(全國(guó)通用版)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題六 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 規(guī)范答題示例10 導(dǎo)數(shù)與不等式的恒成立問(wèn)題學(xué)案 理
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(全國(guó)通用版)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題六 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 規(guī)范答題示例10 導(dǎo)數(shù)與不等式的恒成立問(wèn)題學(xué)案 理
(全國(guó)通用版)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題六 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 規(guī)范答題示例10 導(dǎo)數(shù)與不等式的恒成立問(wèn)題學(xué)案 理典例10(12分)設(shè)函數(shù)f(x)emxx2mx.(1)證明:f(x)在(,0)上單調(diào)遞減,在(0,)上單調(diào)遞增;(2)若對(duì)于任意x1,x21,1,都有|f(x1)f(x2)|e1,求m的取值范圍審題路線圖(1)(2) 規(guī) 范 解 答·分 步 得 分構(gòu) 建 答 題 模 板(1)證明f(x)m(emx1)2x.1分若m0,則當(dāng)x(,0)時(shí),emx10,f(x)<0;當(dāng)x(0,)時(shí),emx10,f(x)>0.若m<0,則當(dāng)x(,0)時(shí),emx1>0,f(x)<0;當(dāng)x(0,)時(shí),emx1<0,f(x)>0.4分所以f(x)在(,0)上單調(diào)遞減,在(0,)上單調(diào)遞增.6分(2)解由(1)知,對(duì)任意的m,f(x)在1,0上單調(diào)遞減,在0,1上單調(diào)遞增,故f(x)在x0處取得最小值所以對(duì)于任意x1,x21,1,|f(x1)f(x2)|e1的充要條件是8分即設(shè)函數(shù)g(t)ette1,則g(t)et1.9分當(dāng)t<0時(shí),g(t)<0;當(dāng)t>0時(shí),g(t)>0.故g(t)在(,0)上單調(diào)遞減,在(0,)上單調(diào)遞增又g(1)0,g(1)e12e<0,故當(dāng)t1,1時(shí),g(t)0.當(dāng)m1,1時(shí),g(m)0,g(m)0,即式成立;10分當(dāng)m>1時(shí),由g(t)的單調(diào)性,得g(m)>0,即emm>e1;當(dāng)m<1時(shí),g(m)>0,即emm>e1.11分綜上,m的取值范圍是1,1.12分第一步求導(dǎo)數(shù):一般先確定函數(shù)的定義域,再求f(x)第二步定區(qū)間:根據(jù)f(x)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性第三步尋條件:一般將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題第四步寫(xiě)步驟:通過(guò)函數(shù)單調(diào)性探求函數(shù)最值,對(duì)于最值可能在兩點(diǎn)取到的恒成立問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為不等式組恒成立.第五步再反思:查看是否注意定義域、區(qū)間的寫(xiě)法、最值點(diǎn)的探求是否合理等.評(píng)分細(xì)則(1)求出導(dǎo)數(shù)給1分;(2)討論時(shí)漏掉m0扣1分;兩種情況只討論正確一種給2分;(3)確定f(x)符號(hào)時(shí)只有結(jié)論無(wú)中間過(guò)程扣1分;(4)寫(xiě)出f(x)在x0處取得最小值給1分;(5)無(wú)最后結(jié)論扣1分;(6)其他方法構(gòu)造函數(shù)同樣給分跟蹤演練10(2018·全國(guó))已知函數(shù)f(x)xaln x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,證明:<a2.(1)解f(x)的定義域?yàn)?0,),f(x)1.若a2,則f(x)0,當(dāng)且僅當(dāng)a2,x1時(shí),f(x)0,所以f(x)在(0,)上單調(diào)遞減若a>2,令f(x)0,得x或x.當(dāng)x時(shí),f(x)<0;當(dāng)x時(shí),f(x)>0.所以f(x)在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增(2)證明由(1)知,f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a>2.由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2滿足x2ax10,所以x1x21,不妨設(shè)0<x1<x2,則x2>1.由于1a2a2a,所以<a2等價(jià)于x22ln x2<0.設(shè)函數(shù)g(x)x2ln x,由(1)知,g(x)在(0,)上單調(diào)遞減,又g(1)0,從而當(dāng)x(1,)時(shí),g(x)<0.所以x22ln x2<0,即<a2.