2020年高考數(shù)學(xué) 考前查缺補(bǔ)漏系列 熱點(diǎn)02 新問題新情景如何面對(duì)高考中新定義問題？

新問題新情景，如何面對(duì)高考中新定義問題？在近幾年全國、各省的高考數(shù)學(xué)命題中,“新定義”問題越來越受到關(guān)注和重視.所謂“新定義”問題,是相對(duì)于高中教材而言,指在高中教材中不曾出現(xiàn)過的概念、定義.它的一般形式是:由命題者先給出一個(gè)新的概念、新的運(yùn)算法則,或者給出一個(gè)抽象函數(shù)的性質(zhì)等,然后讓學(xué)生按照這種“新定義”去解決相關(guān)的問題.“新定義”問題總的來說題型較為新穎,所包含的信息豐富,能較好地考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.掌握好下列幾種解題的思路與方法,為我們?cè)诤暧^上把握這類題型提供了思維方向.一以集合為背景的新問題已知集合, .若存在實(shí)數(shù)使得成立,稱點(diǎn)為“”點(diǎn)，則“”點(diǎn)在平面區(qū)域內(nèi)的個(gè)數(shù)是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 無數(shù)個(gè)【答案】A代入（1）可得方程無整數(shù)解，故滿足條件的點(diǎn)不存在，選A.例2 2020·福建卷 在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為k，即k5nk|nZ，k0,1,2,3,4.給出如下四個(gè)結(jié)論：20201；33；Z01234；“整a，b屬于同一類”的充要條件是“ab0”其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4【答案】C二以函數(shù)為背景考查新定義 例32020·天津卷 對(duì)實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“”；ab設(shè)函數(shù)f(x)(x22)(x1)，xR.若函數(shù)yf(x)c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)c的取值范圍是()A(1,1(2，) B(2，1(1,2C(，2)(1,2 D2，1則f(x)的圖象如圖，函數(shù)yf(x)c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，函數(shù)yf(x)與yc的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象可得2<c1，或1<c2.例4【山東省青島市2020屆高三期末檢測】 在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，如果函數(shù)的圖象恰好通過個(gè)整點(diǎn)，則稱函數(shù)為階整點(diǎn)函數(shù).有下列函數(shù) ，其中是一階整點(diǎn)函數(shù)的是A B C D【答案】D三、以向量為背景的新定義例5 【2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(二)】已知、為兩兩垂直的單位向量，非零向量，若向量與向量、的夾角分別為、，則 ABCDE【答案】1【解析】設(shè)、為長方體的共頂點(diǎn)的三條棱的方向向量，因非零向量，故可為長方體體對(duì)角線的方向向量，則、分別為則有解：由“線性相關(guān)”的定義，知存在不全為零的實(shí)數(shù)k1，k2，k3，使得即k1(1，0)k2(1，1)k3(2，2)(0，0)不妨取k31，則k22，k14 k1，k2，k3依次可取4，2，1分析2：根據(jù)線性相關(guān)的定義和向量加法的運(yùn)算法則，我們可以得該題的一般解法解法2：設(shè)存在3個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)k1，k2，k3，使得則，不妨設(shè)k30，于是解得故存在三個(gè)非零實(shí)數(shù)4k3，2k3，k3使得，于是線性相關(guān)，特殊地，取k31四以數(shù)列為背景的新定義例7【湖南省衡陽八中2020屆高三第三次月考】 當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，定義函數(shù)表示的最大奇因數(shù)如，記則（1） （2） 【答案】86；（2），例8 2020·北京卷 若數(shù)列An：a1，a2，an(n2)滿足|ak1ak|1(k1,2，n1)充分性：由于a2000a19991.a1999a19981.a2a11.所以a2000a11999，即a2000a11999.又因?yàn)閍112，a20002020.所以a2000a11999.故ak1ak1>0(k1,2，1999)，即E數(shù)列An是遞增數(shù)列綜上，結(jié)論得證(3)對(duì)首項(xiàng)為4的E數(shù)列An，由于a2a113，a3a212，a8a713，所以a1a2ak>0(k2,3，8)所以對(duì)任意的首項(xiàng)為4的E列An，若S(An)0，則必有n9.又a14的E數(shù)列A9：4,3,2,1,0，1，2，3，4滿足S(A9)0，所以n的最小值是9.【最新模擬試題訓(xùn)練】【答案】A【解析】 T全部是偶數(shù)，V全部是奇數(shù)，那么T，V對(duì)乘法是封閉的，但如果T是全部偶數(shù)和1,3，那么此時(shí)T，V都符合題目要求，但是在V里面，任意取的是1和3，那么相乘等于3，而V里面沒有3，所以V對(duì)乘法不封閉排除B、C、D選項(xiàng)，所以“至少一個(gè)”是對(duì)的2.【2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(二)】對(duì)向量，定義一種運(yùn)算“” ，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q分別在曲線和上運(yùn)動(dòng)，且(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))，若，則的最大值為 A B2 C3 D【答案】C【解析】設(shè)又顯然當(dāng)時(shí)，取得最大值為3.3.