考點46 隨機抽樣、用樣本估計總體、變量間的相關關系、

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1、 考點46 隨機抽樣、用樣本估計總體、變量間的相關關系、統(tǒng)計案例 一、選擇題 1. （2013·四川高考文科·Ｔ7）某學校隨機抽取個班，調查各班中有網上購物經歷的人數(shù)，所得數(shù)據的莖葉圖如圖所示。以組距為將數(shù)據分組成，，…，，時，所作的頻率分布直方圖是（ ） 【解析】選A.由[0,5),[5,10)內的頻數(shù)均為1,可知頻率分布直方圖中的高度相等,可以排除選項B;由于分組時按照組距為5分的,而選項C,D的組距為10,故錯誤;所以選A. 2. （2013·重慶高考理科·Ｔ4）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分）. 甲組 乙組 9

2、 0 9 2 1 5 8 7 4 2 4 已知甲組數(shù)據的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據的平均數(shù)為16.8，則、的值分別為（ ） A. 2,5 B. 5,5 C. 5,8 D. 8,8 【解題指南】直接利用中位數(shù)和平均數(shù)的定義進行求解. 【解析】選C. 因為甲組數(shù)據的中位數(shù)為15，所以易知,又乙組數(shù)據的平均數(shù)為16.8,所以,解得.故選C. 3. （2013·重慶高考文科·Ｔ6）下圖是某公司10個銷售店某月銷售某產品數(shù)量（單位：臺）的莖葉圖，則數(shù)據落在區(qū)間[22,30）內的概率為（ ）

3、 A.0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.6 【解題指南】直接根據數(shù)據的總個數(shù)和落在區(qū)間[22,30）內的個數(shù)求解即可. 【解析】選B. 落在區(qū)間[20,30）內的個數(shù)為4個,總的數(shù)據有10個,故概率為0.4.選B. 4.（2013·湖南高考理科·Ｔ2）某學校有男、女學生各500名.為了解男女學生在學習興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學生中抽取100名學生進行調查，則宜采用的抽樣方法是（ ） A．抽簽法 B．隨機數(shù)法 C．系統(tǒng)抽樣法 D．分層抽樣法 【解題指南】 本題要弄懂三種抽樣方法之間的區(qū)別和聯(lián)系。

4、 【解析】選D.簡單隨機抽樣適用于樣本較小的抽樣,選項A,B不適合,系統(tǒng)抽樣適用于樣本容量大且總體差異不明顯,所以選項C不適合.本題樣本男女差異明顯,適合分層抽樣.故選D. 5. （2013·湖南高考文科·Ｔ3）某工廠甲、乙、丙三個車間生產了同一種產品，數(shù)量分別為120件，80件，60件。為了解它們的產品質量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進行調查，其中從丙車間的產品中抽取了3件，則n=（ ） A.9 B.10 C.12 D.13 【解題指南】用分層抽樣時，各層的抽樣比是一樣的。 【解析】選D，因為，所以。故選D。 6.（2013·江

5、西高考文科·Ｔ5）與（2013·江西高考理科·Ｔ4）相同 總體由編號為01，02，…，19，20的20個個體組成.利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右一次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為( ) 7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198 3204　9234　4935　8200　3623　4869　6938　7481 A.08 B.07 C.02 D.01 【解題指南】根據隨機數(shù)表法選取編號. 【解析】選D.由題意知選定的第一個數(shù)為65（第1行的第5列和第6列），按由左到右選取

6、兩位數(shù)（大于20的跳過、重復的不選?。?，前5個個體編號為08、02、14、07、01.故選出來的第5個個體的編號為01. 7.（2013·安徽高考理科·Ｔ5）某班級有50名學生,其中有30名男生和20名女生,隨機詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學測驗中的成績,五名男生的成績分別為86,94,88,92,90,五名女生的成績分別為88,93,93,88,93.下列說法一定正確的是　(　　) A.這種抽樣方法是一種分層抽樣 B.這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣 C.這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差 D.該班級男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù) 【解題指南】分別計算出男、

