《正弦定理》教案

正弦定理教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)目標(biāo)分析 1、知識與技能：通過對銳角三角形中邊與角的關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)正弦定理；掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；能利用正弦定理解三角形以及利用正弦定理解決簡單的實際問題。 2、過程與方法：讓學(xué)生從實際問題出發(fā)，結(jié)合以前學(xué)習(xí)過的直角三角形中的邊角關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生不斷地觀察、比較、分析，采取從特殊到一般以及合情推理的方法發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理，使學(xué)生體會完全歸納法在定理證明中的應(yīng)用；讓學(xué)生在應(yīng)用定理解決問題的過程中更深入的理解定理及其作用。3、情感態(tài)度與價值觀：面向全體學(xué)生，創(chuàng)造平等的教學(xué)氛圍，通過學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評價，發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理。從發(fā)現(xiàn)與證明的過程中體驗數(shù)學(xué)的探索性與創(chuàng)造性，讓學(xué)生體驗成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生的好奇心與求知欲。培養(yǎng)學(xué)生處理解三角形問題的運算能力和探索數(shù)學(xué)規(guī)律的推理能力，并培養(yǎng)學(xué)生堅忍不拔的意志、實事求是的科學(xué)態(tài)度和樂于探索、勇于創(chuàng)新的精神。二、教學(xué)重點、難點分析重點：通過對銳角三角形邊與角關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)、證明正弦定理并運用正弦定理解決一些簡單的三角形度量問題。難點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明過程；已知兩邊以及其中一邊的對角解三角形時解的個數(shù)的判斷。三、教法與學(xué)法分析本節(jié)課是教材第一章解三角形的第一節(jié)，所需主要基礎(chǔ)知識有直角三角形的邊角關(guān)系，三角函數(shù)相關(guān)知識。在教法上，根據(jù)教材的內(nèi)容和編排的特點，為更有效的突出重點，突破難點，教學(xué)中采用探究式課堂教學(xué)模式，首先從學(xué)生熟悉的銳角三角形情形入手，設(shè)計恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，將新知識與學(xué)生已有的知識建立起密切的聯(lián)系，通過學(xué)生自己的親身體驗，使學(xué)生經(jīng)歷正弦定理的發(fā)現(xiàn)過程，激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動學(xué)生主動參與的積極性，引導(dǎo)學(xué)生嘗試運用新知識解決新問題，即在教學(xué)過程中，讓學(xué)生的思維由問題開始，通過猜想的得出、猜想的探究、定理的推導(dǎo)等環(huán)節(jié)逐步得到深化。教學(xué)過程中鼓勵學(xué)生合作交流、動手實踐，通過對定理的推導(dǎo)、解讀、應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生主動思考、總結(jié)、歸納解答過程中的內(nèi)在規(guī)律，形成一般結(jié)論。在學(xué)法上，采用個人探究、教師講解，學(xué)生討論相結(jié)合的方法，讓學(xué)生在問題情境中學(xué)習(xí)，自覺運用觀察、類比、歸納等思想方法，體驗數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，重視學(xué)生自主探究，增強(qiáng)學(xué)生由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維能力，形成實事求是的科學(xué)態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)求真的學(xué)習(xí)習(xí)慣。四、學(xué)情分析對于高一的學(xué)生來說，已學(xué)的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。同時，由于學(xué)生目前還沒有學(xué)習(xí)平面向量，因此，對于正弦定理的證明方法向量法，本節(jié)課沒有涉及到。根據(jù)以上特點，教師恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動性，多加以前后知識間的聯(lián)系，帶領(lǐng)學(xué)生直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動成果的喜悅。 五、教學(xué)工具 多媒體課件 六、教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課 興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有個好的開頭，那就意味著成功了一半。上課一開始，我先提出問題：工人師傅的一個三角形模型壞了，只剩下如圖所示的部分，AB的長為1m，但他不知道AC和BC的長是多少而無法去截料，你能告訴師傅這兩邊的長度嗎？教師：請大家思考，看看能否用過去所學(xué)過的知識解決這個問題？