2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題5 解析幾何 第9講 圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì)學(xué)案 文

2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題5 解析幾何 第9講 圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì)學(xué)案 文熱點(diǎn)題型真題統(tǒng)計(jì)命題規(guī)律題型1：圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程2017全國卷T14；2017全國卷T12；2014全國卷T101.每年必考內(nèi)容，多以選擇、填空題的形式考查圓錐曲線的定義、方程、性質(zhì)，以解答題的形式考查直線與圓錐曲線的綜合問題.2.小題一般出現(xiàn)在512或1415題的位置，難度中等偏上，解答題出現(xiàn)在20題的位置上，難度較大.題型2：圓錐曲線的性質(zhì)及應(yīng)用2018全國卷T4；2018全國卷T6；2018全國卷T112018全國卷T10；2017全國卷T5；2017全國卷T52017全國卷T12；2016全國卷T5；2016全國卷T122015全國卷T5；2015全國卷T16；2015全國卷T152014全國卷T4題型3：直線、圓與圓錐曲線的交匯2017卷T11；2014卷T20圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(2)雙曲線|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(3)拋物線：|PF|PM|，點(diǎn)F不在直線l上，PMl于M(直線l是拋物線的準(zhǔn)線)高考考法示例·【例1】(1)(2018·哈爾濱模擬)已知雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上，OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點(diǎn))，則雙曲線的方程為()A.1B.1C.y21 Dx21(2)(2017·全國卷)已知F是拋物線C：y28x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|_.(1)D(2)6(1)根據(jù)題意畫出草圖如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)A在漸近線yx上由AOF是邊長為2的等邊三角形得到AOF60°，c|OF|2.又點(diǎn)A在雙曲線的漸近線yx上，tan 60°.又a2b24，a1，b，雙曲線的方程為x21.故選D.(2)如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)P，PMOF.由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|AO|2.點(diǎn)M為FN的中點(diǎn)，PMOF，|MP|FO|1. 又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由拋物線的定義知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.方法歸納求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型，后計(jì)算”(1)定型，就是指定類型，也就是確定圓錐曲線的焦點(diǎn)位置，從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)計(jì)算，即利用待定系數(shù)法求出方程或方程組中的a2，b2或p.另外，當(dāng)焦點(diǎn)位置無法確定時，拋物線常設(shè)為y22ax或x22ay(a0)，橢圓常設(shè)為mx2ny21(m0，n0，mn)，雙曲線常設(shè)為mx2ny21(mn0).對點(diǎn)即時訓(xùn)練·1設(shè)雙曲線與橢圓1相交且有共同的焦點(diǎn)，其中一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為(，4)，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.1B.1C.1 D.1A法一：(定義法)橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,3)，(0，3)根據(jù)雙曲線的定義知，2a|4，解得a2，又b2c2a25，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.故選A.法二：(待定系數(shù)法)橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,3)，(0，3)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，則a2b29.又點(diǎn)(，4)在雙曲線上，所以1.由解得a24，b25.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.故選A.2設(shè)橢圓1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，且滿足·9，則|·|的值為()A8B10C12D15D因?yàn)镻是橢圓1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，所以|PF1|PF2|8，|F1F2|4.因?yàn)?#183;9，所以|·|cosF1PF29，因?yàn)閨2|2|22|·|·cosF1PF2(|)22|·|2|·|cosF1PF2，所以642|·|1816.所以|·|15，故選D.題型2圓錐曲線的性質(zhì)及應(yīng)用核心知識儲備·1橢圓、雙曲線中，a，b，c，e之間的關(guān)系(1)在橢圓中：a2b2c2，離心率為e；(2)在雙曲線中：c2a2b2，離心率為e.2雙曲線的漸近線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)(1)雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x；焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)；(2)雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x，焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系高考考法示例·【例2】(1)(2018·全國卷)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為()A.B2C.D2(2)(2018·沈陽模擬)已知雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為.