7、女兩同學的平均數(shù)和方差。 【解析】選C.因為 所以 所以，故選C。 8.（2013·福建高考理科·Ｔ4）某校從高一年級學生中隨機抽取部分學生，將他們的模塊測試成績分成6組：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖。已知高一年級共有學生600名，據此估計，該模塊測試成績不少于60分的學生人數(shù)為（ ） A.588 B.480 C.450 D.120 【解題指南】切記，直方圖的縱坐標不是頻率，而是頻率比組距． 【解析】選B.大于60分的頻

8、率為， 所以所求學生人數(shù)為人. 9.（2013·福建高考文科·Ｔ11）已知之間的幾組數(shù)據如下表： 1 2 3 4 5 6 0 2 1 3 3 4 假設根據上表數(shù)據所得線性回歸直線方程為 求得的直線方程為則以下結論正確的是（ ） A． B． C． D． 【解題指南】審題時,要注意“直線方程”和“回歸直線”的區(qū)別。 【解析】選C．過和的直線方程為, 畫出六點的散點圖,回歸直線的大概位置如圖所示, 顯然增長率,． 10. （2013·湖北高考文科·Ｔ4）四名同學根據各自的樣本數(shù)據研究變量之間的相關關系，并求得回歸直線方程，分

9、別得到以下四個結論： ① y與x負相關且； ② y與x負相關且； ③ y與x正相關且； ④ y與x正相關且. 其中一定不正確的結論的序號是 （ ） A．①② B．②③ C．③④ D． ①④ 【解題指南】x的系數(shù)的符號決定變量x,y之間的正、負相關關系. 【解析】選D.x的系數(shù)大于0為正相關,小于0為負相關. 11.（2013·山東高考文科·Ｔ10）將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分數(shù)的平均分為91，現(xiàn)場做的9個分數(shù)的莖葉圖后來有一個數(shù)據模糊，無法辨認，在圖中以表示：

10、 則7個剩余分數(shù)的方差為（ ） A. B. C.36 D. 【解題指南】先將數(shù)據寫出，去掉最高分和最低分，根據平均數(shù)求出x的值，利用方差公式求7個剩余分數(shù)的方差. 【解析】選B.這組數(shù)據為87,87,94,90,91,90,9x,99,91,最高分為99，最低分為87，剩余數(shù)據為87,94,90,91,90,9x,91. ，所以 方差為. 12. （2013·陜西高考理科·Ｔ4） 某單位有840名職工, 現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法, 抽取42人做問卷調查, 將840人按1, 2, …, 840隨機編號, 則抽取的42人中, 編號落入區(qū)間[481, 720]的人數(shù)為

11、 ( ) A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【解題指南】統(tǒng)計中不管哪種抽樣方法都需保證抽樣的等可能性，即不管什么抽樣方法，每個個體入選的概率都是相等的. 【解析】選B.根據抽樣方法的等概率性可知，每人入選的概率是，由題設可知區(qū)間[481, 720]的人數(shù)為240，所以編號落入區(qū)間[481, 720]的人數(shù)為. 13. （2013·陜西高考文科·Ｔ5）對一批產品的長度(單位:mm)進行抽樣檢測,下圖為檢測結果的頻率分布直方圖.根據標準,產品長度在區(qū)間[20,25)上的為一等品,在區(qū)間[15,20)和區(qū)間[25,30)上的為二等品,在區(qū)間[10,

12、15)和[30,35]上的為三等品.用頻率估計概率,現(xiàn)從該批產品中隨機抽取一件,則其為二等品的概率為　(　　) A. 0.09 B. 0.20 C. 0.25 D. 0.45 【解題指南】根據頻率分布直方圖中縱軸的意義,計算樣本數(shù)據落在區(qū)間[15,20)和區(qū)間[25,30)上的頻率,用頻率代替概率得二等品的概率. 【解析】選D.組距為5，二等品的概率為.所以，從該批產品中隨機抽取1件，則其是二等品的概率為0.45. 14. （2013·遼寧高考文科·Ｔ5）與（2013·遼寧高考理科·Ｔ5）相同 某班的全體學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖， 數(shù)據的分組依

