2020版高考數(shù)學一輪復習 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第六節(jié) 解三角形學案 理（含解析）新人教A版

第六節(jié)解三角形2019考綱考題考情考綱要求考題舉例考向標簽1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題2能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題2018·全國卷·T17(利用正弦、余弦定理求角、求邊)2018·全國卷·T6(利用余弦定理求邊)2018·全國卷·T9(利用余弦定理求角)2017·全國卷·T17(正、余弦定理)2017·全國卷·T17(正、余弦定理)命題角度：1正弦定理和余弦定理2解三角形的綜合應用核心素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學運算1正弦定理2R其中2R為ABC外接圓直徑。變式：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC。abcsinAsinBsinC。2余弦定理a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC。變式：cosA；cosB；cosC。sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA。3解三角形(1)已知三邊a，b，c。運用余弦定理可求三角A，B，C。(2)已知兩邊a，b及夾角C。運用余弦定理可求第三邊c。(3)已知兩邊a，b及一邊對角A。先用正弦定理，求sinB，sinB。A為銳角時，若a<bsinA，無解；若absinA，一解；若bsinA<a<b，兩解；若ab，一解。A為直角或鈍角時，若ab，無解；若a>b，一解。(4)已知一邊a及兩角A，B(或B，C)用正弦定理，先求出一邊，后求另一邊。4三角形常用面積公式(1)Sa·ha(ha表示a邊上的高)。(2)SabsinCacsinBbcsinA。(3)Sr(abc)(r為內(nèi)切圓半徑)。在ABC中，常有以下結(jié)論：1ABC。2任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。3sin(AB)sinC；cos(AB)cosC；tan(AB)tanC；sincos；cossin。4三角形中的射影定理在ABC中，abcosCccosB；bacosCccosA；cbcosAacosB。一、走進教材1(必修5P10A組T4改編)在ABC中，AB5，AC3，BC7，則BAC()ABCD解析因為在ABC中，設ABc5，ACb3，BCa7，所以由余弦定理得cosBAC，因為BAC為ABC的內(nèi)角，所以BAC。故選C。答案C2(必修5P24A組T6改編)如圖，設點A，B在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)所在的河岸邊選定一點C，測出A，C兩點間的距離為50 m，ACB45°，CAB105°，則A，B兩點間的距離為()A mB25 mC50 mD50 m解析在ABC中，ABC30°，由正弦定理得，即，所以AB50(m)，故選C。答案C二、走近高考3(2018·全國卷)在ABC中，cos，BC1，AC5，則AB()A4BCD2解析因為cosC2cos212×21，所以c2a2b22abcosC1252×1×5×32，所以c4。故選A。答案A4(2017·全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c。已知sinBsinA(sinCcosC)0，a2，c，則C()ABCD解析因為sinBsinA(sinCcosC)0，所以sin(AC)sinAsinCsinAcosC0，所以sinAcosCcosAsinCsinAsinCsinAcosC0，整理得sinC(sinAcosA)0，因為sinC0，所以sinAcosA0，所以tanA1，因為A(0，)，所以A，由正弦定理得sinC，因為0<C<，所以C。故選B。答案B三、走出誤區(qū)微提醒：利用正弦定理求角，忽視條件限制出現(xiàn)增根；不會靈活運用余弦定理導致運算量偏大；默認cosC0，出現(xiàn)丟根。5在ABC中，若A60°，a4，b4，則B等于_。解析由正弦定理知，則sinB。又a>b，則A>B，所以B為銳角，故B45°。答案45°6在ABC中，a2，b3，C60°，則c_，ABC的面積等于_。解析易知c，ABC的面積等于×2×3×。答案7在ABC中，角A，B，C滿足sinAcosCsinBcosC0，則三角形的形狀為_。解析由已知有cosC(sinAsinB)0，所以有cosC0或sinAsinB，解得C90°，或AB。答案直角三角形或等腰三角形第1課時正弦定理和余弦定理考點一利用正、余弦定理解三角形【例1】(2018·天津高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c。