2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 第2講 解三角形學(xué)案

第2講解三角形正弦定理與余弦定理以及解三角形問(wèn)題是高考的必考內(nèi)容，主要考查邊、角、面積的計(jì)算及有關(guān)的范圍問(wèn)題正弦定理、余弦定理、三角形面積公式(1)正弦定理在ABC中，2R(R為ABC的外接圓半徑)；變形：a2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C等(2)余弦定理在ABC中，a2b2c22bccos A；變形：b2c2a22bccos A，cos A(3)三角形面積公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B熱點(diǎn)一利用正(余)弦定理進(jìn)行邊角計(jì)算【例1】(2018·株洲質(zhì)檢)在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，已知cos2A=-13，c=3，sinA=6sinC（）求a的值；（）若角A為銳角，求b的值及ABC的面積解（）由cos2A=1-2sin2A得sin2A=23，因?yàn)锳(0，)，sinA=63，由sinA=6sinC，sinC=13，由正弦定理asinA=csinC得a=32（）角A為銳角，則cosA=33，由余弦定理得b2-2b-15=0即b=5，或b=-3（舍去），所以ABC的面積SABC=12bcsinA=522探究提高1高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)、角、面積等基本計(jì)算，或?qū)蓚€(gè)定理與三角恒等變換相結(jié)合綜合解三角形2關(guān)于解三角形問(wèn)題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見(jiàn)的三角變換方法和原則都適用，同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問(wèn)題獲得解決的突破口【訓(xùn)練1】(2017·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin(AC)8sin2(1)求cos B；(2)若ac6，ABC面積為2，求b解(1)由題設(shè)及ABC，得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式兩邊平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)，cos B(2)由cos B，得sin B，故SABCacsin Bac又SABC2，則ac由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)362××4所以b2熱點(diǎn)二應(yīng)用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題【例2】(2017·衡水質(zhì)檢)某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種“彈射型”氣象觀測(cè)儀器的垂直彈射高度：在C處(點(diǎn)C在水平地面下方，O為CH與水平地面ABO的交點(diǎn))進(jìn)行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個(gè)觀察點(diǎn)A，B兩地相距100米，BAC60°，其中A到C的距離比B到C的距離遠(yuǎn)40米A地測(cè)得該儀器在C處的俯角為OAC15°，A地測(cè)得最高點(diǎn)H的仰角為HAO30°，則該儀器的垂直彈射高度CH為（）A210()米B140米C210米D20()米解析由題意，設(shè)ACx米，則BC(x40)米，在ABC內(nèi)，由余弦定理：BC2BA2CA22BA·CA·cosBAC，即(x40)2x210 000100x，解得x420米在ACH中，AC420米，CAH30°15°45°，CHA90°30°60°，由正弦定理：可得CHAC·140(米)答案B探究提高1實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解2實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解【訓(xùn)練2】 (2018·衡水中學(xué))如圖，一山頂有一信號(hào)塔（所在的直線與地平面垂直），在山腳處測(cè)得塔尖的仰角為，沿傾斜角為的山坡向上前進(jìn)米后到達(dá)處，測(cè)得的仰角為（1）求的長(zhǎng)；（2）若，求信號(hào)塔的高度解（1）在中，由正弦定理，（2）由（1）及條件知，由正弦定理得熱點(diǎn)三解三角形與三角函數(shù)的交匯問(wèn)題【例3】(2017·長(zhǎng)沙質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)2sin xcos x2cos2x1，xR(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最小值；(2)在ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知c，f(C)0，sin B2sin A，求a，b的值解(1)f(x)sin 2x2cos2x1sin 2x(cos 2x1)1sin 2xcos 2x22sin2，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T，最小值為4(2)因?yàn)閒(C)2sin20，所以sin1，又C(0，)，知<2C<，所以2C，得C因?yàn)閟in B2sin A，由正弦定理得b2a，由余弦定理得，c2a2b22abcos