2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題2 數(shù)列 第3講 等差數(shù)列、等比數(shù)列學(xué)案 文

2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題2 數(shù)列 第3講 等差數(shù)列、等比數(shù)列學(xué)案 文熱點(diǎn)題型真題統(tǒng)計命題規(guī)律題型1：等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算2018全國卷T17；2018全國卷T17；2017全國卷T172016全國卷T17；2016全國卷T17；2016全國卷T172015全國卷T7；2014全國卷T51.高考以“一大”或“兩小”的命題形式出現(xiàn)，近三年以“一大”的形式出現(xiàn).題型2：等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì)2015全國卷T5；2015全國卷T92.重點(diǎn)考查等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算以及等差(比)數(shù)列的判定.題型3：等差(比)數(shù)列的判定與證明2018全國卷T17；2017全國卷T17；2015全國卷T131等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式ana1(n1)d；Snna1d.2等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式ana1qn1(q0)；Sn高考考法示例·【例1】(1)(2018·哈爾濱模擬)等比數(shù)列an中各項均為正數(shù)，Sn為其前n項和，且滿足2S38a13a2，a416，則S4()A9B15C18D30(2)(2018·北京模擬)已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若a22，S99，則a8_.(1)D(2)0(1)由2S38a13a2得6a1a22a30，則有，解得因此S430.(2)由題意知解得d，a1.所以a8a17d0.(3)(2018·全國卷)等比數(shù)列an中，a11，a54a3.求an的通項公式；記Sn為an的前n項和若Sm63，求m.解設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.若an(2)n1，則Sn.由Sm63得(2)m188，此方程沒有正整數(shù)解若an2n1，則Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.綜上，m6.方法歸納等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的解題思路(1)設(shè)基本量a1和公差d(公比q).(2)列、解方程(組)：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程(組)，求出a1和d(q)后代入相應(yīng)的公式計算.(3)注意整體思想，如在與等比數(shù)列前n項和有關(guān)的計算中，兩式相除就是常用的計算方法，整體運(yùn)算可以有效簡化運(yùn)算.對點(diǎn)即時訓(xùn)練·1(2018·合肥模擬)若等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a2S34，a3S512，則a4S7的值是()A20B36C24D72C由a2S34及a3S512得解得a4S78a124d24.故選C.2(2018·邵陽模擬)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a2a32a1，且a4與2a7的等差中項為，則S5()A29 B31 C33 D36B設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因為a2a32a1，所以aq32a1，因為a4與2a7的等差中項為，所以a42a7，即a1q32a1q6，聯(lián)立可解得a116，q，所以S531.題型2等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì)核心知識儲備·1若m，n，p，q，kN*，且mnpq2k，則在等差數(shù)列中amanapaq2ak，在等比數(shù)列中am·anap·aqa.2若an，bn均是等差數(shù)列，Sn是an的前n項和，則mankbn，仍為等差數(shù)列，其中m，k為常數(shù)3若an，bn均是等比數(shù)列，則can(c0)，|an|，an·bn，manbn(m為常數(shù)，m0)，a，仍為等比數(shù)列4(1)等比數(shù)列(q1)中連續(xù)k項的和成等比數(shù)列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比數(shù)列，其公比為qk.(2)等差數(shù)列中連續(xù)k項的和成等差數(shù)列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差數(shù)列，公差為k2d.5若A2n1，B2n1分別為等差數(shù)列an，bn的前2n1項的和，則.高考考法示例·【例2】(1)(2018·長春模擬)已知等差數(shù)列an滿足：a22，SnSn354(n3)，Sn100，則n等于()A7B8C9D10(2)(2018·福州五校聯(lián)考)在等比數(shù)列an中，a3，a15是方程x27x120的兩根，則的值為()A2 B4 C±2 D±4(3)(2018·昆明模擬)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn為其前n項和，若a1a2a34，a4a5a68，則S12()A40 B60 C32 D50(1)D(2)A(3)B(1)由SnSn354得an2an1an54.即3an154，所以an118.所以Sn10n100.因此n10.(2)a3，a15是方程x27x120的兩根，a3a1512，a3a157，an為等比數(shù)列，又a3，a9，a15同號，a90，a92，a92.故選A.(3)由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比數(shù)列，即數(shù)列4,8，S9S6，S12S9是等比數(shù)列，所以S9S616，S12S932，所以S12(S12S9)(S9S6)(S6S3)S332168460，故選B.