2022年高考數學 （真題+模擬新題分類匯編） 函數與導數 理

2022年高考數學 （真題+模擬新題分類匯編） 函數與導數 理21B1，B12xx·江西卷 已知函數f(x)a，a為常數且a>0.(1)證明：函數f(x)的圖像關于直線x對稱；(2)若x0滿足f(f(x0)x0，但f(x0)x0，則稱x0為函數f(x)的二階周期點如果f(x)有兩個二階周期點x1，x2，試確定a的取值范圍；(3)對于(2)中的x1，x2和a，設x3為函數 f(f(x)的最大值點，A(x1，f(f(x1)，B(x2，f(f(x2)，C(x3，0)記ABC的面積為S(a)，討論S(a)的單調性解：(1)證明：因為fa(12|x|)，fa(12|x|)，有ff，所以函數f(x)的圖像關于直線x對稱(2)當0<a<時，有f(f(x)所以f(f(x)x只有一個解x0，又f(0)0，故0不是二階周期點當a時，有f(f(x)所以f(f(x)x有解集xx，又當x時f(x)x，故x)x中的所有點都不是二階周期點當a>時，有f(f(x)所以f(f(x)x有四個解0，又f(0)0，f，f，f，故只有，是f(x)的二階周期點綜上所述，所求a的取值范圍為a>.(3)由(2)得x1，x2，因為x3為函數f(f(x)的最大值點，所以x3，或x3.當x3時，S(a)，求導得：S(a).所以當a時，S(a)單調遞增，當a時S(a)單調遞減；當x3時，S(a)，求導得：S(a)；因a>，從而有S(a)>0，所以當a時S(a)單調遞增13B1，B11xx·江西卷 設函數f(x)在(0，)內可導，且f(ex)xex，則f(1)_132解析 f(ex)xex，利用換元法可得f(x)ln xx，f(x)1，所以f(1)2.10B1，B8xx·江西卷 如圖13所示，半徑為1的半圓O與等邊三角形ABC夾在兩平行線l1，l2之間，ll1，l與半圓相交于F，G兩點，與三角形ABC兩邊相交于E，D兩點設弧FG的長為x(0<x<)，yEBBCCD，若l從l1平行移動到l2，則函數yf(x)的圖像大致是()圖13圖1410D解析 設l，l2距離為t，cos x2t21，得t.ABC的邊長為，得BE(1t)，則y2BEBC2×(1t)2，當x(0，)時，非線性單調遞增，排除A，B，求證x的情況可知選D.2B1xx·江西卷 函數yln(1x)的定義域為()A(0，1) B0，1)C(0，1 D0，12B解析 x0且1x>0，得x0，1)，故選B.11B1xx·遼寧卷 已知函數f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28.設H1(x)max，H2(x)min(max表示p，q中的較大值，min表示p，q中的較小值)記H1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，則AB()A16 B16Ca22a16 Da22a1611B解析 由題意知當f(x)g(x)時，即x22(a2)xa2x22(a2)xa28，整理得x22axa240，所以xa2或xa2，所以H1(x)maxf(x)，g(x)H2(x)minf(x)，g(x)由圖形(圖形略)可知，AH1(x)min4a4，BH2(x)max124a，則AB16.故選B.4B1xx·全國卷 已知函數f(x)的定義域為(1，0)，則函數f(2x1)的定義域為()A(1，1) B.C(1，0) D.4B解析 對于f(2x1)，1<2x1<0，解得1<x<，即函數f(2x1)的定義域為.8B1，J3xx·陜西卷 設函數f(x)則當x>0時，ff(x)表達式的展開式中常數項為()A20 B20 C15 D158A解析 由已知表達式可得：ff(x)6，展開式的通項為Tr1C6r()rC·(1)r·xr3，令r30，可得r3，所以常數項為T4C20.7B1，B3，B12xx·四川卷 函數y的圖像大致是()圖157C解析 函數的定義域是xR|x0，排除選項A；當x<0時，x3<0，3x1<0，故y>0，排除選項B；當x時，y>0且y0，故為選項C中的圖像19B1，I2，K6xx·新課標全國卷 經銷商經銷某種農產品，在一個銷售季度內，每售出1 t該產品獲利潤500元，未售出的產品，每1 t虧損300元根據歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如圖14所示，經銷商為下一個銷售季度購進了130 t該農產品，以X(單位：t，100X150)表示下一個銷售季度內的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤(1)將T表示為X的函數；(2)根據直方圖估計利潤T不少于57 000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如：若需求量X100，110)，則取X105，且X105的概率等于需求量落入100，110)的頻率)，求T的數學期望圖1419解：(1)當X100，130)時，T500X300(130X)800X39 000.