【北京市石景山區(qū)2020學(xué)年高三第一學(xué)期期末考試】對(duì)于使成立的所有常數(shù)中，我們把的最小值1叫做的上確界,若，且，則的上確界為（ ）ABCD-4【答案】B4.【山東省日照市2020屆高三12月月】若數(shù)列，則稱數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”.已知正項(xiàng)數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，且，則的最大值是A.10B.100C.200D.400【答案】B【解析】由已知得為等差數(shù)列，且所以6.【寧夏銀川2020年高三教學(xué)質(zhì)量檢測】若直線坐標(biāo)系平面內(nèi)的兩點(diǎn)P,Q滿足條件：（1）P,Q都在函數(shù)的圖像上；（2）P、O關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。則稱點(diǎn)P,Q是函數(shù)的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”。（注：點(diǎn)P,Q與Q，P看作同一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”）。已知函數(shù)則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有A.0對(duì) B.1對(duì) C.2對(duì) D. 3對(duì)【答案】C 7.【河南豫西五校2020屆高三下學(xué)期聯(lián)合考試】設(shè)S是實(shí)數(shù)解R的非空子集，如果則稱S是一個(gè)“和諧集”。下面命題為假命題的是A.存在有限集S，S是一個(gè)“和諧集”B對(duì)任意無理數(shù)a，集合都是“和諧集”C若且均為“和諧集”，則D對(duì)任意兩個(gè)“和諧集”，若【答案】D8. 【北京市西城區(qū)2020 2020學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷】已知點(diǎn)若曲線上存在兩點(diǎn)，使為正三角形，則稱為型曲線給定下列三條曲線：yy=-x+3OA ； ； 其中，型曲線的個(gè)數(shù)是（ ）x（A）（B）（C）（D）【答案】CxyAO【解析】對(duì)于，的圖像是一條線段，記為如圖（1）所示，從圖中可以看出：在線段上一定存在兩點(diǎn)B,C使ABC為正三角形，故滿足型曲線；對(duì)于，的圖象是圓在第二象限的部分，如圖（2）所示，顯然，無論點(diǎn)B、C在何處，ABC都不可能為正三角形，所以不是型曲線。yOAx對(duì)于，表示雙曲線在第四象限的一支，如圖（3）所示，顯然，存在點(diǎn)B,C，使ABC為正三角形，所以滿足；綜上，型曲線的個(gè)數(shù)為2，故選C.10.(浙江省寧波市鄞州區(qū)2020年3月高考適應(yīng)性考試)對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列，定義,若則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 . 【答案】【解析】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法的問題。的“光陰”值，現(xiàn)知某數(shù)列 “光陰”值為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 . 【答案】【解析】由可得，得，所以。12.【湖北省武漢市2020年普通高等學(xué)校招生適應(yīng)性】定義在上的函數(shù)，如果存在函數(shù)（為常數(shù)），使得對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則稱為函數(shù)的一個(gè)承托函數(shù).現(xiàn)有如下函數(shù)： 對(duì)于，注意到，因此存在函數(shù)，使得對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，存在承托函數(shù).綜上所述，存在承托函數(shù)的的序號(hào)為.13.【2020延吉市質(zhì)檢理15】曲線：與軸交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)稱為“望點(diǎn)”，以“望點(diǎn)”為圓心，凡是與曲線C有公共點(diǎn)圓，皆稱之為“望圓”，則當(dāng)a=1，b=1時(shí)，所有的“望圓”中，面積最小 “望圓”的面積為 【答案】【解析】因?yàn)榍€：與軸交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)稱為“望點(diǎn)”，以“望點(diǎn)”為圓心，凡是與曲線C有公共點(diǎn)圓，皆稱之為“望圓”，所以當(dāng)時(shí)望圓的方程可設(shè)為，面積最小 “望圓”的半徑為（0,1）到上任意點(diǎn)之間最小距離，所以半徑，最小面積為14、【山東省微山一中2020屆高三10月月考數(shù)學(xué)（文）】已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b滿足，有以下結(jié)論：為偶函數(shù)；數(shù)列an為等比數(shù)列；數(shù)列bn為等差數(shù)列。其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ?！敬鸢浮?解析:因?yàn)槿〉萌〉萌〉萌〉糜傻么耄?）得。該題通過函數(shù)方程考查函數(shù)性質(zhì)與遞推數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式，既考查函數(shù)方程問題一般的研究方法：賦值，又考查轉(zhuǎn)化化歸，對(duì)能力要求較高，是難題。12.