（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.1 簡(jiǎn)單幾何體的側(cè)面積學(xué)案 北師大版必修2

（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.1 簡(jiǎn)單幾何體的側(cè)面積學(xué)案 北師大版必修2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)對(duì)柱體、錐體、臺(tái)體的研究，掌握柱體、錐體、臺(tái)體的表面積的求法.2.了解柱體、錐體、臺(tái)體的表面積計(jì)算公式；能運(yùn)用柱體、錐體、臺(tái)體的表面積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題.3.培養(yǎng)空間想象能力和思維能力知識(shí)點(diǎn)一圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積思考1圓柱OO及其側(cè)面展開圖如下，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？答案S側(cè)2rl，S表2r(rl)思考2圓錐SO及其側(cè)面展開圖如下，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？答案底面周長(zhǎng)是2r，利用扇形面積公式得S側(cè)×2rlrl，S表r2rlr(rl)思考3圓臺(tái)OO及其側(cè)面展開圖如下，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？答案圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，內(nèi)弧長(zhǎng)等于圓臺(tái)上底周長(zhǎng)，外弧長(zhǎng)等于圓臺(tái)下底周長(zhǎng)，解得xl.S扇環(huán)S大扇形S小扇形(xl)×2Rx·2r(Rr)xRl (rR)l，所以，S圓臺(tái)側(cè)(rR)l，S圓臺(tái)表(r2rlRlR2)梳理圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式圖形表面積公式旋轉(zhuǎn)體圓柱底面積：S底2r2側(cè)面積：S側(cè)2rl表面積：S2r(rl)圓錐底面積：S底r2側(cè)面積：S側(cè)rl表面積：Sr(rl)圓臺(tái)上底面面積：S上底r2下底面面積：S下底r2側(cè)面積：S側(cè)(rlrl)表面積：S(r2r2rlrl)知識(shí)點(diǎn)二直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積思考1類比圓柱側(cè)面積的求法，你認(rèn)為怎樣求直棱柱的側(cè)面積？如果直棱柱底面周長(zhǎng)為c，高為h，那么直棱柱的側(cè)面積是什么？答案利用直棱柱的側(cè)面展開圖求棱柱的側(cè)面積展開圖如圖，不難求得S直棱柱側(cè)ch.思考2正棱錐的側(cè)面展開圖如圖，設(shè)正棱錐底面周長(zhǎng)為c，斜高為h，如何求正棱錐的側(cè)面積？答案正棱錐的側(cè)面積就是展開圖中各個(gè)等腰三角形面積之和，不難得到S正棱錐側(cè)ch.思考3下圖是正四棱臺(tái)的展開圖，設(shè)下底面周長(zhǎng)為c，上底面周長(zhǎng)為c，你能根據(jù)展開圖，歸納出正n棱臺(tái)的側(cè)面面積公式嗎？答案S正棱臺(tái)側(cè)n(aa)h(cc)h.梳理棱柱、棱錐、棱臺(tái)側(cè)面積公式幾何體側(cè)面展開圖側(cè)面積公式直棱柱S直棱柱側(cè)c·hc底面周長(zhǎng)h高正棱錐S正棱錐側(cè)c·hc底面周長(zhǎng)h斜高正棱臺(tái)S正棱臺(tái)側(cè)(cc)·hc、c上、下底面周長(zhǎng)h斜高1斜三棱柱的側(cè)面積也可以用cl來(lái)求解，其中l(wèi)為側(cè)棱長(zhǎng)，c為底面周長(zhǎng)(×)2多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和()3圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2S.(×)類型一旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積(表面積)例1(1)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A3 B4C24 D34(2)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為10 cm和20 cm.它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°，那么圓臺(tái)的表面積是_cm2.(結(jié)果中保留)考點(diǎn)題點(diǎn)答案(1)D(2)1 100解析(1)由三視圖可知，該幾何體為：故表面積為r2ll22434.(2)如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的上底面周長(zhǎng)為c，因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180°，故c·SA2×10，所以SA20，同理可得SB40，所以ABSBSA20，所以S表面積S側(cè)S上S下(r1r2)·ABrr(1020)×20×102×2021 100(cm2)故圓臺(tái)的表面積為1 100 cm2.