當X130，150時，T500×13065 000.所以T(2)由(1)知利潤T不少于57 000元，當且僅當120X150.由直方圖知需求量X120，150的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內的利潤T不少于57 000元的概率的估計值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以E(T)45 000×0.153 000×0.261 000×0.365 000×0.459 400.B2反函數5B2xx·全國卷 函數f(x)log2(x>0)的反函數f1(x)()A.(x>0) B.(x0) C2x1(xR) D2x1(x>0) 5A解析 令ylog2，則y>0，且12y，解得x，交換x，y得f1(x)(x>0)B3函數的單調性與最值21B3，B9，B12xx·四川卷 已知函數f(x)其中a是實數設A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)為該函數圖像上的兩點，且x1<x2.(1)指出函數f(x)的單調區(qū)間；(2)若函數f(x)的圖像在點A，B處的切線互相垂直，且x2<0，求x2x1的最小值；(3)若函數f(x)的圖像在點A，B處的切線重合，求a的取值范圍21解：(1)函數f(x)的單調遞減區(qū)間為(，1)，單調遞增區(qū)間為1，0)，(0，)(2)由導數的幾何意義可知，點A處的切線斜率為f(x1)，點B處的切線斜率為f(x2)，故當點A處的切線與點B處的切線垂直時，有f(x1)f(x2)1.當x<0時，對函數f(x)求導，得f(x)2x2.因為x1<x2<0，所以，(2x12)(2x22)1，所以2x12<0，2x22>0.因此x2x1(2x12)2x221，當且僅當(2x12)2x221，即x1且x2時等號成立所以，函數f(x)的圖像在點A，B處的切線互相垂直時，x2x1的最小值為1.(3)當x1<x2<0或x2>x1>0時，f(x1)f(x2)，故x1<0<x2.當x1<0時，函數f(x)的圖像在點(x1，f(x1)處的切線方程為y(x2x1a)(2x12)(xx1)，即y(2x12)xxa.當x2>0時，函數f(x)的圖像在點(x2，f(x2)處的切線方程為yln x2(xx2)，即y·xln x21.兩切線重合的充要條件是由及x1<0<x2，知1<x1<0.由得，axln1xln(2x12)1.設h(x1)xln(2x12)1(1<x1<0)，則h(x1)2x1<0.所以，h(x1)(1<x1<0)是減函數則h(x1)>h(0)ln 21，所以a>ln 21.又當x1(1，0)且趨近于1時，h(x1)無限增大，所以a的取值范圍是(ln 21，)故當函數f(x)的圖像在點A，B處的切線重合時，a的取值范圍是(ln 21，)10B3，B12xx·四川卷 設函數f(x)(aR，e為自然對數的底數)若曲線ysinx上存在(x0，y0)使得f(f(y0)y0，則a的取值范圍是()A1，e Be11，1C1，e1 De11，e110A解析 因為y0sin x01，1，且f(x)在1，1上(有意義時)是增函數，對于y01，1，如果f(y0)cy0，則f(f(y0)f(c)f(y0)cy0，不可能有f(f(y0)y0.同理，當f(y0)dy0時，則f(f(y0)f(d)f(y0)dy0，也不可能有f(f(y0)y0，因此必有f(y0)y0，即方程f(x)x在1，1上有解，即x在1，1上有解顯然，當x0時，方程無解，即需要x在0，1上有解當x0時，兩邊平方得exxax2，故aexx2x.記g(x)exx2x，則g(x)ex2x1.當x時，ex0，2x10，故g(x)0，當x時，ex1，0>2x11，故g(x)0.