若經(jīng)過F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1(3)已知雙曲線的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)分別是橢圓1(ab0)的焦點(diǎn)與頂點(diǎn)，若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點(diǎn)構(gòu)成的四邊形恰為正方形，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.(1)D(2)B(3)C(1)法一：由離心率e，得ca，又b2c2a2，得ba，所以雙曲線C的漸近線方程為y±x.由點(diǎn)到直線的距離公式，得點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為2.故選D.法二：離心率e的雙曲線是等軸雙曲線，其漸近線方程是y±x，由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為2.故選D.(2)由離心率為可知ab，ca，所以F(a,0)，由題意可知kPF1，所以a4，解得a2，所以雙曲線的方程為1，故選B.(3)設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，則由題意可知雙曲線的方程為1，其漸近線方程為y±x.因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線與橢圓的交點(diǎn)構(gòu)成的四邊形恰為正方形，所以由橢圓的對稱性可知，漸近線的方程為y±x，即bc，所以ac，故橢圓的離心率e，故選C.方法歸納1求橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的方法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值2雙曲線的漸近線的求法及用法(1)求法：把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號右邊的1改為零，分解因式可得(2)用法：可得或的值利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程利用e求離心率對點(diǎn)即時訓(xùn)練·1(2018·全國卷)設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)(2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則·()A5 B6 C7 D8D法一：過點(diǎn)(2,0)且斜率為的直線的方程為y(x2)，由得x25x40，解得x1或x4，所以或不妨設(shè)M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以(0,2)，(3,4)，所以·8.故選D.法二：過點(diǎn)(2,0)且斜率為的直線的方程為y(x2)，由得x25x40，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y10，y20，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x25，x1x24.易知F(1,0)，所以(x11，y1)，(x21，y2)，所以·(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1445188.故選D.2(2016·全國卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則E的離心率為()A. B. C. D2A法一：如圖，因?yàn)镸F1與x軸垂直，所以|MF1|.又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|.由雙曲線的定義得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以離心率e.法二：如圖，因?yàn)镸F1x軸，所以|MF1|.在RtMF1F2中，由sinMF2F1得tanMF2F1.所以，即，即，整理得c2aca20，兩邊同除以a2得e2e10.解得e(負(fù)值舍去)題型3直線、圓與圓錐曲線的交匯全國卷考查圓與圓錐曲線的交匯問題是近幾年高考考查的熱點(diǎn)，在小題和大題中均有可能出現(xiàn)高考考法示例·【例3】(1)(2016·全國卷)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A2B4C6D8B設(shè)出拋物線和圓的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，聯(lián)立方程組求解設(shè)拋物線的方程為y22px(p0)，圓的方程為x2y2r2.|AB|4，|DE|2，拋物線的準(zhǔn)線方程為x，不妨設(shè)A，D.點(diǎn)A，D在圓x2y2r2上，85，p4(負(fù)值舍去)C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.(2)(2018·鄭州模擬)已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與直線ax2byab0相切圖2­5­2求橢圓C的離心率；如圖2­5­2，過F1作直線l與橢圓分別交于兩點(diǎn)P，Q，若PQF2的周長為4，求·的最大值思路點(diǎn)撥解由題意c，即3a2b2c2(a24b2)(a2b2)(a24b2)a22b2，e.因?yàn)槿切蜳QF2的周長為4.所以4a4，a，b21，橢圓方程為y21，且焦點(diǎn)F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，()若直線l斜率不存在，則可得lx軸，方程為x1，解方程組可得或，P，Q，故·.()若直線l斜率存在，設(shè)直線l的方程為yk(x1)，由消去y整理得(2k21)x24k2x2k220，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x2，x1x2.·(x11，y1)·(x21，y2)(x11)(x21)y1y2.(k21)x1x2(k21)(x1x2)k21.(k21)(k21)k21.k20，可得1·，綜上可得1·.所以·最大值是.方法歸納處理圓錐曲線與圓相結(jié)合問題的注意點(diǎn)(1)注意圓心、半徑和平面幾何知識的應(yīng)用，如直徑所對的圓周角為直角，構(gòu)成了垂直關(guān)系；弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成直角三角形等.(2)注意圓與特殊線的位置關(guān)系，如圓的直徑與橢圓長軸(短軸)，與雙曲線的實(shí)軸(虛軸)的關(guān)系；圓與過定點(diǎn)的直線、雙曲線的漸近線、拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系等.(教師備選)(2016·全國卷)設(shè)圓x2y22x150的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.