（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.1 簡單幾何體的側(cè)面積學(xué)案 北師大版必修2

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1、（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.1 簡單幾何體的側(cè)面積學(xué)案 北師大版必修2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過對柱體、錐體、臺體的研究，掌握柱體、錐體、臺體的表面積的求法.2.了解柱體、錐體、臺體的表面積計算公式；能運用柱體、錐體、臺體的表面積公式進(jìn)行計算和解決有關(guān)實際問題.3.培養(yǎng)空間想象能力和思維能力知識點一圓柱、圓錐、圓臺的表面積思考1圓柱OO及其側(cè)面展開圖如下，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？答案S側(cè)2rl，S表2r(rl)思考2圓錐SO及其側(cè)面展開圖如下，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？答案底面周長是2r，利用扇形面積公式得S側(cè)2rlrl，S表r2rlr(rl)思考3

2、圓臺OO及其側(cè)面展開圖如下，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？答案圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，內(nèi)弧長等于圓臺上底周長，外弧長等于圓臺下底周長，解得xl.S扇環(huán)S大扇形S小扇形(xl)2Rx2r(Rr)xRl (rR)l，所以，S圓臺側(cè)(rR)l，S圓臺表(r2rlRlR2)梳理圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式圖形表面積公式旋轉(zhuǎn)體圓柱底面積：S底2r2側(cè)面積：S側(cè)2rl表面積：S2r(rl)圓錐底面積：S底r2側(cè)面積：S側(cè)rl表面積：Sr(rl)圓臺上底面面積：S上底r2下底面面積：S下底r2側(cè)面積：S側(cè)(rlrl)表面積：S(r2r2rlrl)知識點二直棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面積思考1類比圓柱側(cè)面積的

3、求法，你認(rèn)為怎樣求直棱柱的側(cè)面積？如果直棱柱底面周長為c，高為h，那么直棱柱的側(cè)面積是什么？答案利用直棱柱的側(cè)面展開圖求棱柱的側(cè)面積展開圖如圖，不難求得S直棱柱側(cè)ch.思考2正棱錐的側(cè)面展開圖如圖，設(shè)正棱錐底面周長為c，斜高為h，如何求正棱錐的側(cè)面積？答案正棱錐的側(cè)面積就是展開圖中各個等腰三角形面積之和，不難得到S正棱錐側(cè)ch.思考3下圖是正四棱臺的展開圖，設(shè)下底面周長為c，上底面周長為c，你能根據(jù)展開圖，歸納出正n棱臺的側(cè)面面積公式嗎？答案S正棱臺側(cè)n(aa)h(cc)h.梳理棱柱、棱錐、棱臺側(cè)面積公式幾何體側(cè)面展開圖側(cè)面積公式直棱柱S直棱柱側(cè)chc底面周長h高正棱錐S正棱錐側(cè)chc底面周長

4、h斜高正棱臺S正棱臺側(cè)(cc)hc、c上、下底面周長h斜高1斜三棱柱的側(cè)面積也可以用cl來求解，其中l(wèi)為側(cè)棱長，c為底面周長()2多面體的表面積等于各個面的面積之和()3圓柱的一個底面積為S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是2S.()類型一旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積(表面積)例1(1)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A3 B4C24 D34(2)圓臺的上、下底面半徑分別為10 cm和20 cm.它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180，那么圓臺的表面積是_cm2.(結(jié)果中保留)考點題點答案(1)D(2)1 100解析(1)由三視圖可知，該幾何體為：故表面積為r2ll22434.