綜上，g(x)在x0，1上恒大于0，所以g(x)在0，1上為增函數，值域為1，e，從而a的取值范圍是1，e7B1，B3，B12xx·四川卷 函數y的圖像大致是()圖157C解析 函數的定義域是xR|x0，排除選項A；當x<0時，x3<0，3x1<0，故y>0，排除選項B；當x時，y>0且y0，故為選項C中的圖像10B3，B5，B8，B12xx·新課標全國卷 已知函數f(x)x3ax2bxc，下列結論中錯誤的是()Ax0R，f(x0)0B函數yf(x)的圖像是中心對稱圖形C若x0是f(x)的極小值點，則f(x)在區(qū)間(，x0)單調遞減D若x0是f(x)的極值點，則f(x0)010C解析 x 時，f(x)<0 ，x 時，f(x)>0，f(x) 連續(xù)，x0R ，f(x0)0，A正確；通過平移變換，函數可以化為f(x)x3c ，從而函數yf(x)的圖像是中心對稱圖形，B正確； 若x0是f(x)的極小值點，可能還有極大值點x1 ，則f(x)在區(qū)間(x1 ，x0)單調遞減C錯誤D正確故答案為C.B4函數的奇偶性與周期性2B4xx·廣東卷 定義域為R的四個函數yx3，y2x，yx21，y2 sin x中，奇函數的個數是()A4 B3 C2 D12C解析 函數yx3，y2sin x是奇函數11B4xx·江蘇卷 已知f(x)是定義在R上的奇函數當x>0時，f(x)x24x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為_11(5，0)(5，)解析 設x<0，則x>0.因為f(x)是奇函數，所以f(x)f(x)(x24x)又f(0)0，于是不等式f(x)>x等價于或解得x>5或5<x<0，故不等式的解集為(5，0)(5，)3B4xx·山東卷 已知函數f(x)為奇函數，且當x>0時，f(x)x2，則f(1)()A2 B0 C1 D23A解析 f為奇函數，ff(1)2.14B4，E3xx·四川卷 已知f(x)是定義域為R的偶函數，當x0時，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)<5的解集是_14(7，3)解析 當x20時，f(x2)(x2)24(x2)x24，由f(x2)5，得x245，即x29，解得3x3，又x20，故2x3為所求又因為f(x)為偶函數，故f(x2)的圖像關于直線x2對稱，于是7x2也滿足不等式(注：本題還可以借助函數的圖像及平移變換求解)B5二次函數4A2、B5xx·安徽卷 “a0”是“函數f(x)|(ax1)x|在區(qū)間(0，)內單調遞增”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件4C解析 f(x)|(ax1)x|ax2x|，若a0，則f(x)|x|，此時f(x)在區(qū)間(0，)上單調遞增；若a<0，則二次函數yax2x的對稱軸x<0，且x0時y0，此時yax2x在區(qū)間(0，)上單調遞減且y<0恒成立，故f(x)|ax2x|在區(qū)間(0，)上單調遞增，故a0時，f(x)在區(qū)間(0，)上單調遞增，條件是充分的；反之若a>0，則二次函數yax2x的對稱軸x>0，且在區(qū)間0，上y<0，此時f(x)|ax2x|在區(qū)間0，上單調遞增，在區(qū)間，上單調遞減，故函數f(x)不可能在區(qū)間(0，)上單調遞增，條件是必要的5B5，B9xx·湖南卷 函數f(x)2ln x的圖像與函數g(x)x24x5的圖像的交點個數為()A3 B2 C1 D05B解析 法一：作出函數f(x)2ln x，g(x)x24x5的圖像如圖：可知，其交點個數為2，選B.法二：也可以采用數值法：x124f(x)2ln x02ln 2ln 4>1ln 42<5g(x)x24x5215可知它們有2個交點，選B.10B3，B5，B8，B12xx·新課標全國卷 已知函數f(x)x3ax2bxc，下列結論中錯誤的是()Ax0R，f(x0)0B函數yf(x)的圖像是中心對稱圖形C若x0是f(x)的極小值點，則f(x)在區(qū)間(，x0)單調遞減D若x0是f(x)的極值點，則f(x0)010C解析 x 時，f(x)<0 ，x 時，f(x)>0，f(x) 連續(xù)，x0R ，f(x0)0，A正確；通過平移變換，函數可以化為f(x)x3c ，從而函數yf(x)的圖像是中心對稱圖形，B正確； 若x0是f(x)的極小值點，可能還有極大值點x1 ，則f(x)在區(qū)間(x1 ，x0)單調遞減C錯誤D正確故答案為C.B6指數與指數函數6E3、B6、B7xx·安徽卷 已知一元二次不等式f(x)<0的解集為x)x<1或x>，則f(10x)>0的解集為()Ax|x<1或x>lg 2 Bx|1<x<lg 2Cx|x>lg 2 Dx|x<lg 26D解析 根據已知可得不等式f(x)>0的解是1<x<，故1<10x<，解得x<lg 2.16A1，A3，B6xx·湖南卷 設函數f(x)axbxcx，其中c>a>0，c>b>0.