(1)證明|EA|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍解(1)因?yàn)閨AD|AC|，EBAC，所以EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y216，從而|AD|4，所以|EA|EB|4.由題設(shè)得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為1(y0)(2)當(dāng)l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120，則x1x2，x1x2.所以|MN|x1x2|.過點(diǎn)B(1,0)且與l垂直的直線m：y(x1)，點(diǎn)A到直線m的距離為，所以|PQ|24.故四邊形MPNQ的面積S|MN| PQ|12.可得當(dāng)l與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8)當(dāng)l與x軸垂直時，其方程為x1，|MN|3，|PQ|8，故四邊形MPNQ的面積為12.綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為12,8)對點(diǎn)即時訓(xùn)練·1(2017·全國卷)若雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線被圓(x2)2y24所截得的弦長為2，則C的離心率為()A2B.C.D.A設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為yx，圓的圓心為(2,0)，半徑為2，由弦長為2得出圓心到漸近線的距離為.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得，解得b23a2.所以C的離心率e2.故選A.2(2018·中山七校聯(lián)考)已知橢圓1(ab0)的上、下、左、右四個頂點(diǎn)分別為A，B，C，D，x軸正半軸上的某點(diǎn)G滿足|GD|2，|GA|3，|GC|4.圖2­5­3(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)M在圓x2y2b2上，且M在第一象限，過M作圓x2y2b2的切線交橢圓于P，Q，求證：PF2Q的周長是定值解(1)設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(x0,0)(x00)，可知2a24，a3，x04a1，b2.因此橢圓的方程是1.(2)法一：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則1，|PF2|，0x13，|PF2|3，在圓中，M是切點(diǎn)，|PM|x1，|PF2|PM|3x1x13，同理|QF2|QM|3，|F2P|F2Q|PQ|336，因此PF2Q的周長是定值6.法二：設(shè)PQ的方程為ykxm(k<0，m>0)，由，得(89k2)x218kmx9m2720，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x2，x1x2，|PQ|x1x2|，PQ與圓x2y28相切，2，即m2，|PQ|，|PF2|，0x13，|PF2|3，同理可得|QF2|(9x2)3，|F2P|F2Q|PQ|666，因此PQF2的周長是定值6.1(2018·全國卷)雙曲線1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為()Ay±xBy±xCy±x Dy±xA因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，即ca.又c2a2b2，所以(a)2a2b2，化簡得2a2b2，所以.因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y±x，所以y±x.故選A2(2018·全國卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)若PF1PF2，且PF2F160°，則C的離心率為()A1 B2C. D.1D由題設(shè)知F1PF290°，PF2F160°，|F1F2|2c，所以|PF2|c，|PF1|c.由橢圓的定義得|PF1|PF2|2a，即cc2a，所以(1)c2a，故橢圓C的離心率e1.故選D.3(2017·全國卷)已知F是雙曲線C：x21的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3)，則APF的面積為()A. B.C. D.D因?yàn)镕是雙曲線C：x21的右焦點(diǎn)，所以F(2,0)因?yàn)镻Fx軸，所以可設(shè)P的坐標(biāo)為(2，yP)因?yàn)镻是C上一點(diǎn)，所以41，解得yP±3，所以P(2，±3)，|PF|3.又因?yàn)锳(1,3)，所以點(diǎn)A到直線PF的距離為1，所以SAPF×|PF|×1×3×1.故選D.4(2016·全國卷)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為()A. B.C. D.B不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)B(0，b)和一個焦點(diǎn)F(c，0)，則直線l的方程為1，即bxcybc0.由題意知×2b，解得，即e.故選B.5(2015·全國卷)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y28x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點(diǎn)，則|AB|()A3B6 C9D12B根據(jù)已知條件求出橢圓的方程，|AB|2|yA|，只需求出|yA|即可拋物線y28x的焦點(diǎn)為(2,0)，橢圓中c2，又，a4，b2a2c212，從而橢圓方程為1.拋物線y28x的準(zhǔn)線為x2，xAxB2，將xA2代入橢圓方程可得|yA|3，由圖象可知|AB|2|yA|6.故選B.6(2015·全國卷)已知雙曲線過點(diǎn)(4，)，且漸近線方程為y±x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_y21法一：設(shè)出雙曲線方程，然后利用雙曲線過點(diǎn)(4，)求解雙曲線的漸近線方程為y±x，可設(shè)雙曲線的方程為x24y2(0)雙曲線過點(diǎn)(4，)，164×()24，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.法二：漸近線yx過點(diǎn)(4,2)，而<2，點(diǎn)(4，)在漸近線yx的下方，在yx的上方(如圖)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故可設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)由已知條件可得解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.