反思與感悟圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和跟蹤訓(xùn)練1(1)圓柱的側(cè)面展開圖是兩邊長(zhǎng)分別為6和4的矩形，則圓柱的表面積為()A6(43)B8(31)C6(43)或8(31)D6(41)或8(32)考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析由題意，圓柱的側(cè)面積S側(cè)6×4242.當(dāng)以邊長(zhǎng)為6的邊為母線時(shí)，4為圓柱底面周長(zhǎng)，則2r4，即r2，所以S底4，所以S表S側(cè)2S底24288(31)當(dāng)以邊長(zhǎng)為4的邊為母線時(shí)，6為圓柱底面周長(zhǎng)，則2r6，即r3，所以S底9，所以S表S側(cè)2S底242186(43)(2)圓錐的中截面把圓錐側(cè)面分成兩部分，則這兩部分側(cè)面積的比為()A11 B12C13 D14考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析如圖所示，PB為圓錐的母線，O1，O2分別為截面與底面的圓心因?yàn)镺1為PO2的中點(diǎn)，所以，所以PAAB，O2B2O1A.又因?yàn)镾圓錐側(cè)·O1A·PA，S圓臺(tái)側(cè)·(O1AO2B)·AB，則.類型二多面體的側(cè)面積(表面積)及應(yīng)用例2某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于()A82 B112C142 D15考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析該幾何體為底面是直角梯形的直四棱柱S表2××(12)×12×12×12×22×112，故選B.反思與感悟多面體中的有關(guān)計(jì)算通常轉(zhuǎn)化為平面圖形(三角形或特殊的四邊形)來(lái)計(jì)算，對(duì)于棱錐中的計(jì)算問(wèn)題往往要構(gòu)造直角三角形，即棱錐的高、斜高以及斜高在底面上的投影構(gòu)成的直角三角形，或者由棱錐的高、側(cè)棱以及側(cè)棱在底面上的投影構(gòu)成的直角三角形跟蹤訓(xùn)練2 已知正四棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為4 cm，側(cè)棱和下底面邊長(zhǎng)都是8 cm，求它的側(cè)面積考點(diǎn)題點(diǎn)解方法一如圖，作B1FBC，垂足為F，設(shè)棱臺(tái)的斜高為h.在RtB1FB中，B1Fh，BF(84)2(cm)，B1B8 cm，B1F2(cm)，hB1F2 cm.S正棱臺(tái)側(cè)×4×(48)×248(cm2)方法二延長(zhǎng)正四棱臺(tái)的側(cè)棱交于點(diǎn)P，如圖，設(shè)PB1x cm，則，得x8 cm.PB1B1B8 cm，E1為PE的中點(diǎn)PE12(cm)PE2PE14 cm.S正棱臺(tái)側(cè)S大正棱錐側(cè)S小正棱錐側(cè)4××8×PE4××4×PE14××8×44××4×248(cm2)類型三組合體的側(cè)面積(表面積)命題角度1由三視圖求組合體的表面積例3某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是_cm2.考點(diǎn)題點(diǎn)答案138解析將三視圖還原為長(zhǎng)方體與直三棱柱的組合體，再利用表面積公式求解該幾何體如圖所示，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為6 cm，4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，邊長(zhǎng)分別為3 cm，4 cm，5 cm，所以表面積S2×(4×64×3)3×63×39939138(cm2)反思與感悟?qū)τ诖祟愵}目：(1)將三視圖還原為幾何體；(2)組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理跟蹤訓(xùn)練3一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的表面積為_m2.考點(diǎn)題點(diǎn)答案124解析由三視圖可以得到原幾何體是一個(gè)圓柱與圓錐的組合體，其表面積為2×1×4×12×2×2×22×12(124)(m2)命題角度2由旋轉(zhuǎn)形成的組合體的表面積例4已知在梯形ABCD中，ADBC，ABC90°，ADa，BC2a，DCB60°，在平面ABCD內(nèi)，過(guò)C作lCB，以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周，求此旋轉(zhuǎn)體的表面積考點(diǎn)題點(diǎn)解如圖所示，該幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐構(gòu)成的在直角梯形ABCD中，ADa，BC2a，AB(2aa)tan 60°a，DC2a，又DDDC2a，則S表S圓柱表S圓錐側(cè)S圓錐底2·2a·a2·(2a)2·a·2aa2(94)a2.反思與感悟(1)對(duì)于由基本幾何體拼接成的組合體，要注意拼接面重合對(duì)組合體表面積的影響(2)對(duì)于從基本幾何體中切掉或挖掉的部分構(gòu)成的組合體，要注意新產(chǎn)生的截面和原幾何體表面的變化跟蹤訓(xùn)練4已知ABC的三邊長(zhǎng)分別是AC3，BC4，AB5，以AB所在直線為軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積考點(diǎn)題點(diǎn)解如圖，在ABC中，過(guò)C作CDAB，垂足為點(diǎn)D.