(1)記集合M(a，b，c)|a，b，c不能構成一個三角形的三條邊長，且ab，則(a，b，c)M所對應的f(x)的零點的取值集合為_；(2)若a，b，c是ABC的三條邊長，則下列結論正確的是_(寫出所有正確結論的序號)x(，1)，f(x)>0；xR，使ax，bx，cx不能構成一個三角形的三條邊長；若ABC為鈍角三角形，則x(1，2)，使f(x)0.16(1)x|0<x1(2)解析 (1)因ab，所以函數f(x)2axcx，又因a，b，c不能構成一個三角形，且c>a>0，c>b>0，故ab2a<c，令f(x)2axcx0，即f(x)cx0，故可知，又0<<，結合指數函數性質可知0<x1，即取值集合為x|0<x1(2)因f(x)axbxcxcx，因c>a>0，c>b>0，則0<<1，0<<1，當x(，1)時，有>，>，所以>，又a，b，c為三角形三邊，則定有ab>c，故對x(，1)，1>0，即f(x)axbxcxcx>0，故正確；取x2，則<，取x3，則<，由此遞推，必然存在xn時，有<1，即anbn<cn，故正確；對于，因f(1)abc>0，f(2)a2b2c2<0(C為鈍角)，根據零點存在性定理可知，x(1，2)，使f(x)0，故正確故填.3B6，B7xx·浙江卷 已知x，y為正實數，則()A2lg xlg y2lg x2lg y B2lg(xy)2lg x·2lg yC2lg x·lg y2lg x2lg y D2lg(xy)2lg x·2lg y3D解析 lg(xy)lg xlg y，2lg(xy)2lg xlg y2lgx2lgy，故選擇D.B7對數與指數函數6E3、B6、B7xx·安徽卷 已知一元二次不等式f(x)<0的解集為x)x<1或x>，則f(10x)>0的解集為()Ax|x<1或x>lg 2 Bx|1<x<lg 2Cx|x>lg 2 Dx|x<lg 26D解析 根據已知可得不等式f(x)>0的解是1<x<，故1<10x<，解得x<lg 2.16B7、M1xx·山東卷 定義“正對數”：ln x現有四個命題：若a>0，b>0，則ln(ab)blna；若a>0，b>0，則ln(ab)lnalnb；若a>0，b>0，則lnlnalnb；若a>0，b>0，則ln(ab)lnalnbln 2.其中的真命題有_(寫出所有真命題的編號)16解析 中，當ab1時，b>0，a1，ln(ab)ln abbln ablna；當0<ab<1時，b>0，0<a<1，ln(ab)blna0，正確；中，當0<ab<1，且a>1時，左邊ln(ab)0，右邊lnalnbln a0ln a>0，不成立；中，當1，即ab時，左邊0，右邊lnalnb0，左邊右邊成立；當>1時，左邊lnln aln b>0，若a>b>1時，右邊ln aln b，左邊右邊成立；若0<b<a<1時，右邊0, 左邊右邊成立；若a>1>b>0，左邊lnln aln b>ln a，右邊ln a，左邊右邊成立，正確；中，若0<ab<1，左邊ln0，右邊lnalnbln 2ln 2>0，左邊右邊；若ab1，lnln 2lnln 2ln，又a或b，a，b至少有1個大于1，lnln a或lnln b，即有l(wèi)nln 2lnln 2lnlnalnb，正確8B7，E1xx·新課標全國卷 設alog36，blog510，clog714，則()Acba BbcaCacb Dabc8D解析 ablog36log510(1log32)(1log52)log32log52>0，bclog510log714(1log52)(1log72)log52log72>0，所以a>b>c，選D.3B6，B7xx·浙江卷 已知x，y為正實數，則()A2lg xlg y2lg x2lg y B2lg(xy)2lg x·2lg yC2lg x·lg y2lg x2lg y D2lg(xy)2lg x·2lg y3D解析 lg(xy)lg xlg y，2lg(xy)2lg xlg y2lgx2lgy，故選擇D.B8冪函數與函數的圖像5B8xx·北京卷 函數f(x)的圖像向右平移1個單位長度，所得圖像與曲線yex關于y軸對稱，則f(x)()Aex1 Bex1 Cex1 Dex15D解析 依題意，f(x)向右平移一個單位長度得到f(x1)的圖像，又yex的圖像關于y軸對稱的圖像的解析式為yex，所以f(x1)ex，所以f(x)ex1.10B1，B8xx·江西卷 如圖13所示，半徑為1的半圓O與等邊三角形ABC夾在兩平行線l1，l2之間，ll1，l與半圓相交于F，G兩點，與三角形ABC兩邊相交于E，D兩點設弧FG的長為x(0<x<)，yEBBCCD，若l從l1平行移動到l2，則函數yf(x)的圖像大致是()圖13圖1410D解析 設l，l2距離為t，cos x2t21，得t.ABC的邊長為，得BE(1t)，則y2BEBC2×(1t)2，當x(0，)時，非線性單調遞增，排除A，B，求證x的情況可知選D.10B3，B5，B8，B12xx·新課標全國卷 已知函數f(x)x3ax2bxc，下列結論中錯誤的是()Ax0R，f(x0)0B函數yf(x)的圖像是中心對稱圖形C若x0是f(x)的極小值點，則f(x)在區(qū)間(，x0)單調遞減D若x0是f(x)的極值點，則f(x0)010C解析 