【2020海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期中練習(xí)】（）寫出和的值，并用列舉法寫出集合；（）用Card(M)表示有限集合M所含元素的個(gè)數(shù)，求的最小值；（）有多少個(gè)集合對(duì)（P，Q），滿足，且？解：（），. 3分（）根據(jù)題意可知：對(duì)于集合，若且，則所以 要使的值最小，2，4，8一定屬于集合；1，6，10，16是否屬于不影響的值；集合不能含有之外的元素.所以 當(dāng)為集合1,6,10,16的子集與集合2,4,8的并集時(shí)，取到最小值4. 8分所以 .所以 . 由 知：.所以 .所以 .所以 ，即.因?yàn)?，所以 滿足題意的集合對(duì)（P，Q）的個(gè)數(shù)為.14分13.【北京市西城區(qū)2020屆高三4月第一次模擬考試試題】對(duì)于數(shù)列，定義“變換”：將數(shù)列變換成數(shù)列，其中，且，這種“變換”記作.繼續(xù)對(duì)數(shù)列進(jìn)行“變換”，得到數(shù)列，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為時(shí)變換結(jié)束數(shù)列能結(jié)束，各數(shù)列依次為； 3分（）解：經(jīng)過有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件是4分若，則經(jīng)過一次“變換”就得到數(shù)列，從而結(jié)束5分當(dāng)數(shù)列經(jīng)過有限次“變換”后能夠結(jié)束時(shí)，先證命題“若數(shù)列為常數(shù)列，（）證明：先證明引理：“數(shù)列的最大項(xiàng)一定不大于數(shù)列的最大項(xiàng)，其中”證明：記數(shù)列中最大項(xiàng)為，則令，其中因?yàn)椋?所以，故，證畢 9分現(xiàn)將數(shù)列分為兩類若()，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類數(shù)列；若，則；，此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類數(shù)列 當(dāng)數(shù)列中有三項(xiàng)為時(shí)，只能是，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類數(shù)列總之，第二類數(shù)列至多經(jīng)過次“變換”，就會(huì)得到第一類數(shù)列，即至多連續(xù)經(jīng)歷次“變換”，數(shù)列的最大項(xiàng)又開始減少又因?yàn)楦鲾?shù)列的最大項(xiàng)是非負(fù)整數(shù)，故經(jīng)過有限次“變換”后，數(shù)列的最大項(xiàng)一定會(huì)為，此時(shí)數(shù)列的各項(xiàng)均為，從而結(jié)束 13分14.【北京市東城區(qū)2020學(xué)年度高三數(shù)第一學(xué)期期末檢測】（）對(duì)任意，且，求證：對(duì)于定義域中任意的，當(dāng)，且時(shí)，.【命題分析】本題是一道以集合為背景的創(chuàng)新題，考查函數(shù)的性質(zhì)和不等式的證明?？疾閷W(xué)生的理解能力和分析能力。讀懂題意是解題的前提，解題是注意分類討論思想的應(yīng)用。（）假設(shè)方程存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，.不妨設(shè)，根據(jù)題意存在，滿足. 因?yàn)?，且，所?與已知矛盾.又有實(shí)數(shù)根，所以方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根. 10分（）當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；綜上，對(duì)于任意符合條件的,總有成立.14分15.【北京市西城區(qū)2020 2020學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷】已知數(shù)列.如果數(shù)列滿足，其中，則稱為的“衍生數(shù)列”.（）若數(shù)列的“衍生數(shù)列”是，求；（）若為偶數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，證明：的“衍生數(shù)列”是；（）若為奇數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，的“衍生數(shù)列”是，.依次將數(shù)列，的第項(xiàng)取出，構(gòu)成數(shù)列.證明：是等差數(shù)列.【命題分析】本題考查新概念的數(shù)列問題，考查學(xué)生的自學(xué)能力.試題特點(diǎn)是設(shè)問很有層次性，基本上前兩個(gè)問題學(xué)生只要耐心認(rèn)真做答都能夠解答出來，考察學(xué)生代數(shù)推理能力，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維.（）解：. 3分（）證法一：證明：由已知，.因此，猜想. 4分故當(dāng)時(shí)猜想也成立.由 、 可知，對(duì)于任意正整數(shù)，有. 7分設(shè)數(shù)列的“衍生數(shù)列”為，則由以上結(jié)論可知因此，數(shù)列即是數(shù)列. 9分證法二：因?yàn)?， 由于為偶數(shù)，將上述個(gè)等式中的第這個(gè)式子都乘以，相加得 即，. 7分由于，根據(jù)“衍生數(shù)列”的定義知，數(shù)列是的“衍生數(shù)列”. 9分（）證法一：證明：設(shè)數(shù)列,中后者是前者的“衍生數(shù)列”.欲證成等差數(shù)列，只需證明成等差數(shù)列，即只要證明即可. 10分由（）中結(jié)論可知 ，所以，即成等差數(shù)列，所以是等差數(shù)列. 13分證法二：因?yàn)?，所以 .所以欲證成等差數(shù)列，只需證明成等差數(shù)列即可. 10分對(duì)于數(shù)列及其“衍生數(shù)列”，因?yàn)?， 因?yàn)?，所以 ， 即成等差數(shù)列. 同理可證，也成等差數(shù)列.即 是等差數(shù)列.所以 成等差數(shù)列. 13分