已知bsinAacos。(1)求角B的大小；(2)設a2，c3，求b和sin(2AB)的值。解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsinAasinB，又由bsinAacos，得asinBacos，即sinBcos，可得tanB。又因為B(0，)，可得B。(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，有b2a2c22accosB7，故b。由bsinAacos，可得sinA。因為a<c，故cosA。因此sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1，所以，sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB××。解三角形問題，關鍵是利用正、余弦定理實施邊和角的轉(zhuǎn)化，三角變換的相關公式如兩角和與差的正、余弦公式，二倍角公式等，作為化簡變形的重要依據(jù)。【變式訓練】(1)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c。若asinBcosCcsinBcosAb，且a>b，則B()AB.CD.(2)(2019·河南鄭州質(zhì)量預測)在ABC中，ABC90°，延長AC到D，使得CDAB1，若CBD30°，則AC_。解析(1)由正弦定理得，sinAsinBcosCsinCsinBcosAsinB，因為sinB0，所以sinAcosCsinCcosA，即sin(AC)，所以sinB。已知a>b，所以B不是最大角，所以B。(2)設ACx(x>0)，在BCD中，由正弦定理得，所以BD2sinBCD，又sinBCDsinACB，所以BD。在ABD中，(x1)2122··cos(90°30°)，化簡得x22x，即x32，故x，故AC。答案(1)A(2)考點二判斷三角形形狀【例2】(1)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，(bca)(bca)3bc，則ABC的形狀是()A直角三角形B等腰非等邊三角形C等邊三角形D鈍角三角形(2)已知ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若2c，則ABC的形狀是()A等邊三角形B銳角三角形C等腰直角三角形D鈍角三角形解析(1)因為，所以。所以bc。又(bca)(bca)3bc，所以b2c2a2bc，所以cosA。因為A(0，)，所以A。所以ABC是等邊三角形。(2)因為2c，所以由正弦定理可得2sinC，而22，當且僅當sinAsinB時取等號。所以2sinC2，即sinC1。又sinC1，故可得sinC1，所以C90°。又因為sinAsinB，所以AB。故ABC為等腰直角三角形。故選C。答案(1)C(2)C判斷三角形形狀的兩種思路1化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀。2化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關系，從而判斷三角形的形狀。此時要注意應用ABC這個結(jié)論?！咀兪接柧殹?2019·山西太原五中模擬)在ABC中，sin2(a、b、c分別為角A、B、C的對邊)，則ABC的形狀為()A直角三角形B等邊三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解析由cosB12sin2得sin2，所以，即cosB。由余弦定理得，即a2c2b22a2，所以a2b2c2。所以ABC為直角三角形，又無法判斷兩直角邊是否相等。故選A。解析：由正弦定理得cosB，又sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC，所以cosBsinCsinBcosCcosBsinC，即sinBcosC0，又sinB0，所以cosC0，又角C為三角形的內(nèi)角，所以C，所以ABC為直角三角形，又無法判斷兩直角邊是否相等。故選A。答案A考點三三角形的面積問題【例3】(2017·全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c。已知sinAcosA0，a2，b2。(1)求c；(2)設D為BC邊上一點，且ADAC，求ABD的面積。解(1)由已知條件可得tan A，A(0，)，所以A，在ABC中，由余弦定理得284c24ccos，即c22c240，解得c6(舍去)，或c4。(2)如圖，由題設可得CAD，所以BADBACCAD，故ABD面積與ACD面積的比值為1，又ABC的面積為×4×2sinBAC2，所以ABD的面積為。解法一：由余弦定理得cosC，在RtACD中，cosC，所以CD，所以AD，DBCD，所以SABDSACD×2××sinC×。解法二：BAD，由余弦定理得cosC，所以CD，所以AD，所以SABD×4××sinDAB。