（全國通用版）2019高考數(shù)學二輪復習 專題一 三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形 第2講 三角恒等變換與解三角形學案 文

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1、 第2講　三角恒等變換與解三角形 [考情考向分析]　正弦定理、余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容，主要考查： 1.邊和角的計算.2.三角形形狀的判斷.3.面積的計算.4.有關(guān)參數(shù)的范圍問題．由于此內(nèi)容應用性較強，與實際問題結(jié)合起來進行命題將是今后高考的一個關(guān)注點，不可輕視． 熱點一　三角恒等變換 1．三角求值“三大類型” “給角求值”“給值求值”“給值求角”． 2．三角函數(shù)恒等變換“四大策略” (1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)項的拆分與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2

2、α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦． 例1　(1)(2018·張掖市診斷考試)已知sin＝，則cos等于(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　D 解析　cos＝cos ＝cos， ∵sin＝cos＝， ∴cos＝cos ＝2cos2－1＝－1＝－. (2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均為銳角，則β等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因為α，β均為銳角， 所以－<α－β<. 又sin(α－β)＝－， 所以cos(α－β

3、)＝. 又sin α＝，所以cos α＝， 所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝. 所以β＝. 思維升華　(1)三角變換的關(guān)鍵在于對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等變換公式的熟記和靈活應用，要善于觀察各個角之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)題目所給條件與恒等變換公式的聯(lián)系，公式的使用過程要注意正確性，要特別注意公式中的符號和函數(shù)名的變換，防止出現(xiàn)“張冠李戴”的情況． (2)求角問題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解． 跟蹤演練1　(1)(2018·榆林模擬)若0<α<，

4、－<β<0，cos＝，cos＝，則cos等于(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　A 解析　由題意得sin＝， sin＝， 而cos＝cos ＝coscos＋sinsin ＝×＋×＝. (2)(2018·河北省衡水中學模擬)若＝－，則cos α＋sin α的值為(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　C 解析　∵＝ ＝－(sin α＋cos α)＝－， ∴cos α＋sin α＝. 熱點二　正弦定理、余弦定理 1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)．變形：a＝2Rsin A,b＝2Rsin B,c＝2Rsin C，

5、sin A＝,sin B＝,sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A. 變形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. 例2　(2018·北京)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－. (1)求∠A； (2)求AC邊上的高． 解　(1)在△ABC中，因為cos B＝－， 所以sin B＝＝. 由正弦定理得sin A＝＝. 由題設(shè)知<∠B<π，所以0<∠A<， 所以∠A＝. (2)在△ABC中， 因為sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin

6、B＝， 所以AC邊上的高為asin C＝7×＝. 思維升華　關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口． 跟蹤演練2　(2018·天津市十二校模擬)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且＋＝. (1)求角B的大?。? (2)已知＝4，△ABC的面積為6，求邊長b的值． 解　(1)由已知得bcos A＋acos B＝bsin C， 由正弦定理得sin Bcos A＋cos Bsin A＝sin Bsin C， ∴

7、sin(A＋B)＝sin Bsin C， 又在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C≠0， ∴sin B＝，∵0

8、3，求b和sin(2A－B)的值． 解　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得 bsin A＝asin B. 又由bsin A＝acos，得asin B＝acos， 即sin B＝cos，所以tan B＝. 又因為B∈(0，π)，所以B＝. (2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝， 得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝. 由bsin A＝acos，可得sin A＝ . 因為a

9、in B ＝×－×＝. 思維升華　解三角形與三角函數(shù)的綜合題，要優(yōu)先考慮角的范圍和角之間的關(guān)系；對最值或范圍問題，可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域來求解． 跟蹤演練3　(2018·雅安三診)已知函數(shù)f(x)＝2cos2x＋sin－1(x∈R)． (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間； (2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知f(A)＝，若b＋c＝2a，且·＝6，求a的值． 解　(1)f(x)＝sin＋2cos2x－1 ＝－cos 2x＋sin 2x＋cos 2x ＝cos 2x＋sin 2x＝sin. ∴函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝π. 由2kπ－

10、≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 可解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)． (2)由f(A)＝sin＝，可得 2A＋＝＋2kπ或2A＋＝＋2kπ(k∈Z)． ∵A∈(0，π)，∴A＝， ∵·＝bccos A＝bc＝6，∴bc＝12， 又∵2a＝b＋c， ∴cos A＝＝－1＝－1＝－1， ∴a＝2. 真題體驗 1．(2017·山東改編)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC為銳角三角形，且滿足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，則下列等式成立的是______．(填序號)