5、(2)如圖所示，設(shè)圓臺的上底面周長為c，因為扇環(huán)的圓心角是180，故cSA210，所以SA20，同理可得SB40，所以ABSBSA20，所以S表面積S側(cè)S上S下(r1r2)ABrr(1020)201022021 100(cm2)故圓臺的表面積為1 100 cm2.反思與感悟圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和跟蹤訓(xùn)練1(1)圓柱的側(cè)面展開圖是兩邊長分別為6和4的矩形，則圓柱的表面積為()A6(43)B8(31)C6(43)或8(31)D6(41)或8(32)考點題點答案C解析由題意，圓柱的側(cè)面積S側(cè)64242.當(dāng)以邊長為6

6、的邊為母線時，4為圓柱底面周長，則2r4，即r2，所以S底4，所以S表S側(cè)2S底24288(31)當(dāng)以邊長為4的邊為母線時，6為圓柱底面周長，則2r6，即r3，所以S底9，所以S表S側(cè)2S底242186(43)(2)圓錐的中截面把圓錐側(cè)面分成兩部分，則這兩部分側(cè)面積的比為()A11 B12C13 D14考點題點答案C解析如圖所示，PB為圓錐的母線，O1，O2分別為截面與底面的圓心因為O1為PO2的中點，所以，所以PAAB，O2B2O1A.又因為S圓錐側(cè)O1APA，S圓臺側(cè)(O1AO2B)AB，則.類型二多面體的側(cè)面積(表面積)及應(yīng)用例2某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于()A82

7、 B112C142 D15考點題點答案B解析該幾何體為底面是直角梯形的直四棱柱S表2(12)12121222112，故選B.反思與感悟多面體中的有關(guān)計算通常轉(zhuǎn)化為平面圖形(三角形或特殊的四邊形)來計算，對于棱錐中的計算問題往往要構(gòu)造直角三角形，即棱錐的高、斜高以及斜高在底面上的投影構(gòu)成的直角三角形，或者由棱錐的高、側(cè)棱以及側(cè)棱在底面上的投影構(gòu)成的直角三角形跟蹤訓(xùn)練2 已知正四棱臺上底面邊長為4 cm，側(cè)棱和下底面邊長都是8 cm，求它的側(cè)面積考點題點解方法一如圖，作B1FBC，垂足為F，設(shè)棱臺的斜高為h.在RtB1FB中，B1Fh，BF(84)2(cm)，B1B8 cm，B1F2(cm)，hB

8、1F2 cm.S正棱臺側(cè)4(48)248(cm2)方法二延長正四棱臺的側(cè)棱交于點P，如圖，設(shè)PB1x cm，則，得x8 cm.PB1B1B8 cm，E1為PE的中點PE12(cm)PE2PE14 cm.S正棱臺側(cè)S大正棱錐側(cè)S小正棱錐側(cè)48PE44PE148444248(cm2)類型三組合體的側(cè)面積(表面積)命題角度1由三視圖求組合體的表面積例3某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是_cm2.考點題點答案138解析將三視圖還原為長方體與直三棱柱的組合體，再利用表面積公式求解該幾何體如圖所示，長方體的長，寬，高分別為6 cm，4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，

9、邊長分別為3 cm，4 cm，5 cm，所以表面積S2(4643)36339939138(cm2)反思與感悟?qū)τ诖祟愵}目：(1)將三視圖還原為幾何體；(2)組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理跟蹤訓(xùn)練3一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的表面積為_m2.考點題點答案124解析由三視圖可以得到原幾何體是一個圓柱與圓錐的組合體，其表面積為21412222212(124)(m2)命題角度2由旋轉(zhuǎn)形成的組合體的表面積例4已知在梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADa，BC2a，DCB60，在平面ABCD內(nèi)，過C作lCB，以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周，求此旋轉(zhuǎn)體的表面積考點題點解如圖

10、所示，該幾何體是由一個圓柱挖去一個圓錐構(gòu)成的在直角梯形ABCD中，ADa，BC2a，AB(2aa)tan 60a，DC2a，又DDDC2a，則S表S圓柱表S圓錐側(cè)S圓錐底22aa2(2a)2a2aa2(94)a2.反思與感悟(1)對于由基本幾何體拼接成的組合體，要注意拼接面重合對組合體表面積的影響(2)對于從基本幾何體中切掉或挖掉的部分構(gòu)成的組合體，要注意新產(chǎn)生的截面和原幾何體表面的變化跟蹤訓(xùn)練4已知ABC的三邊長分別是AC3，BC4，AB5，以AB所在直線為軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積考點題點解如圖，在ABC中，過C作CDAB，垂足為點D.由AC3，BC4，AB5，知AC2B