解法三：過B作BE垂直AD，交AD的延長線于E，在ABE中，EAB，AB4，所以BE2，所以BECA，從而可得ADCEDB，所以BDDC，即D為BC中點，所以SABDSABC××2×4×sinCAB。三角形面積公式的應用原則1對于面積公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式。2與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化?！咀兪接柧殹?1)(2018·全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c。已知bsinCcsinB4asinBsinC，b2c2a28，則ABC的面積為_。(2)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，btanBbtanA2ctanB，且a5，ABC的面積為2，則bc的值為_。解析(1)因為bsinCcsinB4asinBsinC，由正弦定理得2R，可得sinBsinCsinCsinB4sinAsinBsinC，因為B，C(0，)，所以sinBsinC0，即4sinA2，sinA，又b2c2a282bccosA>0，所以A且bc，則SABCbcsinA××。(2)由正弦定理及btanBbtanA2ctanB，得sinB·sinB·2sinC·，因為B(0，)，所以sinB0，即cosAsinBsinAcosB2sinCcosA，亦即sin(AB)2sinCcosA，故sinC2sinCcosA。因為sinC0，所以cosA，A(0，)，所以A。由面積公式，知SABCbcsinA2，所以bc8。由余弦定理，知a2b2c22bccosA(bc)23bc，代入可得bc7。答案(1)(2)71(配合例1使用)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且sincos。(1)求cosB的值；(2)若b2a2ac，求的值。解將sincos兩邊同時平方得，1sinB，得sinB，故cosB±，又sincos>0，所以sin>cos，所以，所以B，故cosB。(2)由余弦定理得b2a2c22accosBa2ac，所以ac2acosBca，所以ca，故。2(配合例1使用)如圖所示，在ABC中，B，D為邊BC上的點，E為AD上的點，且AE8，AC4，CED。(1)求CE的長；(2)若CD5，求cosDAB的值。解(1)因為AEC，所以在AEC中，由余弦定理得AC2AE2CE22AE·CEcosAEC，所以16064CE28CE，所以CE28CE960，所以CE4(負值舍去)。(2)在CDE中，由正弦定理得，所以5sinCDE4×，所以sinCDE，因為點D在邊BC上，所以CDE>B，而<，所以CDE只能為鈍角，所以cosCDE，所以cosDABcoscosCDEcossinCDEsin××。3(配合例3使用)已知ABC的面積為3，AC2，BC6，延長BC至D，使ADC45°。(1)求AB的長；(2)求ACD的面積。解(1)因為SABC×6×2×sinACB3，所以sinACB，ACB30°或150°，又ACB>ADC，且ADC45°，所以ACB150°，在ABC中，由余弦定理得AB212362×2×6cos150°84，所以AB2。(2)在ACD中，因為ACB150°，ADC45°，所以CAD105°，由正弦定理得，所以CD3，又ACD180°150°30°，所以SACDAC·CD·sinACD×2×(3)×。第2課時解三角形的綜合應用考點一三角形的實際應用【例1】如圖，為了測量河對岸A，B兩點之間的距離，觀察者找到一個點C，從C點可以觀察到點A，B；找到一個點D，從D點可以觀察到點A，C；找到一個點E，從E點可以觀察到點B，C；并測量得到：CD2，CE2，D45°，ACD105°，ACB48.19°，BCE75°，E60°，則A，B兩點之間的距離為_。解析依題意知，在ACD中，CAD30°，由正弦定理得AC2，在BCE中，CBE45°，由正弦定理得BC3。因為在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BCcosACB10，所以AB。答案利用正、余弦定理解決實際問題的一般步驟1分析理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖。2建模根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在相關的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學模型。3求解利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得數(shù)學模型的解。4檢驗檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解?！