x 時，f(x)<0 ，x 時，f(x)>0，f(x) 連續(xù)，x0R ，f(x0)0，A正確；通過平移變換，函數可以化為f(x)x3c ，從而函數yf(x)的圖像是中心對稱圖形，B正確； 若x0是f(x)的極小值點，可能還有極大值點x1 ，則f(x)在區(qū)間(x1 ，x0)單調遞減C錯誤D正確故答案為C.B9函數與方程11B9，B11xx·新課標全國卷 已知函數f(x)若|f(x)|ax，則a的取值范圍是()A(，0 B(，1C2，1 D2，011D解析 方法一：若x0，|f(x)|x22x|x22x，x0時，不等式恒成立，x<0時，不等式可變?yōu)閍x2，而x2<2，可得a2；若x>0，|f(x)|ln(x1)|ln(x1)，由ln(x1)ax，可得a恒成立，令h(x)，則h(x)，再令g(x)ln(x1)，則g(x)<0，故g(x)在(0，)上單調遞減，所以g(x)<g(0)0，可得h(x)<0，故h(x)在(0，)上單調遞減，x時，h(x)0，所以h(x)>0，a0.綜上可知，2a0，故選D.方法二：數形結合：畫出函數|f(x)|與直線yax的圖像，如下圖，要使|f(x)|ax恒成立，只要使直線yax的斜率最小時與函數yx22x，x0在原點處的切線斜率相等即可，最大時與x軸的斜率相等即可，因為y2x2，所以y|x02，所以2a0.10B9，B12xx·安徽卷 若函數f(x)x3ax2bxc有極值點x1，x2，且f(x1)x1，則關于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同實根個數是()A3 B4C5 D610A解析 因為f(x)3x22axb，3(f(x)22af(x)b0且3x22axb0的兩根分別為x1，x2，所以f(x)x1或f(x)x2，當x1是極大值點時，f(x1)x1，x2為極小值點，且x2>x1，如圖(1)所示，可知方程f(x)x1有兩個實根，f(x)x2有一個實根，故方程3(f(x)22af(x)b0共有3個不同實根；當x1是極小值點時，f(x1)x1，x2為極大值點，且x2<x1，如圖(2)所示，可知方程f(x)x1有兩個實根，f(x)x2有一個實根，故方程3(f(x)22af(x)b0共有3個不同實根；綜合以上可知，方程3(f(x)22af(x)b0共有3個不同實根8B9xx·安徽卷 函數yf(x)的圖像如圖12所示，在區(qū)間a，b上可找到n(n2)個不同的數x1，x2，xn，使得，則n的取值范圍是()圖12A3，4 B2，3，4C3，4，5 D2，38B解析 問題等價于直線ykx與函數yf(x)圖像的交點個數，從圖中可以看出交點個數可以為2，3，4，故n的取值范圍是2，3，45B5，B9xx·湖南卷 函數f(x)2ln x的圖像與函數g(x)x24x5的圖像的交點個數為()A3 B2 C1 D05B解析 法一：作出函數f(x)2ln x，g(x)x24x5的圖像如圖：可知，其交點個數為2，選B.法二：也可以采用數值法：x124f(x)2ln x02ln 2ln 4>1ln 42<5g(x)x24x5215可知它們有2個交點，選B.21B9、B12xx·山東卷 設函數f(x)c(e2.718 28是自然對數的底數，cR)(1)求f(x)的單調區(qū)間、最大值；(2)討論關于x的方程|ln x|f(x)根的個數21解：(1)f(x)(12x)e2x.由f(x)0，解得x，當x<時，f(x)>0，f(x)單調遞增；當x>時，f(x)<0，f(x)單調遞減所以，函數f(x)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是，最大值為fe1c.(2)令g(x)|lnx|f(x)|lnx|xe2xc，x(0，)當x(1，)時，lnx>0，則g(x)lnxxe2xc，所以g(x)e2x2x1.因為2x1>0，>0，所以g(x)>0.因此g(x)在(1，)上單調遞增當x(0，1)時，lnx<0，則g(x)lnxxe2xc，所以g(x)e2x2x1.因為e2x(1，e2)，e2x>1>x>0，所以<1.又2x1<1，所以2x1<0，即g(x)<0.因此g(x)在(0，1)上單調遞減綜合可知，當x(0，)時，g(x)g(1)e2c.當g(1)e2c>0，即c<e2時，g(x)沒有零點，故關于x的方程|lnx|f(x)根的個數為0；當g(1)e2c0，即ce2時，g(x)只有一個零點，故關于x的方程|lnx|f(x)根的個數為1；當g(1)e2c<0，即c>e2時，()當x(1，)時，由(1)知g(x)lnxxe2xclnxe1c>lnx1c，要使g(x)>0，只需使lnx1c>0，即x(e1c，)；()當x(0，1)時，由(1)知g(x)lnxxe2xclnxe1c>lnx1c，要使g(x)>0，只需lnx1c>0，即x(0，e1c)；所以c>e2時，g(x)有兩個零點，故關于x的方程|lnx|f(x)根的個數為2.