13、次為若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學生人數(shù)是（ ） 【解題指南】 利用頻率分布直方圖，計算出低于60分的人數(shù)的頻率，利用頻數(shù)除以相應的頻率得總人數(shù) 【解析】選B. 由頻率分布直方圖，計算出低于60分的人數(shù)的頻率（前兩個小矩形的面積） 則總人數(shù)為 15.（2013·新課標Ⅰ高考理科·Ｔ3）為了了解某地區(qū)的中小學生的視力情況,擬從該地區(qū)的中小學生中抽取部分學生進行調查,事先已了解到該地區(qū)小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異,而男女生視力情況差異不大,在下面抽樣方法中,最合理的抽樣方法是　(　　) A.簡單隨機抽樣 B.按性別分層抽樣 C.按學段分層抽樣 D.系統(tǒng)

14、抽樣 【解題指南】利用三種抽樣:簡單隨機抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣的概念和性質進行判斷. 【解析】選C.小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異而男女生視力情況差異不大,故選用按學段分層抽樣的抽樣方法. 二、填空題 16. (2013·江蘇高考數(shù)學科·T6)抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓練成績(單位:環(huán)),結果如下: 運動員 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 則成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運動員成績的方差為　　　　. 【解題指南】利用平均數(shù)公式與方差公式求解可

15、得結果. 【解析】, 故, 【答案】2. 17. （2013·遼寧高考文科·Ｔ16）與（2013·遼寧高考理科·Ｔ16）相同為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，從全校隨機抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據。已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據互不相同，則樣本數(shù)據中的最大值為_________. 【解題指南】借助題目條件，樣本數(shù)據中最大的不會超過12，采用逐一討論的方法 【解析】由定義知，樣本的方差是各個數(shù)據與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù)，若設互不相同的樣本數(shù)據分別為，且， 則有， 即， 若樣本數(shù)據中的最大值為11，不妨設，則可得 ， 由于樣本

16、數(shù)據互不相同，這是不可能成立的；若樣本數(shù)據為4,6,7,8,10，代入驗證可知符合題目要求，此時樣本數(shù)據中最大值為10. 故最大值為10. 【答案】. 18. （2013·湖北高考理科·Ｔ11）從某小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量調查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示 （1）直方圖中x的值為 （2）在這些用戶中，用電量落在區(qū)間[100,250]內的戶數(shù)為 【解題指南】各小矩形的面積即每小組的頻率，面積和為1，矩形的高是頻率比組距。 【解析】 (1)50x=1-50×(0.0012+0.0024×2+0.0036+0.006

17、0)=0.22,x=0.0044. (2)100×(0.18+0.3+0.22)=70. 【答案】(1)0.004 4　(2)70. 19. （2013·湖北高考文科·Ｔ12）某學員在一次射擊測試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下： 7，8，7，9，5，4，9，10，7，4 則（Ⅰ）平均命中環(huán)數(shù)為 ； （Ⅱ）命中環(huán)數(shù)的標準差為 . 【解析】 ， =4， 【答案】7； 2. 三、解答題 20. （2013·重慶高考文科·Ｔ17）從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第個家庭的月收入（單位：千元）與月儲蓄（單位：千元）的數(shù)據資料，算得，，，．

18、 （Ⅰ）求家庭的月儲蓄對月收入的線性回歸方程； （Ⅱ）判斷變量與之間是正相關還是負相關； （Ⅲ）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄． 附：線性回歸方程中，，， 其中，為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為． 【解題指南】根據公式可直接求出回歸直線方程,然后根據回歸方程解決相關問題. 【解析】（Ⅰ）由題意知, 又 由此得 故所求回歸方程為. （Ⅱ）由于變量的值隨的值增加而增加,故量與之間是正相關. （Ⅲ）將代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為(千元). 21.（2013·安徽高考文科·Ｔ17）為調查甲、乙兩校高三年級學生某次聯(lián)考數(shù)學成績情況,用簡單隨機抽樣,

