高中數(shù)學(xué) 第2章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì) 2.3.4 平面與平面垂直的性質(zhì)教材梳理素材 新人教A版必修2(通用)
2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì) 2.3.4 平面與平面垂直的性質(zhì)皰丁巧解牛知識·巧學(xué)一、直線與平面垂直的性質(zhì):垂直于同一平面的兩條直線平行. 符號語言:a,b ab. 直線與平面垂直的性質(zhì)可以作為線線平行的判定定理.同時有如果一條直線和一個平面平行,那么這條直線上各點到平面的距離相等.二、面面垂直的性質(zhì):兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直. 符號語言:,=l,a,ala. 只要有兩個平面垂直,那么向交線作垂線便得線面垂直,進一步更有線與線的垂直.平面與平面垂直的判定與性質(zhì)相互結(jié)合,為證明線線垂直、線面垂直提供了更多的技巧. 簡言之:面面垂直,則線面垂直.三、線線、線面、面面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化: 運用兩個平面垂直的性質(zhì)定理時,一般需作輔助線,基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線,這樣把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直或線線垂直. 平面與平面的垂直,一般將直線與直線垂直、直線與平面垂直三者結(jié)合在一起.問題·探究問題1 在一個工件上同時鉆很多孔時,常用多頭鉆,多頭鉆桿都是互相平行的.在工作時,只要調(diào)整工件表面和一個鉆桿垂直,工件表面就和其他鉆桿都垂直,為什么?探究:根據(jù)兩平行線中有一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于此平面,可推出若干平行桿都和工件表面垂直.問題2 應(yīng)用兩平面垂直的性質(zhì)證題時,有哪些需要注意的地方?探究:需要注意的地方有三個:(1)兩個垂直的平面;(2)兩垂直平面的交線;(3)在其中一個平面內(nèi)作垂直于交線的直線.典題·熱題例1 如圖2-3-12,在ABC中,BAC=60°,線段AD平面ABC,AH平面DBC,H為垂足.圖2-3-12求證:H不可能是BCD的垂心.思路解析:證明“不可能”無法下手,從反面“可能”考慮,用反證法. 證明:假設(shè)H是BCD的垂心,則BHCD.AH平面DBC,DC平面DBC,AHDC.AHBH=H,CD平面ABH. 又AB平面ABH,ABCD.AD平面ABC,AB平面ABC,ADAB. 由于ADCD=D,AB平面ACD.AC平面ACD,ABAC. 這與已知中BAC=60°相矛盾.假設(shè)不成立.故H不可能是BCD的垂心.誤區(qū)警示 證明“不可能”“至多”“至少”“沒有”“不等”等類型的問題,直接證明不好入手,通常采用反證法.要掌握反證法證題的基本步驟.例2 如圖2-3-13,在四面體ABCD中,若ABCD,ADBC,求證:ACBD.圖2-3-13思路解析:要證線線垂直,可先證線面垂直,進而由線面垂直的定義(或性質(zhì))得出線線垂直. 證明:過A作AO平面BCD,垂足為O, 則AOCD.ABCD,AOAB=A,CD平面ABO.BO平面ABO,CDBO. 同理,BCDO. 則O為BCD的垂心,COBD.AOBD,COAO=O,BD平面ACO. 又AC平面ACO,ACBD.深化升華 從本例可以進一步體會線面位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化在解(證)題中的作用.例3 如圖2-3-14,空間四邊形PABC中,PA、PB、PC兩兩相互垂直,PBA=45°,PBC=60°,M為AB的中點.(1)求BC與平面PAB所成的角;(2)求證:AB平面PMC.圖2-3-14思路解析:此題數(shù)據(jù)特殊,先考慮數(shù)據(jù)關(guān)系及計算、發(fā)現(xiàn)解題思路. 證明:PAPB,APB=90°. 