吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 解三角形學(xué)案 理

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1、吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 解三角形學(xué)案 理 知識(shí)梳理： 1、直角三角形各元素之間的關(guān)系:如圖1,在RtABC中，C= ，BC=a，AC=b，Ab=c。 （1）、三邊之間的關(guān)系：+=；（勾股定理） （2）、銳角之間的關(guān)系：A+B= （3）、邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)的定義）： sinA=cosB= sinB=cosA= ,tanA 2、斜三角形各元素之間的關(guān)系：如圖2，ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對(duì)邊。 （1）、三角形內(nèi)角之間的關(guān)系：A+B+C= ；sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=-cosC

2、;tan(A+B)=-tanC sin； cos； （2）、三邊之間的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊； （3）、正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦值的比相等；即 =2R (2R為外接圓的直徑) 正弦定理變形： （4）、余弦定理： 余弦定理變形： 3、三角形的面積公式： （1）、=a=b=c（，，分別表示a，b，c三邊上的高） （2）、=absinC=bcsinA=casinB （3）、=2=

3、（4）、= ；(高考了解) （5）、=rs（r為內(nèi)切圓半徑，） 4、解三角形：由三角形的六個(gè)元素（即三個(gè)內(nèi)角和三條邊）中的三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊）求其它未知元素的問題叫做解三角形，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線、內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等，解三角形問題一般可以分為下面兩個(gè)情形：若給出是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形為斜三角形，則稱為解斜三角形。 5、實(shí)際問題中的應(yīng)用。 （1）、仰角和俯角： （2）、方位角： （3）、坡度角： （4）、距離、角度的測量 測量距離問題；測量高度問題；測量角度問題。 二、題型探究 探究一：利

4、用正余弦定理解三角形 例1: (2020安徽)（本小題滿分12分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長分別是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B. (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求的值. 探究二:求三角形的面積 例3：已知a、b、c分別表示A、B、C的對(duì)邊，A，B，C成等差數(shù)列，cosA= ，b= （1）、求sinC的值 （2）、求的面積。 例4：已知三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，其外接圓的半徑為1，且有 sinA-sinC+ cos(A-C)= （1）、求A，B，C大??； 例5：

5、已知三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，三邊a、b、c成等比數(shù)列，證明為正三角形。 探究三：判斷三角形的形狀 例5：在中，已知asinA=bsinB，試判斷三角形的形狀； 例6：在中，已知acosA=bcosB，試判斷三角形的形狀； 例7：在中，已知acosB=bcosA，試判斷三角形的形狀； 探究四：正余定理的實(shí)際應(yīng)用 (2020上海)（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分. 如圖，某公司要在兩地連線上的定點(diǎn)處建造廣告牌，其中為頂端，長35米，長80米，設(shè)在同一水平面上，從和看的仰角分別為. （1） 設(shè)計(jì)中

6、是鉛垂方向，若要求，問的長至多為多少（結(jié)果精確到0.01米）？ （2） 施工完成后.與鉛垂方向有偏差，現(xiàn)在實(shí)測得求的長（結(jié)果精確到0.01米）？ 三、方法提升： （1）、解斜三角形的常規(guī)思維方法： 已知兩角和一邊，可先用正弦定理解； 已知兩邊和夾角，先用余弦定理，之后再用正弦定理； 已知兩邊及一邊所對(duì)的角，應(yīng)用正弦定理，再由正弦定理或余弦定理求解，這種情況要結(jié)合圖形討論解的情況； 已知三邊，用余弦定理。 （2）、三角形的內(nèi)切圓半徑R= ，特別地，= （3）、三角形中中射影定理 （4）、兩內(nèi)角與正弦關(guān)系：在中，A

7、tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC(斜三角形) （6）、銳角三角形中，sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC; tanAtanBtanC>1 四、反思感悟

8、 五、課時(shí)作業(yè) 正弦、余弦定理的應(yīng)用 一、選擇題（每小題6分，共60分） 1在△ABC中，“”是“”的 （ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 2△ABC中，∠A，∠B的對(duì)邊分別為a,b，且∠A=60°，，那么滿足條件的△ABC（ ） A．有一個(gè)解 B

9、．有兩個(gè)解 C．無解 D．不能確定 3在三角形中, 如果, 那么這個(gè)三角形是 （ ） A．直角三角形 B． 銳角三角形 C．鈍角三角形 D． 直角三角形或鈍角三角形 4已知中，，，，那么角等于 （ ） A． B． C． D． 5的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且，則 A． B． C． D． 6在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，A=,a=,b=1，則c

10、= ( ) A 1 B 2 C —1 D 7在中，AB=3，AC=2，BC=，則 ( ) A． B． C． D． 8在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a2+c2-b2ac,則角B的值為 （ ） A. B. C.或 D.或 9設(shè)A是△ABC中的最小角，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ） A．a(chǎn)≥3 B．a(chǎn)＞－1 C．－1＜a≤3 D．a(chǎn)＞

11、0 10在△ABC中，若三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列且A