11、 ①a＝2b; ②b＝2a; ③A＝2B; ④B＝2A. 答案?、? 解析　∵等式右邊＝sin Acos C＋(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin Acos C＋sin(A＋C) ＝sin Acos C＋sin B， 等式左邊＝sin B＋2sin Bcos C， ∴sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B. 由cos C>0，得sin A＝2sin B. 根據(jù)正弦定理，得a＝2b. 2．(2017·北京)在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱．若sin α＝，cos(α－β)＝_______

12、_. 答案?。? 解析　由題意知α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)， ∴β＝π＋2kπ－α(k∈Z)，又sin α＝， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1 ＝2×－1＝－. 3．(2018·全國Ⅲ改編)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為，則C＝________. 答案　 解析　∵S＝absin C＝＝ ＝abcos C， ∴sin C＝cos C，即tan C＝1. 又∵C∈(0，π)，∴C＝. 4．(2018·全國Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知

13、bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為________． 答案　 解析　∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C， ∴由正弦定理得 sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C. 又sin Bsin C>0，∴sin A＝. 由余弦定理得cos A＝＝＝>0， ∴cos A＝，bc＝＝， ∴S△ABC＝bcsin A＝××＝. 押題預測 1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知cos A＝，sin B＝cos C，并且a＝，則△ABC的面積為______

14、__． 押題依據(jù)　三角形的面積求法較多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此題很好地體現(xiàn)了綜合性考查的目的，也是高考的重點． 答案　 解析　因為00， 并結(jié)合sin2C＋cos2C＝1，得sin C＝，cos C＝. 于是sin B＝cos C＝. 由a＝及正弦定理＝，得c＝. 故△ABC的面積S＝acsin B＝. 2．已知函數(shù)f(x)＝sin ωx·cos ωx－cos2ωx(ω>0)

15、的最小正周期為. (1)求ω的值； (2)在△ABC中，sin B，sin A，sin C成等比數(shù)列，求此時f(A)的值域． 押題依據(jù)　三角函數(shù)和解三角形的交匯命題是近幾年高考命題的趨勢，本題綜合考查了三角變換、余弦定理和三角函數(shù)的值域，還用到數(shù)列、基本不等式等知識，對學生能力要求較高． 解　(1)f(x)＝sin 2ωx－(cos 2ωx＋1) ＝sin－， 因為函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝＝， 所以ω＝. (2)由(1)知f(x)＝sin－， 易得f(A)＝sin－. 因為sin B，sin A，sin C成等比數(shù)列， 所以sin2A＝sin Bsin C， 所以

16、a2＝bc， 所以cos A＝＝ ≥＝(當且僅當b＝c時取等號)． 因為0

17、0°＋tan 50°－tan 70°tan 50°＝－. 3．(2018·西南名校聯(lián)盟(云南師大附中)月考)在△ABC中，若原點到直線xsin A＋ysin B＋sin C＝0的距離為1，則此三角形為(　　) A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定 答案　A 解析　由已知可得，＝1， ∴sin2C＝sin2A＋sin2B，∴c2＝a2＋b2， 故△ABC為直角三角形． 4．(2018·衡水金卷調(diào)研卷)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，acos B＋bcos A＝2ccos C，c＝，且△ABC的面積為，則△ABC的周長為(　　)

18、A．1＋ B．2＋ C．4＋ D．5＋ 答案　D 解析　在△ABC中，acos B＋bcos A＝2ccos C， 則sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C， 即sin(A＋B)＝2sin Ccos C， ∵sin(A＋B)＝sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝， 由余弦定理可得，a2＋b2－c2＝ab， 即(a＋b)2－3ab＝c2＝7， 又S＝absin C＝ab＝，∴ab＝6， ∴(a＋b)2＝7＋3ab＝25，a＋b＝5， ∴△ABC的周長為a＋b＋c＝5＋. 5．已知α為銳角，則2tan α＋的最小值為(　　) A．1

19、 B．2 C. D. 答案　D 解析　方法一　由tan 2α有意義，α為銳角可得α≠45°， ∵α為銳角，∴tan α>0， ∴2tan α＋＝2tan α＋ ＝≥×2＝， 當且僅當tan α＝，即tan α＝，α＝時等號成立．故選D. 方法二　∵α為銳角，∴sin α>0，cos α>0， ∴2tan α＋＝＋ ＝＝ ＝≥×2＝， 當且僅當＝， 即α＝時等號成立．故選D. 6．(2017·全國Ⅰ)已知α∈，tan α＝2，則cos＝________. 答案　 解析　∵cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝(cos α＋sin α)． 又由α∈