由AC3，BC4，AB5，知AC2BC2AB2，則ACBC.所以BC·ACAB·CD，所以CD，記為r，那么ABC以AB為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)同底的圓錐，且底面半徑r，母線長(zhǎng)分別是AC3，BC4，所以S表面積r·(ACBC)××(34).1一個(gè)圓錐的表面積為a m2，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則圓錐的底面半徑為()A. m B. mC. m D. m考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，則解得r.2一個(gè)正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為3 cm和6 cm，高是 cm.則三棱臺(tái)的側(cè)面積為()A27 cm2 B. cm2C. cm2 D. cm2考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析如圖，O1，O分別是上、下底面中心，則O1O cm，連接A1O1并延長(zhǎng)交B1C1于點(diǎn)D1，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，連接DD1，過(guò)D1作D1EAD于點(diǎn)E.在RtD1ED中，D1EO1O cm，DEDOOEDOD1O1××(63) (cm)，DD1 (cm)，所以S正三棱臺(tái)側(cè)(cc)·DD1 (cm2)3一個(gè)幾何體的三視圖(單位長(zhǎng)度：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是()A(8016)cm2 B84 cm2C(9616)cm2 D96 cm2考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析該幾何體是四棱錐與正方體的組合體，S表面積42×548016(cm2)4若圓臺(tái)的高是12，母線長(zhǎng)為13，兩底面半徑之比為83，則該圓臺(tái)的表面積為_考點(diǎn)柱體、錐體、臺(tái)體的表面積題點(diǎn)臺(tái)體的表面積答案216解析設(shè)圓臺(tái)上底面與下底面的半徑分別為r，R，由勾股定理可得Rr5.rR38，r3，R8.S側(cè)(Rr)l(38)×13143，則表面積為143×32×82216.5正三棱錐SABC的側(cè)面積是底面積的2倍，它的高SO3，求此正三棱錐的側(cè)面積考點(diǎn)題點(diǎn)解設(shè)正三棱錐底面邊長(zhǎng)為a，斜高為h，如圖所示，過(guò)O作OEAB，垂足為E，連接SE，則SEAB，且SEh.因?yàn)镾側(cè)2S底，所以×3a×ha2×2.所以ah.因?yàn)镾OOE，所以SO2OE2SE2.所以322h2.所以h2，所以ah6.所以S底a2×629.所以S側(cè)2S底18.1多面體的表面積為圍成多面體的各個(gè)面的面積之和2有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的表面積的計(jì)算要充分利用其軸截面，就是說(shuō)將已知條件盡量歸結(jié)到軸截面中求解而對(duì)于圓臺(tái)有時(shí)需要將它還原成圓錐，再借助相似的相關(guān)知識(shí)求解3S圓柱表2r(rl)；S圓錐表r(rl)；S圓臺(tái)表(r2rlRlR2)一、選擇題1已知一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的比是()A. B. C. D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析設(shè)圓柱底面半徑、母線長(zhǎng)分別為r，l，由題意知l2r，S側(cè)l242r2.S表S側(cè)2r242r22r22r2(21)，.2將邊長(zhǎng)為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積是()A4 B3 C2 D考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析底面圓半徑為1，高為1，側(cè)面積S2rh2×1×12.故選C.3如圖所示，側(cè)棱長(zhǎng)為1的正四棱錐，若底面周長(zhǎng)為4，則這個(gè)棱錐的側(cè)面積為()A5 B.C. D.1考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則由底面周長(zhǎng)為4，得a1，SE ，S側(cè)4×××1.4圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，母線長(zhǎng)為3，圓臺(tái)的側(cè)面積為84，則圓臺(tái)較小底面的半徑為()A7 B6 C5 D3考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析設(shè)圓臺(tái)較小底面半徑為r，則另一底面半徑為3r，S側(cè)(r3r)×384，r7.5某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是個(gè)半圓，則該幾何體的表面積為()A. B C. D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析由三視圖可知該幾何體為一個(gè)半圓錐，底面半徑為1，高為，S表×2×××12××1×2.6在正方體ABCDA1B1C1D1中，三棱錐D1AB1C的表面積與正方體的表面積的比為()A11 B1C1 D12考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，由題意知，三棱錐的各面都是正三角形，其表面積為44×a22a2.