方法歸納等差、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用策略(1)項數(shù)是關(guān)鍵：解題時特別關(guān)注條件中項的下標(biāo)即項數(shù)的關(guān)系，尋找項與項之間、多項之間的關(guān)系選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)解題.(2)整體代入：計算時要注意整體思想，如求Sn可以將與a1an相等的式子整體代入，不一定非要求出具體的項。對點(diǎn)即時訓(xùn)練·1(2018·武漢模擬)等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a5a6a4a718，則log3a1log3a2log3a10()A12B10C8D2log35B由等比數(shù)列的性質(zhì)知a5a6a4a79，所以log3a1log3a2log3a3log3a10log3(a1a2a3a10)log3(a5a6)5log39510，故選B.2(2018·煙臺模擬)若an是等差數(shù)列，首項a1>0，a2 016a2 017>0，a2 016·a2 017<0，則使前n項和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是()A2 016 B2 017 C4 032 D4 033C因為a1>0，a2 016a2 017>0，a2 016·a2 017<0，所以d<0，a2 016>0，a2 017<0，所以S4 0320，S4 0334 033a2 0170，所以使前n項和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是4 032，故選C.題型3等差(比)數(shù)列的判定與證明核心知識儲備·1證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法(1)利用定義，證明an1an(nN*)為同一常數(shù)；(2)利用等差中項性質(zhì)，即證明2anan1an1(n2)2證明an是等比數(shù)列的兩種基本方法(1)利用定義，證明(nN*)為同一常數(shù)；(2)利用等比中項性質(zhì)，即證明aan1an1(n2，an0)高考考法示例·【例3】(2018·日照模擬)已知數(shù)列an，bn滿足a11，an11，bn，其中nN*.(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求出數(shù)列an的通項公式(2)設(shè)cn，求數(shù)列cncn2的前n項和Tn.思路點(diǎn)撥(1)(2)解(1)證明：bn1bn2，數(shù)列bn是公差為2的等差數(shù)列又b12，bn2(n1)×22n，2n，解得an.(2)由(1)可得cn，cncn2×2，數(shù)列cncn2的前n項和為Tn2123.方法歸納判斷或證明一個數(shù)列是等差(比)數(shù)列時應(yīng)注意的問題(1)判斷一個數(shù)列是等差(等比)數(shù)列，有通項公式法及前n項和公式法，但不作為證明方法.(2)若要判斷一個數(shù)列不是等差(等比)數(shù)列，只需判斷存在連續(xù)三項不成等差(等比)數(shù)列即可.(3)aoal(2,n)an1an1(n2，nN*)是an為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時，要注意各項不為0.(4)證明a，b，c成等差數(shù)列，只需證明2bac；證明a，b，c成等比數(shù)列，只需證明b2ac(abc0).對點(diǎn)即時訓(xùn)練·(2016·全國卷)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通項公式解(1)由題意可得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10得2an1(an1)an(an1)因為an的各項都為正數(shù)，所以.故an是首項為1，公比為的等比數(shù)列，因此an.1(2014·全國卷)等差數(shù)列an的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則an的前n項和Sn()An(n1)Bn(n1)C. D.A由a2，a4，a8成等比數(shù)列，得aa2a8，即(a16)2(a12)(a114)，a12.Sn2n×22nn2nn(n1)2(2017·全國卷)我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A1盞 B3盞C5盞 D9盞B設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7381，q2，S7381，解得a13.故選B.3(2015·全國卷)在數(shù)列an中，a12，an12an，Sn為an的前n項和若Sn126，則n_.6a12，an12an，數(shù)列an是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，又Sn126，126，n6.4(2018·全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知a17，S315.(1)求an的通項公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值解(1)設(shè)an的公差為d，由題意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通項公式為an2n9.(2)由(1)得Snn28n(n4)216.所以當(dāng)n4時，Sn取得最小值，最小值為16.5(2017·全國卷)記Sn為等比數(shù)列an的前n項和已知S22，S36.(1)求an的通項公式；(2)求Sn，并判斷Sn1，Sn，Sn2是否成等差數(shù)列解(1)設(shè)an的公比為q.由題設(shè)可得解得q2，a12.故an的通項公式為an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n22Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差數(shù)列