Ca24a22a23a2，又c，所以a1，b2探究提高1解三角形與三角函數(shù)的綜合題，其中，解決與三角恒等變換有關(guān)的問(wèn)題，優(yōu)先考慮角與角之間的關(guān)系；解決與三角形有關(guān)的問(wèn)題，優(yōu)先考慮正弦、余弦定理2求解該類問(wèn)題，易忽視C為三角形內(nèi)角，未注明C的限制條件導(dǎo)致產(chǎn)生錯(cuò)解【訓(xùn)練3】(2018·聊城一中)已知fx=ab-1，其中向量a=(sin2x，2cosx)，b=(3，cosx)，(xR)（1）求fx的最小正周期和最小值；（2）在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若，求邊長(zhǎng)c的值解(1) f(x)=(sin2x，2cosx)·(3，cosx)-1=3sin2x+cos2x=2sin（2x6），f(x)的最小正周期為，最小值為-2(2) f(A4)=2sin（A26）=3sin（A26）32，A263或23 A3或A=（舍去），由余弦定理得a2b2c22bccosA，即1316c2-4c，即c2-4c+3=0，從而c =1或c=31(2018·全國(guó)II卷)在ABC中，cosC2=55，BC=1，AC=5，則AB=（）A42B30C29D252(2017·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，則C()ABCD3(2018·全國(guó)III卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若ABC的面積為a2+b2-c24，則C=（）A2B3C4D64(2018·全國(guó)I卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，則ABC的面積為_(kāi)5(2018·全國(guó)I卷)在平面四邊形ABCD中，ADC=90，A=45，AB=2，BD=5（1）求cosADB；（2）若DC=22，求BC1(2019·郴州質(zhì)檢)在ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b2+c2-3bc=a2，bc=3a2，則角C的大小是（）A6或23B3C23D62(2017·山東卷)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c若ABC為銳角三角形，且滿足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos A sin C，則下列等式成立的是（）Aa2bBb2aCA2BDB2A3(2017·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，則B_4(2019·開(kāi)封一模)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acosB+bsinA=c（1）求角A；（2）若a=2，ABC的周長(zhǎng)為6，求ABC的面積1(2019·昆明診斷)在平面四邊形ABCD中，D=90°，BAD=120°，AD=1，AC=2，AB=3，則BC=（）A5B6C7D222(2017·鄭州二模)在ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則角B_3(2018·重慶一中)已知函數(shù)fx=3sin2x+2cos2x-1，xR(1)求函數(shù)fx的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知c=3，fC=1，sinB=2sinA，求ABC面積S4(2017·衡水中學(xué)調(diào)研)在ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若(ac)sin Absin B(abc)sin C0(1)求角A；(2)當(dāng)sin Bsin C取得最大值時(shí)，判斷ABC的形狀參考答案1【解題思路】先根據(jù)二倍角余弦公式求cosC，再根據(jù)余弦定理求AB【答案】因?yàn)閏osC=2cos2C2-1=2×(55)2-1=-35，所以c2=a2+b2-2abcosC=1+25-2×1×5×(-35)=32，c=42，選A點(diǎn)睛：解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的2【解題思路】由消去角，再化簡(jiǎn)即可得到，再利用正弦定理求【答案】由題意得sin(AC)sin A(sin Ccos C)0，sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，則sin C(sin Acos A)sin Csin0，因?yàn)閟in C0，所以sin0，又因?yàn)锳(0，)，所以A，所以A由正弦定理，得，則sin C，得C故選B3【解題思路】利用面積公式SABC=12absinC和余弦定理a2+b2-c2=2abcosC進(jìn)行計(jì)算可得【答案】由題可知SABC=12absinC=a2+b2-c24，所以a2+b2-c2=2absinC，由余弦定理a2+b2-c2=2abcosC，所以sinC=cosC，C(0，)，C=4，故選C點(diǎn)睛：本題主要考查解三角形，考查了三角形的面積公式和余弦定理4【解題思路】首先利用正弦定理將題中的式子化為sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，化簡(jiǎn)求得sinA=12，利用余弦定理，結(jié)合題中的條件，可以得到2bccosA=8，可以斷定A為銳角，從而求得cosA=32，進(jìn)一步求得bc=833，利用三角形面積公式求得結(jié)果【答案】因?yàn)閎sinC+csinB=4asinBsinC，結(jié)合正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，可得sinA=12，因?yàn)閎2+c2-a2=8，結(jié)合余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得2bccosA=8，所以A為銳角，且cosA=32，從而求得bc=833，所以ABC的面積為S=12bcsinA=1283312=233，故答案是2335【解題思路】(1)根據(jù)正弦定理可以得到BDsinA=ABsinADB，根據(jù)題設(shè)條件，求得sinADB=25，結(jié)合角的范圍，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，求得cosADB=1-225=235；(2)根據(jù)題設(shè)條件以及第一問(wèn)的結(jié)論可以求得cosBDC=sinADB=25，之后在BCD中，用余弦定理得到BC所滿足的關(guān)系，從而求得結(jié)果【答案】（1）在ABD中，由正弦定理得BDsinA=ABsinADB由題設(shè)知，5sin45°=2sinADB，所以sinADB=25由題設(shè)知，ADB<90°，所以cosADB=1-225=235（2）由題設(shè)及（1）知，cosBDC=sinADB=25在BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-2×5×22×25=25所以BC=51【解題思路】由b2+c2-3bc=a2可得cosA=32，進(jìn)而利用bc=3a2可得sinBsinC=3sin2A=34結(jié)合內(nèi)角和定理可得C值【答案】b2+c2-3bc=a2，cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32，由0A，可得A=6，bc=3a2，sinBsinC=3sin2A=34，sin56-CsinC=34，即12sinCcosC+341-cos2C=34，解得tan2C=3，又0<C<56，2C=3或43，即C=6或23，故選A2【解題思路】注意等式兩邊的形式，利用和差角公式以及朝能約的方向進(jìn)行化簡(jiǎn)【答案】等式右邊2sin Acos Ccos Asin Csin Acos Csin(AC)sinAcos Csin B等式左邊2sin Bcos Csin B，則2sin Bcos Csin Bsin Acos Csin B，因?yàn)榻荂為銳角三角形的內(nèi)角，所以cos C不為0所以2sin Bsin A，根據(jù)正弦定理，得a2b故選A3【解題思路】邊化角再利用和差角公式即可【答案】由正弦定理得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos Asin(AC)sin B2sin Bcos Bsin B，又sin B0，cos B，故B故填4【解題思路】（1）利用正弦定理將已知的邊轉(zhuǎn)化為角的形式，然后利用三角形內(nèi)角和定理以及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，由此求得A的大?。?）根據(jù)周長(zhǎng)列出一個(gè)方程，利用余弦定理列出第二方程，解方程組求得bc的值，并求得三角形的面積【答案】（1）由已知及正弦定理得：sinAcosB+sinBsinA=sinC，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，sinBsinA=cosAsinB，sinB0sinA=cosA，A(0，)A=4（2）a=2，ABC的周長(zhǎng)l=6，b+c=4，由余弦定理得a2=(b+c)2-2bc-2bccosA，4=16-2bc-2bc，bc=6(2-2)，ABC的面積S=12bcsinA=12×6(2-2)×22=3(2-1)1【解題思路】在RtADC中，由AD=1，AC=2，得DAC=60，且BAD=120°，所以CAB=60，由余弦定理得BC的長(zhǎng)度【答案】在平面四邊形ABCD中，如圖在RtADC中，D=90°，AD=1，AC=2，所以DAC=60，且BAD=120°，所以CAB=60，在ABC中，AB=3，由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC×ABcosCAB=7，所以BC=7故選C2【解題思路】角化邊即可得【答案】由及正弦定理，得，則a2c2b2ac，cos B，從而B(niǎo)故填3【解題思路】(1)利用二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)f(x)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)可得周期和單調(diào)區(qū)間；（2）由f(C)=1，得角C，由正弦定理得b=2a，然后利用余弦定理可得a和b的值，代入面積公式即可得到答案【答案】fx=3sin2x+cos2x=2sin(2x+6)(1)最小正周期為T=，因?yàn)?+2k2x+632+2k，kZ，所以6+kx23+k，所以函數(shù)的單遞減區(qū)間為6+k，23+k，kZ（2）因?yàn)閒C=2sin2C+6=1，所以C=3，所以32=a2+b2-2abcos3，a2+b2-ab=3又因?yàn)閟inB=2sinA，所以b=2a由，可得a=1，b=2，S=12absinC=324【解題思路】(1)角化邊(2)由BC，消元留一個(gè)未知量，再化形式，進(jìn)而根據(jù)角度范圍確定其值域【答案】解(1)由正弦定理2R，可得sin A，sin B，sin C代入(ac)sin Absin B(abc)sin C0化簡(jiǎn)整理得：b2c2a2bc，則，所以cos A又因?yàn)锳為三角形內(nèi)角，所以A(2)由(1)得BC，所以sin Bsin Csin Bsinsin Bsincos Bcossin Bsin Bcos Bsin因?yàn)?<B<，所以<B<，所以當(dāng)B時(shí)，B，sin Bsin C取得最大值，因此C(AB)，所以ABC為等邊三角形12