2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（人教版）講義：選修4－5 不等式選講 第2節(jié) 不等式證明 Word版含答案

2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（人教版）講義：選修45 不等式選講 第2節(jié) 不等式證明 Word版含答案考點高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)不等式證明xx·全國卷·T23·10分利用均值不等式證明不等式邏輯推理xx·浙江卷·T22·15分證明以數(shù)列為載體的不等式問題邏輯推理xx·全國卷·T24·10分絕對值不等式的解法與絕對值不等式的證明數(shù)學(xué)運算邏輯推理xx·全國卷·T24·10分不等式證明和充要條件的判斷邏輯推理命題分析從近幾年高考命題來看，作為新課程選考的重要內(nèi)容，不等式證明嚴格按考試說明要求命題，試題難度不超過中等，以解答題形式出現(xiàn)，著重考查比較法、綜合法，證明不等式，以及放縮法的應(yīng)用.提醒：比較法證明不等式最常用的是差值比較法，其基本步驟是：作差變形判斷差的符號下結(jié)論其中“變形”是證明的關(guān)鍵，一般通過因式分解或配方將差式變形為幾個因式的積或配成幾個代數(shù)式平方和的形式，當差式是二次三項式時，有時也可用判別式來判斷差值的符號個別題目也可用柯西不等式來證明1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)用反證法證明命題“a，b，c全為0”時假設(shè)為“a，b，c全不為0”()(2)若實數(shù)x、y適合不等式xy>1，xy>2，則x>0，y>0.()答案：(1)×(2)2設(shè)不等式|2x1|1的解集為M(1)求集合M(2)若a，bM，試比較ab1與ab的大小解：(1)由|2x1|1得12x11，解得0x1所以Mx|0x1(2)由(1)和a，bM可知0a1,0b1，所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0故ab1ab3已知a>b>c，且abc0，求證：<a證明：要證<a，只需證b2ac<3a2abc0，只需證b2a(ab)<3a2，只需證2a2abb2>0，只需證(ab)(2ab)>0，只需證(ab)(ac)>0a>b>c，ab>0，ac>0(ab)(ac)>0顯然成立，故原不等式成立比較法證明不等式明技法作商比較法證明不等式的一般步驟作商：將不等式左右兩邊的式子進行作商；變形：將商式的分子放(縮)，分母不變，或分子不變，分母放(縮)，或分子放(縮)，分母縮(放)，從而化簡商式為容易和1比較大小的形式；判斷：判斷商與1的大小關(guān)系，就是判斷商大于1或小于1或等于1；結(jié)論提能力【典例】 求證：(1)當xR時，12x42x3x2；(2)當a，b(0，)時，aabb(ab).證明：(1)方法一(12x4)(2x3x2)2x3(x1)(x1)(x1)(x1)(2x3x1)(x1)(2x32xx1)(x1)2x(x21)(x1)(x1)2(2x22x1)(x1)20，所以12x42x3x2.方法二(12x4)(2x3x2)x42x3x2x42x21(x1)2·x2(x21)20，所以12x42x3x2.(2)ab，當ab時，1；當ab0時，1，0，1；當ba0時，01，0，1.所以aabb(ab).刷好題1設(shè)a，b是非負實數(shù)，求證：a3b3(a2b2)證明：由a，b是非負實數(shù)，作差得a3b3(a2b2)a2()b2()()()5()5當ab時，從而()5()5，得()()5()50；當ab時，從而()5()5，得()()5()50，所以a3b3(a2b2)2已知a，b(0，)，求證：abba(ab).證明：abba.當ab時，1；當ab0時，01，0，1.當ba0時，1，0，1.所以abba(ab).用綜合法、分析法證明不等式明技法分析法與綜合法常常結(jié)合起來使用，稱為分析綜合法，其實質(zhì)是既充分利用已知條件，又時刻瞄準解題目標，即不僅要搞清已知什么，還要明確干什么，通常用分析法找到解題思路，用綜合法書寫證題過程提能力【典例】 設(shè)x1，y1，求證：xyxy證明：由于x1，y1，要證xyxy，只需證xy(xy)1yx(xy)2因為yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)，因為x1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0，從而所要證明的不等式成立刷好題設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1.證明：(1)abbcca； (2)1證明：(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1，所以3(abbcca)1，即abbcca(2)因為b2a，c2b，a2c，所以(abc)2(abc)，即abc所以1反證法證明不等式明技法利用反證法證明問題的一般步驟(1)否定原結(jié)論；(2)從假設(shè)出發(fā)，導(dǎo)出矛盾；(3)證明原命題正確提能力【典例】 (1)設(shè)0a，b，c1，求證：(1a)b，(1b)c，(1c)a不可能同時大于證明：設(shè)(1a)b，(1b)c，(1c)a，三式相乘得(1a)b·(1b)c·(1c)a，又因為0a，b，c1，所以0(1a)a2同理：(1b)b，(1c)c，以上三式相乘得(1a)a·(1b)b·(1c)c，與矛盾所以(1a)b，(1b)c，(1c)a不可能同時大于(2)已知abc0，abbcca0，abc0，求證：a，b，c0證明：設(shè)a0，因為abc0，所以bc0又由abc0，則bca0，所以abbccaa(bc)bc0，與題設(shè)矛盾若a0，則與abc0矛盾，所以必有a0同理可證：b0，c0綜上可證a，b，c0刷好題1已知f(x)x2pxq，求證：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于證明：(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2(2)假設(shè)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，則|f(1)|2|f(2)|f(3)|2而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)2矛盾，|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于2已知函數(shù)yf(x)在R上是增函數(shù)，且f(a)f(b)f(b)f(a)，求證：ab證明：假設(shè)ab不成立，則ab或ab當ab時，ab，則有f(a)f(b)，f(a)f(b)，于是f(a)f(b)f(b)f(a)，與已知矛盾當ab時，ab，由函數(shù)yf(x)的單調(diào)性可得f(a)f(b)，f(b)f(a)，于是有f(a)f(b)f(b)f(a)，與已知矛盾故假設(shè)不成立ab