正方體的表面積為6a2，三棱錐D1AB1C的表面積與正方體的表面積的比為2a26a21.7若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2的半圓面，則該圓錐的母線與底面所成的角為()A30° B45° C60° D75°考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析由題意知圓錐的母線長(zhǎng)為2，底面半徑為1，故圓錐的母線與底面所成的角為60°.8某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積等于()A8 cm2 B7 cm2C(5) cm2 D6 cm2考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析此幾何體是由一個(gè)底面半徑為1 cm，高為2 cm的圓柱與一個(gè)底面半徑為1 cm，母線長(zhǎng)為2 cm的圓錐組合而成的，故S表S圓柱側(cè)S圓錐側(cè)S底2×1×2×1×2×127(cm2)二、填空題9棱長(zhǎng)都是3的三棱錐的表面積S為_考點(diǎn)柱體、錐體、臺(tái)體的表面積題點(diǎn)錐體的表面積答案9解析因?yàn)槿忮F的四個(gè)面是全等的正三角形，所以S4××329.10正四棱臺(tái)的上、下兩底面邊長(zhǎng)分別是方程x29x180的兩根，其側(cè)面積等于兩底面面積之和，則其側(cè)面梯形的高為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析方程x29x180的兩個(gè)根為x13，x26，設(shè)側(cè)面梯形的高為h，則由題意得×(36)·h×43262，解得h.11如圖所示，在棱長(zhǎng)為4的正方體上底面中心位置打一個(gè)直徑為2、深為4的圓柱形孔，則打孔后的幾何體的表面積為_考點(diǎn)組合幾何體的表面積與體積題點(diǎn)柱、錐、臺(tái)、球切割的幾何體的表面積與體積答案966解析由題意知，所打圓柱形孔穿透正方體，因此打孔后所得幾何體的表面積等于正方體的表面積，再加上一個(gè)圓柱的側(cè)面積，同時(shí)減去兩個(gè)圓的面積，即S6×424×22×12966.12一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案38解析由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體中挖去一個(gè)圓柱其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4,3,1，圓柱的底面圓的半徑為1，高為1.長(zhǎng)方體的表面積為S12×(4×34×13×1)38；圓柱的側(cè)面積為S22×1×12；圓柱的上下底面面積為S32××122.故該幾何體的表面積為SS1S2S338.三、解答題13如圖所示是某幾何體的三視圖，它的主視圖和左視圖均為矩形，俯視圖為正三角形(長(zhǎng)度單位：cm)(1)該幾何體是什么圖形？(2)畫出該幾何體的直觀圖(坐標(biāo)軸如圖所示)，并求它的表面積(只需作出圖形，不要求寫作法)考點(diǎn)柱體、錐體、臺(tái)體的表面積題點(diǎn)柱體的表面積解(1)由三視圖可知該幾何體是三棱柱(2)直觀圖如圖所示因?yàn)樵搸缀误w的底面是邊長(zhǎng)為4 cm的等邊三角形，高為2 cm，所以它的表面積S三棱柱2S底S側(cè)2××423×4×2(248)(cm2)四、探究與拓展14如圖所示，在一個(gè)空間幾何體的三視圖中，主視圖和左視圖都是直角三角形，其直角邊長(zhǎng)均為1，則該幾何體的表面積為()A1 B22 C. D2考點(diǎn)題點(diǎn)答案D解析由三視圖可知該幾何體是一個(gè)四棱錐，其底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，故S底1，側(cè)面由兩個(gè)直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形和兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為1，的直角三角形組成，S側(cè)2××1×12××1×1，所以該幾何體的表面積SS底S側(cè)2.15如圖，一個(gè)圓錐的底面半徑為1，高為3，在圓錐中有一個(gè)半徑為x的內(nèi)接圓柱(1)試用x表示圓柱的高；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，最大側(cè)面積是多少？考點(diǎn)柱體、錐體、臺(tái)體的表面積題點(diǎn)柱體的表面積解(1)軸截面如圖，設(shè)圓柱的高為h，BO1，PO3，由圖，得，即h33x.(0<x<1)(2)S圓柱側(cè)2hx2(33x)x6(xx2)62，當(dāng)x時(shí)，圓柱的側(cè)面積取得最大值.當(dāng)圓柱的底面半徑為時(shí)，它的側(cè)面積最大，最大為.