人教版八年級(jí)數(shù)學(xué) 第14章 圖說(shuō)平方差公式

圖說(shuō)平方差公式山東沂源縣徐家莊中心學(xué)校 256116 左效平 劉婷婷 平方差公式是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要公式，正確理解公式的意義是靈活應(yīng)用公式的基礎(chǔ)，為此我們利用幾何圖形，借助圖形面積的相等來(lái)幫助同學(xué)們加深對(duì)公式的理解. 一、圖說(shuō)公式 1、把陰影圖形拼接成長(zhǎng)方形解釋公式 例1 如圖1，邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形. 1.請(qǐng)用a,b表示出圖1中陰影部分的面積.2、小穎將圖1中陰影部分的圖形適當(dāng)剪隔拼成如圖2所示的長(zhǎng)方形，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為 ，寬為 ，面積為 .3、比較（1）,(2)中的結(jié)果，你能驗(yàn)證哪一個(gè)重要的數(shù)學(xué)公式？寫下來(lái). 分析：圖1中陰影部分的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積即-；圖2中陰影部分構(gòu)成了一個(gè)長(zhǎng)方形，且長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是(a+b)，寬為（a-b）,這樣長(zhǎng)方形的面積等于（a+b）(a-b)，利用變化前后陰影部分的面積是相等的，就可以得到：-=（a+b）(a-b)，這就是我們熟悉的平方差公式. 解：1.用a,b表示出圖1中陰影部分的面積為：-.2、這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為(a+b)，寬為（a-b），面積為（a+b）(a-b)；3、比較（1）,(2)中的結(jié)果，能驗(yàn)證平方差公式：-=（a+b）(a-b). 點(diǎn)評(píng)：準(zhǔn)確判斷圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，利用圖形的面積公式表示圖形的差或和是解題的關(guān)鍵，其次，圖形變化前后陰影面積相同是建立起等式的關(guān)鍵.2、把陰影圖形拼接成等腰梯形解釋公式 例2 如圖3，邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形. 1.請(qǐng)用a,b表示出圖3中陰影部分的面積.2、小穎將圖3中陰影部分的圖形適當(dāng)剪隔拼成如圖4所示的梯形，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)梯形的上底為 ，下底為 ，高為 ，面積為 .3、比較（3）,(4)中的結(jié)果，你能驗(yàn)證哪一個(gè)重要的數(shù)學(xué)公式？寫下來(lái). 分析：圖3中陰影部分的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積即-；圖4中陰影部分構(gòu)成了一個(gè)等腰梯形，且梯形的上底長(zhǎng)是(b+b)，下底的長(zhǎng)為（a+a）,梯形的高是（a-b）,這樣梯形的面積等于=（a+b）(a-b)，利用變化前后陰影部分的面積是相等的，就可以得到：-=（a+b）(a-b)，這也是我們熟悉的平方差公式. 解：1.用a,b表示出圖1中陰影部分的面積為：-.2、梯形的上底長(zhǎng)是(b+b)，下底的長(zhǎng)為（a+a）,梯形的高是（a-b）,梯形的面積為：=（a+b）(a-b)；3、比較（1）,(2)中的結(jié)果，能驗(yàn)證平方差公式：-=（a+b）(a-b). 點(diǎn)評(píng)：準(zhǔn)確確定出等腰梯形的上底長(zhǎng)，下底長(zhǎng)，高是解題的關(guān)鍵.3、把陰影圖形剪下拼成新的圖形解釋公式 例3 將圖5中陰影部分的小長(zhǎng)方形變換到圖6中所示的位置，你能根據(jù)兩個(gè)圖形的面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是 .分析：圖5中陰影部分和空白部分構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)是(a+b)，寬為（a-b）的長(zhǎng)方形，且長(zhǎng)方形的面積等于（a+b）(a-b)；仔細(xì)觀察圖6，補(bǔ)形完整后，不難發(fā)現(xiàn)，整個(gè)圖5中的面積與虛線框內(nèi)的小正方形構(gòu)成了一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，虛線框內(nèi)的四邊形也是一個(gè)小的正方形，大正方形的面積減去小正方形的面積即-恰好是圖5中面積，利用變化前后陰影部分的面積是相等的，就可以得到：（a+b）(a-b)=-，這也是我們熟悉的平方差公式. 解：根據(jù)兩個(gè)圖形的面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是：（a+b）(a-b)=-.二、圖說(shuō)公式的應(yīng)用例4如圖7邊長(zhǎng)為（a+3）的正方形紙片剪出一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形后，剩余部分可剪拼成一個(gè)矩形（不重疊無(wú)縫隙），若拼成長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)為3，則另一邊長(zhǎng)為 （ ）A. 2a+3 B. 2a+6 C. a+3 D. a+6 分析：變形前圖形的面積為，這個(gè)面積就是后來(lái)拼成的長(zhǎng)方形的面積，且長(zhǎng)方形的寬為3，所以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為(2a+3). 解：選A. 點(diǎn)評(píng)：逆用公式（a+b）(a-b)=-，求得圖形的面積，根據(jù)變化前后圖形的面積相等即可得到答案.例5 （2014山東棗莊）如圖8，在邊長(zhǎng)為2a的正方形中央剪去一邊長(zhǎng)為（a+2）的小正方形（a2），將剩余部分剪開密鋪成一個(gè)平行四邊形，則該平行四邊形的面積為（ ）A. +4 B. 2+4a C. 3-4a-4 D. 4-a-2 分析：根據(jù)拼成的平行四邊形的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，列式整理即可得解解：，所以選：C點(diǎn)評(píng)：根據(jù)拼接前后的圖形的面積相等列式是解題的關(guān)鍵