范圍是(-,1(2,4).【答案】C11.有下列四個說法:命題“若=,則tan =1”的逆否命題為假命題;命題p:xR,sin x1,則p:x0R,sin x0>1;“=+k(kZ)”是“函數(shù)y=sin(2x+)為偶函數(shù)”的充要條件;命題p:x0R,使sin x0+cos x0=;命題q:若sin >sin ,則>,那么(p)q為真命題.其中正確的個數(shù)是( ).A.4B.3C.2D.1 【解析】因為中的原命題為真,所以其逆否命題也為真,所以錯誤.由全稱命題的否定是特稱命題知正確.當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)時,有=+k(kZ),所以其為充要條件,所以正確.因為sin x+cos x=sin的最大值為<,所以命題p為假命題,p為真命題,又因為三角函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào),所以q為假命題,所以(p)q為假命題,所以錯誤.所以正確的個數(shù)為2.【答案】C12.已知a>0,則x0滿足關(guān)于x的方程ax=b的充要條件是().A.x0R,ax2-bxa-bx0B.x0R,ax2-bxa-bx0C.xR,ax2-bxa-bx0D.xR,ax2-bxa-bx0【解析】因為x0滿足方程ax=b,所以x0=.而ax2-bx-=ax2-bx-a·+b·=ax2-bx+,令h(x)=ax2-bx+,則其對應(yīng)的一元二次方程ax2-bx+=0的判別式=b2-4·a·=0.又a>0,故對xR,有h(x)0恒成立,即對xR,ax2-bxa-bx0恒成立.【答案】D二、填空題13.已知命題p:函數(shù)f(x)=log0.5(3-x)的定義域為(-,3);命題q:若k<0,則函數(shù)h(x)=在(0,+)上是減函數(shù).給出下列結(jié)論:命題“pq”為真;命題“p(q)”為假;命題“pq”為假;命題“(p)(q)”為假.其中錯誤的是 .(填序號) 【解析】由3-x>0,得x<3,故命題p為真,p為假.又由k<0,得函數(shù)h(x)=在(0,+)上是增函數(shù),故命題q為假,q為真.所以命題“pq”為假,命題“p(q)”為真,命題“pq”為真,命題“(p)(q)”為假.【答案】14.已知p:-4<x-a<4,q:(x-2)(3-x)>0,若p是q的充分條件,則實數(shù)a的取值范圍是. 【解析】p:a-4<x<a+4,q:2<x<3.由p是q的充分條件可知,q是p的充分條件,即qp,解得-1a6.【答案】-1,615.下列四個結(jié)論中,正確的序號是. “x=1”是“x2=x”的充分不必要條件;“k=1”是“函數(shù)y=cos2kx-sin2kx的最小正周期為”的充要條件;“x1”是“x21”的充分不必要條件;“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的必要不充分條件.【解析】當(dāng)x=1時,x2=x成立,反之,不一定,所以“x=1”是“x2=x”的充分不必要條件,所以正確.函數(shù)y=cos2kx-sin2kx=cos 2kx,其最小正周期T=,當(dāng)k=1時,T=;當(dāng)=時,k=±1.所以不正確.轉(zhuǎn)化為等價命題,即判斷“x2=1”是“x=1”的充分不必要條件,由于x2=1時,x=±1,不一定有x=1,所以充分條件不成立,所以不正確.a+c>b+d不一定有a>b且c>d,但a>b且c>d時,必有a+c>b+d,所以正確.綜上可知,正確結(jié)論的序號為.【答案】16.命題“對于正數(shù)a,若a>1,則lg a>0”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中,真命題的個數(shù)為m.命題“nN*,一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根”是真命題,則logmn的值為. 【解析】原命題“對于正數(shù)a,若a>1,則lg a>0”是真命題,逆命題“對于正數(shù)a,若lg a>0,則a>1”是真命題,所以其否命題與逆否命題都是真命題.所以m=4.因為一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根,所以由=16-4n0得n4,又因為nN*,所以n=1,2,3,4,驗證可知n=3,4符合題意.因此,logmn=log43或logmn=log44=1.【答案】log43或1三、解答題17.