11、C2AB2，則ACBC.所以BCACABCD，所以CD，記為r，那么ABC以AB為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是兩個同底的圓錐，且底面半徑r，母線長分別是AC3，BC4，所以S表面積r(ACBC)(34).1一個圓錐的表面積為a m2，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則圓錐的底面半徑為()A. m B. mC. m D. m考點題點答案B解析設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，則解得r.2一個正三棱臺的上、下底面邊長分別為3 cm和6 cm，高是 cm.則三棱臺的側(cè)面積為()A27 cm2 B. cm2C. cm2 D. cm2考點題點答案B解析如圖，O1，O分別是上、下底面中心，則O1O cm，連接A1O1并

12、延長交B1C1于點D1，連接AO并延長交BC于點D，連接DD1，過D1作D1EAD于點E.在RtD1ED中，D1EO1O cm，DEDOOEDOD1O1(63) (cm)，DD1 (cm)，所以S正三棱臺側(cè)(cc)DD1 (cm2)3一個幾何體的三視圖(單位長度：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是()A(8016)cm2 B84 cm2C(9616)cm2 D96 cm2考點題點答案A解析該幾何體是四棱錐與正方體的組合體，S表面積42548016(cm2)4若圓臺的高是12，母線長為13，兩底面半徑之比為83，則該圓臺的表面積為_考點柱體、錐體、臺體的表面積題點臺體的表面積答案216解析設(shè)圓

13、臺上底面與下底面的半徑分別為r，R，由勾股定理可得Rr5.rR38，r3，R8.S側(cè)(Rr)l(38)13143，則表面積為1433282216.5正三棱錐SABC的側(cè)面積是底面積的2倍，它的高SO3，求此正三棱錐的側(cè)面積考點題點解設(shè)正三棱錐底面邊長為a，斜高為h，如圖所示，過O作OEAB，垂足為E，連接SE，則SEAB，且SEh.因為S側(cè)2S底，所以3aha22.所以ah.因為SOOE，所以SO2OE2SE2.所以322h2.所以h2，所以ah6.所以S底a2629.所以S側(cè)2S底18.1多面體的表面積為圍成多面體的各個面的面積之和2有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的表面積的計算要充分利用其軸截面，就是說將已知條

14、件盡量歸結(jié)到軸截面中求解而對于圓臺有時需要將它還原成圓錐，再借助相似的相關(guān)知識求解3S圓柱表2r(rl)；S圓錐表r(rl)；S圓臺表(r2rlRlR2)一、選擇題1已知一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的表面積與側(cè)面積的比是()A. B. C. D.考點題點答案A解析設(shè)圓柱底面半徑、母線長分別為r，l，由題意知l2r，S側(cè)l242r2.S表S側(cè)2r242r22r22r2(21)，.2將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積是()A4 B3 C2 D考點題點答案C解析底面圓半徑為1，高為1，側(cè)面積S2rh2112.故選C.3如圖所示，側(cè)棱長為1的正四棱錐

15、，若底面周長為4，則這個棱錐的側(cè)面積為()A5 B.C. D.1考點題點答案B解析設(shè)底面邊長為a，則由底面周長為4，得a1，SE ，S側(cè)41.4圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84，則圓臺較小底面的半徑為()A7 B6 C5 D3考點題點答案A解析設(shè)圓臺較小底面半徑為r，則另一底面半徑為3r，S側(cè)(r3r)384，r7.5某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是個半圓，則該幾何體的表面積為()A. B C. D.考點題點答案C解析由三視圖可知該幾何體為一個半圓錐，底面半徑為1，高為，S表21212.6在正方體ABCDA1B1C1D1中，三棱錐D1AB1C的表面