19、從這兩校中各抽取30名高三年級學生,以他們的數(shù)學成績(百分制)作為樣本,樣本數(shù)據的莖葉圖如下: （Ⅰ）若甲校高三年級每位學生被抽取的概率為0.05，求甲校高三年級學生總人數(shù)，并估計甲校高三年級這次聯(lián)考數(shù)學成績的及格率（60分及60分以上為及格）； （Ⅱ）設甲、乙兩校高三年級學生這次聯(lián)考數(shù)學平均成績分別為，估計 的值。 【解析】（Ⅰ）設甲校高三年級學生總數(shù)為n，由題意知，樣本中甲校高三年級學生成績不及格人數(shù)為5，據此估計甲校高三年級此次聯(lián)考數(shù)學成績及格率為。 （Ⅱ）設甲、乙兩校樣本平均數(shù)分別為，根據樣本莖葉圖可知，=(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-

20、79)+(22-20)+92=2+49-53-77+2+92=15. 因此，故的估計值為0.5分. 22.(2013·福建高考文科·T19) 某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名,25周歲以下工人200名.為研究工人的日平均生產量是否與年齡有關,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名工人,先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產件數(shù),然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組,再將兩組工人的日平均生產件數(shù)分為5組: 分別加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖. (1)從樣本中日平均生產件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人,求至少抽到一名“25周歲以下組”工

21、人的概率. (2)規(guī)定日平均生產件數(shù)不少于80件者為“生產能手”,請你根據已知條件完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為“生產能手與工人所在的年齡組有關”? 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 【解題指南】分層抽樣,等比例取人,讀出直方圖的信息,羅列基本事件,根據古典概型,求出相應概率,按卡方公式計算.根據表格讀出把握性. 【解析】(1)由已知得,樣本中有25周歲以上組工人60名,25周歲以下組工人40名,所以,樣本中日平均生產件數(shù)不足60件的工人中,25周歲以上組工人有60×0.05

22、=3(人),記為A1,A2,A3.25周歲以下組工人有40×0.05=2(人),記為B1,B2.從中隨機抽取2名工人,所有可能的結果共有10種,即:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2). 其中,至少抽到一名“25周歲以下組”工人的可能結果共有7種,是:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求概率P=. (2)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100名工人中,“25周歲以上組”中的生產能手60×0.

23、25=15(人),“25周歲以下組”中的生產能手40×0.375=15(人),據此可得2×2列聯(lián)表如下: 生產能手 非生產能手 合計 周歲以上組 周歲以下組 合計 所以得： 因為，所以沒有的把握認為“生產能手與工人所在的年齡組有關”. 23. （2013·新課標Ⅰ高考文科·Ｔ18）為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥,B藥)的療效,隨機地選取20位患者服用A藥,20位患者服用B藥,這40位患者在服用一段時間后,記錄他們日平均增加的睡眠時間(單位:h)實驗的觀測結果如下: 服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間： 0.6　1.2

24、　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3　3.2　3.5 2.5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9　3.0　3.1　2.3　2.4 服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間： 3.2　1.7　1.9　0.8　0.9　2.4　1.2　2.6　1.3　1.4 1.6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1　2.5　1.2　2.7　0.5 （Ⅰ）分別計算兩組數(shù)據的平均數(shù)，從計算結果看，哪種藥的療效更好. （Ⅱ）根據兩種數(shù)據完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好. 【解析】設藥觀測數(shù)據的的平均數(shù)為，藥觀測數(shù)據的的平均數(shù)為，由觀測結果可得 由以上計算結果可得，因此可以看出藥的療效更好. （Ⅱ）由觀測結果可繪制如下莖葉圖 從以上莖葉圖可以看出，藥療效的試驗結果有的葉集中在莖上，藥療效的試驗結果有的葉集中在莖上，由此可以看出藥的療效更好.