咀兪接柧殹咳鐖D，高山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設了一條索道AC，小李在山腳B處看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角ABC120°；從B處攀登400米到達D處，回頭看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角ADC150°；從D處再攀登800米可到達C處，則索道AC的長為_米。解析在ABD中，BD400米，ABD120°。因為ADC150°，所以ADB30°。所以DAB180°120°30°30°。由正弦定理，可得，所以，得AD400(米)。在ADC中，DC800米，ADC150°，由余弦定理得AC2AD2CD22·AD·CD·cosADC(400)280022×400×800×cos150°4002×13，解得AC400(米)。故索道AC的長為400米。答案400考點二解三角形與三角函數(shù)的綜合應用【例2】(2019·遼寧五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)cos2xsin(x)cos(x)。(1)求函數(shù)f(x)在0，上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知f(A)1，a2，bsinCasinA，求ABC的面積。解(1)f(x)cos2xsinxcosxsin2xsin，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，又x0，所以函數(shù)f(x)在0，上的單調(diào)遞減區(qū)間為和。(2)由(1)知f(x)sin，所以f(A)sin1，因為ABC為銳角三角形，所以0<A<，所以<2A<，所以2A，即A。又bsinCasinA，所以bca24，所以SABCbcsinA。解三角形與三角函數(shù)的綜合應用主要體現(xiàn)在以下兩方面：(1)利用三角恒等變形化簡三角函數(shù)式進行解三角形。(2)解三角形與三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用。【變式訓練】(2019·湖南湘東五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)sin2xcos2x。(1)求f(x)的最小值，并寫出取得最小值時的自變量x的集合；(2)設ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c，f(C)0，若sinB2sinA，求a，b的值。解(1)f(x)sin2xsin2x1sin1。當2x2k，即xk(kZ)時，f(x)的最小值為2，此時自變量x的集合為。(2)因為f(C)0，所以sin10，又0<C<，所以2C，即C。在ABC中，sinB2sinA，由正弦定理知b2a，又c，所以由余弦定理知()2a2b22abcos，即a2b2ab3，聯(lián)立，得所以考點三正、余弦定理在平面幾何中的應用【例3】(2018·河南、河北重點中學第三次聯(lián)考)如圖，在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c4，b2,2ccosCb，D，E分別為線段BC上的點，且BDCD，BAECAE。(1)求線段AD的長；(2)求ADE的面積。解(1)因為c4，b2,2ccosCb，所以cosC。由余弦定理得cosC，所以a4，即BC4。在ACD中，CD2，AC2，所以AD2AC2CD22AC·CD·cosACD6，所以AD。(2)因為AE是BAC的平分線，所以2，又，所以2，所以CEBC，DE2。又因為cosC，所以sinC。又SADESACDSACE，所以SADE×DE×AC×sinC。平面幾何中解三角形問題的求解思路1把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解。2尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果。提醒：做題過程中，要用到平面幾何中的一些知識點，如相似三角形的邊角關系、平行四邊形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機結(jié)合，才能順利解決問題?！咀兪接柧殹緼BC的垂心H在其內(nèi)部，A30°，AH，則BHCH的取值范圍是_。解析由已知，得ABC為銳角三角形，如圖，延長AH，BH，CH分別交BC，AC，AB于點E，F(xiàn)，D，因為H是垂心，所以AEBC，BFAC，CDAB，又BAC30°，所以ABFACD60°。設BAH，(0°，30°)，則CAH30°，又AH，所以在ABH中，由正弦定理，得BH2sin，在ACH中，由正弦定理，得CH2sin(30°)，所以BHCH2sin2sin(30°)sincos2sin(30°)，因為(0°，30°)，所以30°(30°，60°)，所以sin(30°)，2sin(30°)(1，)，即BHCH(1，)。答案(1，)考點四三角形中的最值與范圍問題【例4】設ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，abtanA，且B為鈍角。