（約2分鐘思考后學(xué)生代表發(fā)言）學(xué)生活動一:（教師提示）把這個實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型那就是“已知三角形中的兩角及夾邊，求另外兩邊的長”，本題是通過三角形中已知的邊和角來求未知的邊和角的這個過程，我們把它習(xí)慣上叫解三角形，要求邊的長度，過去的做法就是把未知的邊必須要放在直角三角形中，利用勾股定理或三角函數(shù)進(jìn)行求解，即本題的思路是：“把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形”，也就是要“作高”。學(xué)生：如圖，過點A作BC邊上的高,垂直記作D 然后,首先利用題目中的已知數(shù)據(jù)求出角C的大小,接著把題目中的相關(guān)數(shù)據(jù)和角C的值代入上述等式,即可求出b,即AC的值,然后可利用AC、AB、角B、角C的值和三角函數(shù)知識可分別求出CD和BD的長度，把所求出的CD和BD的長度相加即可求出BC的長度。教師：這位同學(xué)的想法和思路非常好，簡直是一位天才 （同時再一次回顧該同學(xué)具體的做法）教師：能否像求AC的方法一樣對BC進(jìn)行求解呢？學(xué)生：可以教師：那么具體應(yīng)該怎么做呢？學(xué)生：過點B向AC作高，垂直記作E，如圖：接下來，只需要將相關(guān)的數(shù)據(jù)代入即可求出BC的長度教師：總結(jié)學(xué)生的做法 通過作兩條高線后，即可把AC、BC的長度用已知的邊和角表示出來 接下來，只需要將題目中的相關(guān)數(shù)據(jù)代入，本題便迎刃而解。定理的發(fā)現(xiàn)：教師：如果把本題目中的有關(guān)數(shù)據(jù)變一下，其中A50o，B80o大家又該怎么做呢？學(xué)生1：同樣的做法（仍得作高）學(xué)生2：只需將已知數(shù)據(jù)代入上述等式即可求出兩邊的長度教師：還需要再次作高嗎？學(xué)生：不用教師：對于任意的銳角三角形中的“已知兩角及其夾邊，求其他兩邊的長”的問 題是否都可以用上述兩個等式進(jìn)行解決呢？學(xué)生：可以教師：既然這兩個等式適合于任意的銳角三角形，那么我們只需要記住這兩個等式，以后若是再遇見銳角三角形中的這種問題，直接應(yīng)用這兩個等式并進(jìn)行代入求值即可。教師：大家看看，這兩個等式的形式是否容易記憶呢？學(xué)生：不容易教師：能否美化這個形式呢？學(xué)生：美化之后可以得到： （定理）教師：銳角三角形中的這個結(jié)論，到底表達(dá)的是什么意思呢？學(xué)生：在銳角三角形中，各邊與它所對角的正弦的比相等教師：那么銳角三角形中的這個等式能否推廣到任意三角形中呢？那么接下來就讓我們分別來驗證一下，看看這個等式在直角三角形和鈍角三角形中是否成立。定理的探索：教師：大家知道，在直角三角形ABC中：若 則： 所以： 故： 即： 在直角三角形中也成立教師：那么這個等式在鈍角三角形中是否成立，我們又該如何驗證呢？請大家思考。 學(xué)生活動二：驗證 在鈍角三角形中是否成立 教師（提示）：要出現(xiàn)sinA、sinB的值 必須把A、B放在直角三角形中 即就是要作高（可利用誘導(dǎo)公式將轉(zhuǎn)化為）學(xué)生：學(xué)生可分小組進(jìn)行完成，最終可由各小組組長 匯報本小組的思路和做法。（結(jié)論成立）教師：我們在銳角三角形中發(fā)現(xiàn)有這樣一個等式成立，接下來，用類比的方法對 它分別在直角三角形和鈍角三角形中進(jìn)行驗證，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這個等式對于 任意的直角三角形和任意的鈍角三角形都成立，那么我們此時能否說：“這 個等式對于任意的三角形都成立”呢？學(xué)生：可以教師：這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的正弦定理（引出課題）定理的證明 教師：展示正弦定理的證明過程 證明：（1）當(dāng)三角形是銳角三角形時，過點A作BC邊 上的高線，垂直記作D，過點B向AC作高，垂直記作E，如圖： 同理可得： 所以易得 （2）當(dāng)三角形是直角三角形時； 在直角三角形ABC中：若 因為： 所以： 故： 即： （3）當(dāng)三角形是鈍角三角形時（角C為鈍角）過點A作BC邊上的高線，垂直記作D 由三角形ABC的面積可得 即： 故：所以，對于任意的三角形都有 成立。教師：這就是本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的正弦定理（給出定理的內(nèi)容） （解釋定理的結(jié)構(gòu)特征） 思考：正弦定理可以解決哪類問題呢？學(xué)生：在一個等式中可以做到“知三求一”定理的應(yīng)用教師：接下來，讓我們來看看定理的應(yīng)用（回到剛開始的那個實際問題，用正弦 定理解決）（板書步驟）隨堂訓(xùn)練 學(xué)生：獨立完成后匯報結(jié)果或快速搶答教師：上述幾道題目只是初步的展現(xiàn)了正弦定理的應(yīng)用，其實正弦定理的應(yīng)用相 當(dāng)廣泛，那么它到底可以解決什么問題呢，這里我送大家四句話：“近測 高塔遠(yuǎn)看山，量天度海只等閑；古有九章勾股法，今看三角正余弦.” 以這四句話把正弦定理的廣泛應(yīng)用推向高潮）課堂小結(jié)：1、知識方面：正弦定理：2、其他方面： 過程與方法：發(fā)現(xiàn) 推廣 猜想 驗證 證明 （這是一種常用的科學(xué)研究問題的思路與方法，希望同學(xué)們在今 后的學(xué)習(xí)中一定要注意這樣的一個過程） 數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、從特殊到一般作業(yè)布置： 書面作業(yè)：P527 查找并閱讀“正弦定理”的其他證明方法（比如“面積法”、“向量法”等） 思考、探究：若將隨堂訓(xùn)練中的已知條件改為以下幾種情況，結(jié)果如何？板書設(shè)計： 1、定理： 2、探索：3、證明：4、應(yīng)用：檢測評估：