20、，tan α＝2知，sin α＝，cos α＝， ∴cos＝×＝. 7．設(shè)△ABC內(nèi)切圓與外接圓的半徑分別為r與R.且sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，則cos C＝________；當BC＝1時，△ABC的面積等于________． 答案?。? 解析　∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4， ∴a∶b∶c＝2∶3∶4. 令a＝2t，b＝3t，c＝4t， 則cos C＝＝－， ∴sin C＝. 當BC＝1時，AC＝， ∴S△ABC＝×1××＝. 8．(2018·綿陽診斷)如圖，在△ABC中，BC＝2，∠ABC＝，AC的垂直平分線DE與AB，AC分別

21、交于D，E兩點，且DE＝，則BE2＝________. 答案?。? 解析　如圖，連接CD，由題設(shè)，有∠BDC＝2A， 所以＝＝， 故CD＝. 又DE＝CDsin A＝＝， 所以cos A＝，而A∈(0，π)，故A＝， 因此△ADE為等腰直角三角形， 所以AE＝DE＝. 在△ABC中，∠ACB＝75°，所以＝， 故AB＝＋1， 在△ABE中，BE2＝(＋1)2＋2－2×(＋1)××＝＋. 9．(2017·全國Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2. (1)求cos B； (2)若a＋c＝6，△ABC的面積為2，求b.

22、 解　(1)由題設(shè)及A＋B＋C＝π，得sin B＝8sin2， 故sin B＝4(1－cos B)． 上式兩邊平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0， 解得cos B＝1(舍去)或cos B＝. 故cos B＝. (2)由cos B＝，得sin B＝， 故S△ABC＝acsin B＝ac. 又S△ABC＝2，則ac＝. 由余弦定理及a＋c＝6， 得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B) ＝36－2××＝4， 所以b＝2. 10．(2018·西寧模擬)已知函數(shù)f(x)＝cos·sin＋cos2－. (1)求函數(shù)f(x)

23、的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)已知在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f(A)＝1，a＝2，求△ABC面積的最大值． 解　(1)f(x)＝cossin＋cos2－＝sin xcos x＋sin2x－ ＝sin 2x－cos 2x＝sin. 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)． (2)由(1)知f(A)＝sin＝1， 因為A∈(0，π)， 所以2A－∈， 所以2A－＝，所以A＝. 在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 又a＝2， 則4＝b2＋c2－bc≥2b

24、c－bc＝bc，即bc≤4， 當且僅當b＝c＝2時，等號成立． 所以△ABC面積的最大值為 S△ABC＝bcsin A＝×4×＝. B組　能力提高 11．已知2sin θ＝1－cos θ，則tan θ等于(　　) A．－或0 B.或0 C．－ D. 答案　A 解析　因為2sin θ＝1－cos θ， 所以4sin cos ＝1－＝2sin2， 解得sin ＝0或2cos ＝sin ，即tan ＝0或2， 又tan θ＝， 當tan ＝0時，tan θ＝0； 當tan ＝2時，tan θ＝－. 12．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且

25、滿足(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)sin C，若a＝，則b2＋c2的取值范圍是(　　) A．(3,6] B．(3,5) C．(5,6] D．[5,6] 答案　C 解析　∵(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)sin C， 由正弦定理得(a－b)(a＋b)＝(c－b)c， 即b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝＝＝， 又A∈(0，π)， ∴A＝，∴B＋C＝. 又△ABC為銳角三角形， ∴∴

26、in2B＋2sin Bcos B ＝3＋1－cos 2B＋sin 2B ＝4－2＝4－2cos， 又

27、為鈍角，∴∠C＝－∠A>， ∴0<∠A<. 由正弦定理得＝＝＝＋·. ∵0， ∴>＋×＝2，即>2. ∴的取值范圍是(2，＋∞)． 14．如圖，在△ABC中，D為邊BC上一點，AD＝6，BD＝3，DC＝2. (1)如圖1，若AD⊥BC，求∠BAC的大小； (2)如圖2，若∠ABC＝，求△ADC的面積． 解　(1)設(shè)∠BAD＝α，∠DAC＝β. 因為AD⊥BC，AD＝6，BD＝3，DC＝2， 所以tan α＝，tan β＝， 所以tan∠BAC＝tan(α＋β)＝＝＝1. 又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝. (2)設(shè)∠BAD＝α. 在△ABD中，∠ABC＝，AD＝6，BD＝3. 由正弦定理得＝， 解得sin α＝. 因為AD>BD，所以α為銳角， 從而cos α＝＝. 因此sin∠ADC＝sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝＝. 所以△ADC的面積S＝×AD×DC·sin∠ADC ＝×6×2×＝(1＋)． 17