(1)證明：BA；(2)求sinAsinC的取值范圍。解(1)證明：由abtanA及正弦定理，得，所以sinBcosA，即sinBsin。因為B為鈍角，所以A為銳角，所以A，則BA，即BA。(2)由(1)知，C(AB)2A>0，所以A。于是sinAsinCsinAsinsinAcos2A2sin2AsinA122。因為0<A<，所以0<sinA<，因此<22。由此可知sinAsinC的取值范圍是。解三角形問題中，求解某個量(式子)的取值范圍是命題的熱點，其主要解決思路是：要建立所求量(式子)與已知角或邊的關系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題。這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大。【變式訓練】(1)(2018·江蘇高考)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，ABC120°，ABC的平分線交AC于點D，且BD1，則4ac的最小值為_。(2)(2019·濰坊市統(tǒng)一考試)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，外接圓的半徑為1，且，則ABC面積的最大值為_。解析(1)因為ABC120°，ABC的平分線交AC于點D，所以ABDCBD60°，由三角形的面積公式可得acsin120°asin60°csin60°，化簡得acac，又a>0，c>0，所以1，則4ac(4ac)·552 9，當且僅當c2a時取等號，故4ac的最小值為9。(2)因為，所以(2cb)，由正弦定理得sinBsinAcosB(2sinCsinB)sinBcosA，又sinB0，所以sinAcosB(2sinCsinB)cosA，所以sinAcosBsinBcosA2sinCcosA，sin(AB)2sinCcosA，即sinC2sinCcosA，又sinC0，所以cosA，sinA。設外接圓的半徑為r，則r1，a2rsinA，由余弦定理得bcb2c2a2b2c2(2rsinA)2b2c232bc3(當且僅當bc時，等號成立)，所以bc3，所以SABCbcsinAbc。答案(1)9(2)1. (配合例3使用)如圖，在ABC中，B，AB8，點D在邊BC上，且CD2，cosADC。(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的長。解(1)在ADC中，因為cosADC，所以sinADC，則sinBADsin(ADCB)sinADC·cosBcosADC·sinB××。(2)在ABD中，由正弦定理得BD3。在ABC中，由余弦定理得AC2AB2CB22AB·BCcosB82522×8×5×49，即AC7。2(配合例4使用)已知ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosCccosAbsinB，A，如圖，若點D是ABC外一點，DC2，DA3，則當四邊形ABCD面積最大時，sinD_。解析由acosCccosAbsinB及余弦定理得a×c×bsinB，即bbsinBsinB1B，又CAB，所以ACB。BCa，則ABa，AC2a，則SABC×a×aa2。在ACD中，cosD，所以a2。又SACDAD·CDsinD3sinD，所以S四邊形ABCDSABCSACDa23sinD×3sinD3sinDcosDsin(D)，所以當D，即D時，S四邊形ABCD最大，此時sinDsincos。答案縱觀近幾年的高考試題和高考模擬試題，不難發(fā)現(xiàn)在三角函數(shù)和三角形中求最值問題成為其中一個亮點，本文從求三角函數(shù)的最值、三角形中的最值兩個方面舉例說明，希望對高考備考有所幫助。類型一三角函數(shù)的最值1.可化為“yAsin(x)B”型的最值問題【例1】(2018·北京高考)已知函數(shù)f(x)sin2xsinxcosx。(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在區(qū)間上的最大值為，求m的最小值。解(1)f(x)cos2xsin2xsin。所以f(x)的最小正周期為T。(2)由(1)知f(x)sin。由題意知xm。所以2x2m。要使得f(x)在上的最大值為，即sin在上的最大值為1。所以2m，即m。所以m的最小值為?；癁閥Asin(x)B的形式求最值時，特別注意自變量的取值范圍對最大值、最小值的影響，可通過比較閉區(qū)間端點的取值與最高點、最低點的取值來確定函數(shù)的最值?！咀兪接柧殹亢瘮?shù)f(x)3sinx4cosx，x0，的值域為_。解析f(x)3sinx4cosx55sin(x)，其中cos，sin，0<<。因為0x，所以x。所以當x時，f(x)max5；當x時，f(x)min5sin()5sin4。所以f(x)的值域為4,5。答案4,52可化為yf(sinx)或yf(cosx)型的最值問題【例2】(1)(2019·廣東惠州一模)函數(shù)ycos2x2sinx的最大值為_。