綜上所述，當c<e2時，關于x的方程|lnx|f(x)根的個數為0；當ce2時，關于x的方程|lnx|f(x)根的個數為1；當c>e2時，關于x的方程|lnx|f(x)根的個數為2.21B3，B9，B12xx·四川卷 已知函數f(x)其中a是實數設A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)為該函數圖像上的兩點，且x1<x2.(1)指出函數f(x)的單調區(qū)間；(2)若函數f(x)的圖像在點A，B處的切線互相垂直，且x2<0，求x2x1的最小值；(3)若函數f(x)的圖像在點A，B處的切線重合，求a的取值范圍21解：(1)函數f(x)的單調遞減區(qū)間為(，1)，單調遞增區(qū)間為1，0)，(0，)(2)由導數的幾何意義可知，點A處的切線斜率為f(x1)，點B處的切線斜率為f(x2)，故當點A處的切線與點B處的切線垂直時，有f(x1)f(x2)1.當x<0時，對函數f(x)求導，得f(x)2x2.因為x1<x2<0，所以，(2x12)(2x22)1，所以2x12<0，2x22>0.因此x2x1(2x12)2x221，當且僅當(2x12)2x221，即x1且x2時等號成立所以，函數f(x)的圖像在點A，B處的切線互相垂直時，x2x1的最小值為1.(3)當x1<x2<0或x2>x1>0時，f(x1)f(x2)，故x1<0<x2.當x1<0時，函數f(x)的圖像在點(x1，f(x1)處的切線方程為y(x2x1a)(2x12)(xx1)，即y(2x12)xxa.當x2>0時，函數f(x)的圖像在點(x2，f(x2)處的切線方程為yln x2(xx2)，即y·xln x21.兩切線重合的充要條件是由及x1<0<x2，知1<x1<0.由得，axln1xln(2x12)1.設h(x1)xln(2x12)1(1<x1<0)，則h(x1)2x1<0.所以，h(x1)(1<x1<0)是減函數則h(x1)>h(0)ln 21，所以a>ln 21.又當x1(1，0)且趨近于1時，h(x1)無限增大，所以a的取值范圍是(ln 21，)故當函數f(x)的圖像在點A，B處的切線重合時，a的取值范圍是(ln 21，)7B9xx·天津卷 函數f(x)2x|log0.5x|1的零點個數為()A1 B2 C3 D47B解析 f(x)2x|log0.5 x|1f(x)2xlog2x1在(0，1上遞減且x接近于0時，f(x)接近于正無窮大，f(1)1<0，f(x)在(0，1上有一零點；又f(x)2xlog2x1在(1，)上遞增，且f(2)22×log2 213>0，f(x)在(1，)上有一零點故f(x)共有2個零點B10函數模型及其應用10B10xx·陜西卷 設x表示不大于x的最大整數，則對任意實數x，y，有()Axx B2x2xCxyxy Dxyxy10D解析 可取特值x3.5，則x3.54，x3.53，故A錯2x77，2x23.56，故B錯再取y3.8，則xy7.37，而3.53.8336，故C錯只有D正確6B10xx·重慶卷 若abc，則函數f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間()A(a，b)和(b，c)內 B(，a)和(a，b)內C(b，c)和(c，)內 D(，a)和(c，)內6A解析 因為f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0，所以f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，所以函數的兩個零點分別在(a，b)和(b，c)內，故選A.B11導數及其運算11B9，B11xx·新課標全國卷 已知函數f(x)若|f(x)|ax，則a的取值范圍是()A(，0 B(，1C2，1 D2，011D解析 方法一：若x0，|f(x)|x22x|x22x，x0時，不等式恒成立，x<0時，不等式可變?yōu)閍x2，而x2<2，可得a2；若x>0，|f(x)|ln(x1)|ln(x1)，由ln(x1)ax，可得a恒成立，令h(x)，則h(x)，再令g(x)ln(x1)，則g(x)<0，故g(x)在(0，)上單調遞減，所以g(x)<g(0)0，可得h(x)<0，故h(x)在(0，)上單調遞減，x時，h(x)0，所以h(x)>0，a0.綜上可知，2a0，故選D.