16、積與正方體的表面積的比為()A11 B1C1 D12考點題點答案C解析設(shè)正方體棱長為a，由題意知，三棱錐的各面都是正三角形，其表面積為44a22a2.正方體的表面積為6a2，三棱錐D1AB1C的表面積與正方體的表面積的比為2a26a21.7若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2的半圓面，則該圓錐的母線與底面所成的角為()A30 B45 C60 D75考點題點答案C解析由題意知圓錐的母線長為2，底面半徑為1，故圓錐的母線與底面所成的角為60.8某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積等于()A8 cm2 B7 cm2C(5) cm2 D6 cm2考點題點答案B解析此幾何體是由一個底面

17、半徑為1 cm，高為2 cm的圓柱與一個底面半徑為1 cm，母線長為2 cm的圓錐組合而成的，故S表S圓柱側(cè)S圓錐側(cè)S底21212127(cm2)二、填空題9棱長都是3的三棱錐的表面積S為_考點柱體、錐體、臺體的表面積題點錐體的表面積答案9解析因為三棱錐的四個面是全等的正三角形，所以S4329.10正四棱臺的上、下兩底面邊長分別是方程x29x180的兩根，其側(cè)面積等于兩底面面積之和，則其側(cè)面梯形的高為_考點題點答案解析方程x29x180的兩個根為x13，x26，設(shè)側(cè)面梯形的高為h，則由題意得(36)h43262，解得h.11如圖所示，在棱長為4的正方體上底面中心位置打一個直徑為2、深為4的圓柱

18、形孔，則打孔后的幾何體的表面積為_考點組合幾何體的表面積與體積題點柱、錐、臺、球切割的幾何體的表面積與體積答案966解析由題意知，所打圓柱形孔穿透正方體，因此打孔后所得幾何體的表面積等于正方體的表面積，再加上一個圓柱的側(cè)面積，同時減去兩個圓的面積，即S64242212966.12一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為_考點題點答案38解析由三視圖可知，該幾何體為一個長方體中挖去一個圓柱其中長方體的長、寬、高分別為4,3,1，圓柱的底面圓的半徑為1，高為1.長方體的表面積為S12(434131)38；圓柱的側(cè)面積為S22112；圓柱的上下底面面積為S32122.故該幾何體的表面積為SS

19、1S2S338.三、解答題13如圖所示是某幾何體的三視圖，它的主視圖和左視圖均為矩形，俯視圖為正三角形(長度單位：cm)(1)該幾何體是什么圖形？(2)畫出該幾何體的直觀圖(坐標(biāo)軸如圖所示)，并求它的表面積(只需作出圖形，不要求寫作法)考點柱體、錐體、臺體的表面積題點柱體的表面積解(1)由三視圖可知該幾何體是三棱柱(2)直觀圖如圖所示因為該幾何體的底面是邊長為4 cm的等邊三角形，高為2 cm，所以它的表面積S三棱柱2S底S側(cè)242342(248)(cm2)四、探究與拓展14如圖所示，在一個空間幾何體的三視圖中，主視圖和左視圖都是直角三角形，其直角邊長均為1，則該幾何體的表面積為()A1 B2

20、2 C. D2考點題點答案D解析由三視圖可知該幾何體是一個四棱錐，其底面是一個邊長為1的正方形，故S底1，側(cè)面由兩個直角邊長為1的等腰直角三角形和兩個邊長分別為1，的直角三角形組成，S側(cè)211211，所以該幾何體的表面積SS底S側(cè)2.15如圖，一個圓錐的底面半徑為1，高為3，在圓錐中有一個半徑為x的內(nèi)接圓柱(1)試用x表示圓柱的高；(2)當(dāng)x為何值時，圓柱的側(cè)面積最大，最大側(cè)面積是多少？考點柱體、錐體、臺體的表面積題點柱體的表面積解(1)軸截面如圖，設(shè)圓柱的高為h，BO1，PO3，由圖，得，即h33x.(0x1)(2)S圓柱側(cè)2hx2(33x)x6(xx2)62，當(dāng)x時，圓柱的側(cè)面積取得最大值.當(dāng)圓柱的底面半徑為時，它的側(cè)面積最大，最大為.