在RtAPB中,ABP=45°,設(shè)PA=a, 則PB=a,AB=.PBPC,在RtPBC中,PBC=60°,PB=a,BC=2a,PC=.APPC,在RtAPC中,AC=2a.(1)PCPA,PCPB,PC平面PAB.BC在平面PAB上的射影是BP,CBP是CB與平面PAB所成的角.PBC=60°,BC與平面PBA所成的角為60°.(2)由上知,PA=PB=a,AC=BC=2a,M為AB的中點,則ABPM,ABCM.AB平面PCM.深化升華 本題關(guān)鍵要清楚線面的垂直關(guān)系,線面角的定義,通過數(shù)據(jù)特點,發(fā)現(xiàn)解題捷徑.例4 如圖2-3-15,已知平面PAB平面ABC,平面PAC平面ABC,AE平面PBC,E為垂足.(1)求證:PA平面ABC;(2)當(dāng)E為PBC的垂心時,求證:ABC是直角三角形.圖2-3-15思路解析:已知條件“平面PAB平面ABC,”,使我們想到面面垂直的性質(zhì)定理,便有如下解法. 證明:(1)在平面ABC內(nèi)取一點D,作DFAC于F. 平面PAC平面ABC,且交線為AC,DF平面PAC.PA平面PAC,DFAP. 作DGAB于G.同理,可證DGAP.DG、DF都在平面ABC內(nèi),PA平面ABC.(2)連結(jié)BE并延長交PC于H.E是PBC的垂心,PCBE. 又已知AE是平面PBC的垂線,PCAB.PC面ABE.PCAB. 又PA平面ABC,PAAB.AB平面PAC.ABAC, 即ABC是直角三角形.方法歸納 (1)已知兩個平面垂直時,通常利用面面垂直的性質(zhì)定理,過其中一個平面內(nèi)的一點作交線的垂線,則此直線垂直于另一個平面.于是面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直.由此得到結(jié)論:兩個相交平面同時垂直于第三個平面,則它們的交線也垂直于第三個平面.(2)的關(guān)鍵是要靈活利用(1)題的結(jié)論.例5 已知平面平面=直線a,、同垂直于平面,又同平行于直線b,如圖2-3-16,求證:(1)a;(2)b.思路解析:由求證想判定,欲證線面垂直可轉(zhuǎn)證線線垂直或面面垂直.由已知想性質(zhì),面面垂直必能得到線面垂直. 證明:(1)設(shè)=AB,=AC,在內(nèi)作直線PMAB,PNAC.圖2-3-16,PM. 而a,PMa. 同理,PNa.又PM,PN,a.(2)在直線a上任取一點Q,過b與Q作一個平面交于直線a1,交于直線a2.b,ba1. 同理,ba2.又a1、a2都過點Q且平行于b,a1與a2重合.又a1,a2,a1與a2重合且是、的交線,重合于a.ba1,ba.a,b.深化升華 證明線面垂直不僅可利用線面垂直的判定定理,也可利用面面垂直的性質(zhì)定理.例6 等邊ABC的邊長為a,沿平行于BC的線段PQ折起,使平面APQ平面PBCQ,設(shè)點A到直線PQ的距離為x,AB的距離為d.(1)x為何值時,d2取得最小值?最小值是多少?(2)若BAC=,求cos的最小值.思路解析:要注意作出正確的圖形,構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.解:(1)圖2-3-17(1)為折疊前的對照圖,圖2-3-17(2)為折疊后的空間圖形. (1) (2)圖2-3-17平面APQ平面PBCQ,ARPQ,AR平面PBCQ.ARRB.BR2=BD2+RD2=()2+()2,AR2=x2. 故d2=BR2+AR2=().當(dāng)x=時.d2取得最小值.(2)AB=AC=d,BC=a,在等腰ABC中,由余弦定理得cos=, 即cos=.當(dāng)d2=時,cos取得最小值.方法歸納 (1)一般地,求最值問題首先要得到目標(biāo)函數(shù)(求誰的最值,即推誰為目標(biāo)函數(shù),如本題中的d2和cos),然后再借助于函數(shù)求最值的方法(如配方法、平均值法、判別式法、三角法、反函數(shù)法及構(gòu)造法等).(2)求角度問題、求距離問題是立體幾何中的兩大類計算題,它從數(shù)量關(guān)系上刻畫空間圖形位置關(guān)系.立體幾何中涉及到的距離有七種:兩點間的距離、點到直線的距離、點到平面的距離、平面內(nèi)兩平行線間的距離、兩條異面直線間的距離(不作研究,了解即可)、與平面平行的直線到平面的距離、兩平行平面間的距離.