方法二：數形結合：畫出函數|f(x)|與直線yax的圖像，如下圖，要使|f(x)|ax恒成立，只要使直線yax的斜率最小時與函數yx22x，x0在原點處的切線斜率相等即可，最大時與x軸的斜率相等即可，因為y2x2，所以y|x02，所以2a0.10B11xx·廣東卷 若曲線ykxln x在點(1，k)處的切線平行于x軸，則k_101解析 yk，y|x1k10，故k1.13B1，B11xx·江西卷 設函數f(x)在(0，)內可導，且f(ex)xex，則f(1)_132解析 f(ex)xex，利用換元法可得f(x)ln xx，f(x)1，所以f(1)2.18B11，B12xx·北京卷 設L為曲線C：y在點(1，0)處的切線(1)求L的方程；(2)證明：除切點(1，0)之外，曲線C在直線L的下方18解：(1)設f(x)，則f(x).所以f(1)1.所以L的方程為yx1.(2)令g(x)x1f(x)，則除切點之外，曲線C在直線L的下方等價于g(x)>0(x>0，x1)g(x)滿足g(1)0，且g(x)1f(x).當0<x<1時，x21<0，ln x<0，所以g(x)<0，故g(x)單調遞減；當x>1時，x21>0，ln x>0，所以g(x)>0，故g(x)單調遞增所以g(x)>g(1)0(x>0，x1)所以除切點之外，曲線C在直線L的下方9B11、B12xx·全國卷 若函數f(x)x2ax在是增函數，則a的取值范圍是()A1，0 B1，)C0，3 D3，)9D解析 f(x)2xa0在上恒成立，即a2x在上恒成立，由于y2x在上單調遞減，所以y<3，故只要a3.17B11，B12xx·重慶卷 設f(x)a(x5)26ln x，其中aR，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線與y軸相交于點(0，6)(1)確定a的值；(2)求函數f(x)的單調區(qū)間與極值17解：(1)因f(x)a(x5)26ln x，故f(x)2a(x5).令x1，得f(1)16a，f(1)68a，所以曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為y16a(68a)(x1)，由點(0，6)在切線上可得616a8a6，故a.(2)由(1)知，f(x)(x5)26ln x(x0)，f(x)x5，令f(x)0，解得x12，x23.當0x2或x3時，f(x)0，故f(x)在(0，2)，(3，)上為增函數；當2x3時，f(x)0，故f(x)在(2，3)上為減函數由此可知，f(x)在x2處取得極大值f(2)6ln 2，在x3處取得極小值f(3)26ln 3.B12導數的應用20B12 、D5xx·安徽卷 設函數fn(x)1x(xR，nN*)證明：(1)對每個nN*，存在唯一的xn，1，滿足fn(xn)0；(2)對任意pN*，由(1)中xn構成的數列xn滿足0<xnxnp<.20證明：(1)對每個nN*，當x>0時，fn(x)1>0，故fn(x)在(0，)內單調遞增由于f1(1)0，當n2時，fn(1)>0.故fn(1)0.又fn1k··n1<0.所以存在唯一的xn，1，滿足fn(xn)0.(2)當x>0時，fn1(x)fn(x)fn(x)，故fn1(xn)>fn(xn)fn1(xn1)0.由fn1(x)在(0，)內單調遞增，xn1<xn，故xn為單調遞減數列從而對任意n，pN*，xnp<xn.對任意pN*，由于fn(xn)1xn0，fnp(xnp)1xnp0，式減去式并移項，利用0<xnp<xn1，得xnxnp<<.因此，對任意pN*，都有0<xnxnp<.17B12xx·安徽卷 設函數f(x)ax(1a2)x2，其中a>0，區(qū)間Ix|f(x)>0(1)求I的長度(注：區(qū)間(，)的長度定義為)；(2)給定常數k(0，1)，當1ka1k時，求I長度的最小值17解：(1)因為方程ax(1a2)x20(a>0)有兩個實根x10，x2，故f(x)>0的解集為x|x1<x<x2，因此區(qū)間I0，I的長度為.(2)設d(a)，則d(a).令d(a)0，得a1.由于0<k<1，故當1ka<1時，d(a)>0，d(a)單調遞增；當1<a1k時，d(a)<0，d(a)單調遞減所以當1ka1k時，d(a)的最小值必定在a1k或a1k處取得而<1，故d(1k)<d(1k)因此當a1k時，d(a)在區(qū)間1k，1k上取得最小值，則I長度的最小值為.10B9，B12xx·安徽卷 若函數f(x)x3ax2bxc有極值點x1，x2，且f(x1)x1，則關于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同實根個數是()A3 B4C5 D610A解析 因為f(x)3x22axb，3(f(x)22af(x)b0且3x22axb0的兩根分別為x1，x2，所以f(x)x1或f(x)x2，當x1是極大值點時，f(x1)x1，x2為極小值點，且x2>x1，如圖(1)所示，可知方程f(x)x1有兩個實根，f(x)x2有一個實根，故方程3(f(x)22af(x)b0共有3個不同實根；當x1是極小值點時，f(x1)x1，x2為極大值點，且x2<x1，如圖(2)所示，可知方程f(x)x1有兩個實根，f(x)x2有一個實根，故方程3(f(x)22af(x)b0共有3個不同實根；綜合以上可知，方程3(f(x)22af(x)b0共有3個不同實根17B12xx·福建卷 已知函數f(x)xaln x(aR)(1)當a2時，求曲線yf(x)在點A(1，f(1)處的切線方程；(2)求函數f(x)的極值17解：函數f(x)的定義域為(0，)，f(x)1.