為圓周率,a,b,c,dQ,已知命題p:若a+b=c+d,則a=c且b=d.(1)寫出p并判斷真假;(2)寫出p的逆命題、否命題及逆否命題并判斷真假.【解析】(1)p:若a+b=c+d,則ac或bd.因為a,b,c,dQ,由a+b=c+d,得(a-c)=d-bQ,所以a=c且b=d.故p是真命題,p是假命題.(2)逆命題:若a=c且b=d,則a+b=c+d.它是真命題.否命題:若a+bc+d,則ac或bd.它是真命題.逆否命題:若ac或bd,則a+bc+d.它是真命題.18.給出下列兩個命題:命題甲:關(guān)于x的不等式x2+(a-1)x+a20的解集為;命題乙:函數(shù)y=(2a2-a)x為增函數(shù).分別求出符合下列條件的實數(shù)a的取值范圍.(1)甲、乙至少有一個是真命題;(2)甲、乙中有且只有一個是真命題.【解析】當(dāng)命題甲為真時,=(a-1)2-4a2<0,解得a>或a<-1.當(dāng)命題乙為真時,2a2-a>1,解得a>1或a<-.(1)當(dāng)甲、乙至少有一個是真命題時,即上面兩個范圍取并集,所以a的取值范圍是.(2)甲、乙中有且只有一個是真命題,有兩種情況:當(dāng)甲真乙假時,<a1;當(dāng)甲假乙真時,-1a<-.所以甲、乙中有且只有一個真命題時,a的取值范圍為.19.解答下列問題.(1)是否存在實數(shù)m,使得2x+m<0是x2-2x-3>0的充分條件?(2)是否存在實數(shù)m,使得2x+m<0是x2-2x-3>0的必要條件?【解析】(1)欲使得2x+m<0是x2-2x-3>0的充分條件,則只要x|x<-1或x>3,則只要滿足-1,即m2.故存在實數(shù)m2,使得2x+m<0是x2-2x-3>0的充分條件.(2)欲使得2x+m<0是x2-2x-3>0的必要條件,則只要x|x<-1或x>3.而這是不可能的,故不存在實數(shù)m,使得2x+m<0是x2-2x-3>0的必要條件.20.設(shè)a,b,c為ABC的三邊,求證:方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0有公共根的充要條件是A=90°.【解析】充分性:因為A=90°,所以a2=b2+c2.于是方程x2+2ax+b2=0可化為x2+2ax+a2-c2=0,所以x2+2ax+(a+c)(a-c)=0.所以x+(a+c)x+(a-c)=0.所以該方程有兩根x1=-(a+c),x2=-(a-c),同樣,方程x2+2cx-b2=0也可化為x2+2cx-(a2-c2)=0,即x+(c+a)x+(c-a)=0,所以該方程有兩根x3=-(a+c),x4=-(c-a).可以發(fā)現(xiàn),x1=x3,所以這兩個方程有公共根.必要性:設(shè)x是這兩個方程的公共根,則由+,得x=-(a+c)或x=0(舍去).代入并整理得a2=b2+c2.所以A=90°.所以結(jié)論成立.21.已知aR,命題p:對于x1,2,不等式x2+2ax-2>0恒成立;命題q:關(guān)于x的不等式(a2-1)x2+(a-1)x-2>0的解集為空集.當(dāng)p,q中有且僅有一個為真命題時,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】因為對于x1,2,不等式x2+2ax-2>0恒成立,所以2a>=-x在x1,2上恒成立.令g(x)=-x,則g(x)在1,2上是減函數(shù),所以g(x)max=g(1)=1,所以2a>1,所以若命題p為真,則a>.當(dāng)命題q為真時,a應(yīng)滿足a=1或解得-a1.所以當(dāng)p,q中有且僅有一個為真命題時,有或所以a(1,+).22.命題p:x2-4mx+1=0有實數(shù)解,命題q:x0R,使得m-2x0-1>0成立.(1)若命題p為真命題,求實數(shù)m的取值范圍;(2)若命題q為真命題,求實數(shù)m的取值范圍;(3)若命題(p)(q)為真命題,且命題pq為真命題,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)因為方程x2-4mx+1=0有實根,所以=16m2-40,解得m-或m.所以實數(shù)m的取值范圍是.(2)設(shè)f(x)=mx2-2x-1.當(dāng)m=0時,f(x)=-2x-1,q為真命題;當(dāng)m>0時,q為真命題;當(dāng)m<0時,需有=4+4m>0,解得-1<m<0.綜上可得實數(shù)m的取值范圍是(-1,+).(3)因為(p)(q)為真,pq為真,所以p,q必定一真一假,則或所以實數(shù)m的取值范圍是(-,-1.