(2)求f(x)cos2xasinx的最小值。(1)解析ycos2x2sinx2sin2x2sinx1。設tsinx，則1t1，所以原函數(shù)可以化為y2t22t122，所以當t時，函數(shù)y取得最大值為。答案(2)解f(x)(12sin2x)asinxsin2xasinx1，令tsinx，t1,1，所以yt2at121。當a>0時，t1時，y取最小值，ymina；當a0時，t1時，y取最小值，ymina?？苫癁閥f(sinx)或yf(cosx)型三角函數(shù)的最值或值域可通過換元法轉(zhuǎn)為其他函數(shù)的最值或值域。【變式訓練】(1)若函數(shù)f(x)cos2xasinx在區(qū)間上的最小值大于零，則a的取值范圍是_。(2)求函數(shù)y的值域。(1)解析因為f(x)12sin2xasinx，令sinxt，因為x，故t，則函數(shù)f(t)2t2at1是開口向下，對稱軸為t的拋物線，由于f(1)a1，f(a1)，結(jié)合圖象可知，a>1。答案(1，)(2)解因為y2cos2x2cosx22，于是當且僅當cosx1時，ymax4。但cosx1，所以y<4。且ymin，當且僅當cosx時取得。故函數(shù)值域為。類型二三角形中的最值1.求角的三角函數(shù)值的最值【例3】在ABC中，a2c2b2ac。(1)求B的大??；(2)求cosAcosC的最大值。解(1)由余弦定理和已知條件可得cosB，又因為0<B<，所以B。(2)由(1)知AC，所以cosAcosCcosAcoscosAcosAsinAcosAsinAcos。因為0<A<，所以，當A時，cosAcosC取得最大值1。本題主要考查了余弦定理、三角形內(nèi)角和定理、輔助角公式以及三角函數(shù)的最值；解此類問題的關鍵是熟練地運用余弦定理、兩角差的正余弦公式以及輔助角公式?！咀兪接柧殹咳鬉BC的內(nèi)角滿足sinAsinB2sinC，則cosC的最小值是_。解析由sinAsinB2sinC，結(jié)合正弦定理可得ab2c，所以cosC，當且僅當3a22b2時取“”，故cosC的最小值是。答案2求邊的最值【例4】(2019·石家莊市一模)如圖，四邊形ABCD的對角線交點位于四邊形的內(nèi)部，ABBC1，ACCD，ACCD，當ABC變化時，BD的最大值為_。解析設ACB，則ABC2，DCB，由余弦定理可知，AC2AB2BC22AB·BCcosABC，即ACDC2cos，由余弦定理知，BD2BC2DC22BC·DCcosDCB，即BD24cos212×1×2coscos2cos22sin232sin3。由0<<，可得<2<，則(BD2)max23，此時，因此(BD)max1。答案1邊的最值一般通過三角形中的正、余弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)值，再結(jié)合角的范圍求解。有時也可利用均值不等式求解。【變式訓練】在ABC中，B60°，AC，則AB2BC的最大值為_。解析因為，所以AB2sinC，BC2sinA，因此AB2BC2sinC4sinA2sin4sinA5sinAcosA2sin(A)，因為(0,2)，A，所以AB2BC的最大值為2。答案23求三角形面積的最值【例5】(2019·南昌市聯(lián)考)在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC8，AB2AD，BAD60°，則BCD的面積的最大值為_。解析設ADt，因為AB2AD，BAD60°，由余弦定理得BD24t2t22×2t×tcos60°3t2，所以BDt，所以AB2BD2AD2，所以ADB90°，即AB為四邊形ABCD外接圓的直徑，如圖，設BAC(0°<<60°)，因為ACB90°，AC8，所以BC8tan，AB，所以BD，又CBD60°，所以BCD的面積S×8tan××sin(60°)(0°<<60°)，所以S24tan8tan2(0°<<60°)，所以tan時S取得最大值6。答案6利用三角函數(shù)的有關公式，結(jié)合三角形的面積公式及正、余弦定理，將問題轉(zhuǎn)化為邊或角的關系，利用函數(shù)或不等式是一種解決此類問題的常規(guī)方法?！咀兪接柧殹?2019·鄭州質(zhì)量預測)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2ccosB2ab，若ABC的面積Sc，則ab的最小值為()A28B36C48D56解析在ABC中，2ccosB2ab，由正弦定理，得2sinCcosB2sinAsinB。又A(BC)，所以sinAsin(BC)sin(BC)，所以2sinCcosB2sin(BC)sinB2sinBcosC2cosBsinCsinB，得2sinBcosCsinB0，因為sinB0，所以cosC，又0<C<，所以C。由ScabsinCab×，得c。由余弦定理得，c2a2b22abcosCa2b2ab2abab3ab(當且僅當ab時取等號)，所以23ab，得ab48，所以ab的最小值為48。故選C。答案C23