(1)當a2時，f(x)x2lnx，f(x)1(x>0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲線yf(x)在點A(1，f(1)處的切線方程為y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x>0知：當a0時，f(x)>0，函數f(x)為(0，)上的增函數，函數f(x)無極值；當a>0時，由f(x)0，解得xa.又當x(0，a)時，f(x)<0；當x(a，)時，f(x)>0，從而函數f(x)在xa處取得極小值，且極小值為f(a)aaln a，無極大值綜上，當a0時，函數f(x)無極值；當a>0時，函數f(x)在xa處取得極小值aaln a，無極大值22B12，E8xx·湖北卷 設n是正整數，r為正有理數(1)求函數f(x)(1x)r1(r1)x1(x>1)的最小值；(2)證明：<nr<；(3)設xR，記x為不小于x的最小整數，例如22，4，1.令S，求S的值(參數數據：80344.7，81350.5，124618.3，126631.7)22解： (1)因為f(x)(r1)(1x)r(r1)(r1)(1x)r1，令f(x)0，解得x0.當1<x<0時，f(x)<0，所以f(x)在(1，0)內是減函數；當x>0時，f(x)>0，所以f(x)在(0，)內是增函數，故函數f(x)在x0處取得最小值f(0)0.(2)由(1)，當x(1，)時，有f(x)f(0)0，即(1x)r11(r1)x，且等號當且僅當x0時成立，故當x>1且x0時，有(1x)r1>1(r1)x.在中，令x(這時x>1且x0)，得>1.上式兩邊同乘nr1，得(n1)r1>nr1nr(r1)，即nr<.當n>1時，在中令x(這時x>1且x0)，類似可得nr>，且當n1時，也成立，綜合，得<nr<.(3)在中，令r，n分別取值81，82，83，125，得(8180)<<(8281)，(8281)<<(8382)，(8382)<<(8483)，(125124)<<(126125)，將以上各式相加，并整理得(12580)<S<(12681)，代入數據計算，可得(12580)210.2，(12681)210.9.由S的定義，得S211.10B12xx·湖北卷 已知a為常數，函數f(x)x(ln xax)有兩個極值點x1，x2(x1<x2)，則()Af(x1)>0，f(x2)>Bf(x1)<0，f(x2)<Cf(x1)>0，f(x2)<Df(x1)<0，f(x2)>10D解析 f(x)ln x(2ax1)0ln x2ax1，函數yln x與函數y2ax1的圖像有兩個交點，令y1ln x，y22ax1，在同一坐標系中作出這兩個函數的圖像，顯然a0時，兩個函數圖像只有一個公共點，故a>0，此時當直線的斜率逐漸變大直到直線y2ax1與曲線yln x相切時，兩函數圖像均有兩個不同的公共點，y1，故曲線yln x上的點(x0，ln x0)處的切線方程是yln x0(xx0)，該直線過點(0，1)，則1ln x01，解得x01，故過點(0，1)的曲線yln x的切線斜率是1，故2a1，即a，所以a的取值范圍是0，.因為0<x1<1<x2，當x(x1，x2)時，f(x)>0，f(x)遞增，f(1)a，f(x1)<f(1)a<0，f(x2)>f(1)a>，選D.21B1，B12xx·江西卷 已知函數f(x)a，a為常數且a>0.(1)證明：函數f(x)的圖像關于直線x對稱；(2)若x0滿足f(f(x0)x0，但f(x0)x0，則稱x0為函數f(x)的二階周期點如果f(x)有兩個二階周期點x1，x2，試確定a的取值范圍；(3)對于(2)中的x1，x2和a，設x3為函數 f(f(x)的最大值點，A(x1，f(f(x1)，B(x2，f(f(x2)，C(x3，0)記ABC的面積為S(a)，討論S(a)的單調性解：(1)證明：因為fa(12|x|)，fa(12|x|)，有ff，所以函數f(x)的圖像關于直線x對稱(2)當0<a<時，有f(f(x)所以f(f(x)x只有一個解x0，又f(0)0，故0不是二階周期點當a時，有f(f(x)