高中數(shù)學(xué) 第一章 集合 第3節(jié) 集合的基本運算（第1課時）基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1（通用）

3.1 交集與并集1理解兩個集合的交集和并集的含義，會求兩個簡單集合的交集與并集2掌握有關(guān)術(shù)語和符號和，能用Venn圖表達(dá)集合之間的關(guān)系和運算1交集(1)定義：一般地，由既屬于集合A又屬于集合B的_組成的集合，叫作A與B的交集，也就是由集合A與B的“公共”元素組成的集合 當(dāng)集合A和集合B無公共元素時，說集合A，B的交集為空集(2)符號表示：A與B的交集記作AB，即AB_.(3)圖示：用Venn圖表示AB，如圖所示 ABBA，AAA，A，(AB) A，(AB) B，ABABA.【做一做1】 設(shè)集合A1,3,5,8，B5,6,8，則AB等于( )A5 B5,8 C8 D1,3,5,6,82并集(1)定義：一般地，由屬于集合A_屬于集合B的所有元素組成的集合，叫作A與B的并集，也就是由集合A與B的“全部”元素組成的集合 當(dāng)元素a是集合A，B的公共元素時，由集合元素的互異性知，集合A與B的并集中僅有一個元素a，不能有兩個相同的元素a. (2)符號表示：A與B的并集記作AB，即AB_. “xA或xB”包含三種情況：xA，但xB；xB，但xA；xA，且xB.(3)圖示：用Venn圖表示AB，如圖所示ABBA，AAA，AA，A (AB)，B (AB)，ABABB.【做一做2】 已知集合Ax|x0，Bx|1x2，則AB等于( )Ax|x1 Bx|x2Cx|0x2 Dx|1x2答案：1(1)所有元素(2)x|xA，且xB【做一做1】 B依據(jù)交集的定義，用Venn圖表示或觀察A，B中的元素，如圖所示，可得AB5,82(1)或(2)x|xA，或xB【做一做2】 A用數(shù)軸表示集合A和B，如圖所示，則陰影部分就是AB，所以ABx|x11對于AB，存在哪幾種可能的情況？剖析：存在三種情況：(1)集合A，B均為空集；(2)集合A，B中有一個是空集；(3)集合A，B均為非空集，但無相同元素2為什么集合x|xA，或xB與集合x|xA，且xB不一定相等？剖析：在數(shù)學(xué)中，“或”表示至少有一個成立，而“且”表示都成立“xA，或xB”表示元素x可能在集合A中，也可能在集合B中，也可能同時在集合A和B中，因此集合x|xA，或xB是集合A和B的并集而“xA，且xB”僅表示元素x同時在集合A和B中，即是集合A和B的公共元素，因此集合x|xA，且xB表示集合A和B的交集所以這兩個集合不一定相等，并且有x|xA，且xBx|xA，或xB例如，集合A1,2,3，集合B3,4，則集合x|xA，或xB1,2,3,4AB，而集合x|xA，且xB3AB.很明顯此時x|xA，或xBx|xA，且xB，且x|xA，且xBx|xA，或xB題型一 集合的基本運算【例1】 已知集合Ax|4x2，Bx|1x3，求AB，AB.分析：已知集合A，B都是無限集合，要求AB，AB，可借助數(shù)軸直觀求解反思：利用數(shù)形結(jié)合的思想，將滿足條件的集合在數(shù)軸上一一表示出來，從而求出集合的交集、并集，是必須掌握且要熟練運用的方法題型二 交集與并集的綜合應(yīng)用【例2】 設(shè)集合A|a1|,3,5，集合B2a1，a22a，a22a1，當(dāng)AB2,3時，求AB.分析：欲求AB，關(guān)鍵在于求出a，由條件AB2,3，根據(jù)交集的定義，可得|a1|2，從而求出A，B.反思：本例中，抓住AB2,3，聯(lián)想交集性質(zhì)ABA，從而得到2和3均在A中，推知|a1|2.由此可知捕捉解題的“題眼”，找到解題切入點，是順利解題的關(guān)鍵，若已知中含有未知字母(或參數(shù))，在解出未知字母(或參數(shù))后，應(yīng)代入原集合進行檢驗，最后再進行并、交運算題型三 由集合間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍【例3】 設(shè)集合Ax|x2x20，Bx|x2xa0，若ABA，求實數(shù)a的取值范圍分析：集合A，B均是關(guān)于x的一元二次方程的解集，由ABA可得BA，通過討論集合B是否為空集來求得a的取值范圍反思：通過深刻理解集合表示法的轉(zhuǎn)換及集合之間的關(guān)系，把求參數(shù)取值范圍問題轉(zhuǎn)化為不等式、方程等常見的數(shù)學(xué)問題，這稱為數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與化歸思想，也是常用的數(shù)學(xué)方法解本題時，特別容易出現(xiàn)的錯誤是遺漏了B的情形，其原因是對BA的理解不夠充分對于BA，當(dāng)A時，則有B或B.避免出錯的方法是培養(yǎng)分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和注意經(jīng)驗的積累答案：【例1】 解：分別在數(shù)軸上表示集合A和B，根據(jù)AB，AB的定義，由圖知，ABx|1x2，ABx|4x3【例2】 解：2A，|a1|2.a1或a3.當(dāng)a1時，集合B的元素a22a3,2a13.由集合元素的互異性知a1.當(dāng)a3時，2a15，a22a3，a22a12，即集合B5,3,2AB5,2,3,5【例3】 解：Ax|x2x201,2，B是關(guān)于x的方程x2xa0的解集ABA，BA.A1,2，B或B.當(dāng)B時，即關(guān)于x的方程x2xa0無實數(shù)解，則有14a0，即此時有a.當(dāng)B時，即關(guān)于x的方程x2xa0有實數(shù)解若B中僅有一個元素，則0，即a，此時B.A，B不是A的子集，即a不合題意若B中含有兩個元素，則必有B1,2，則1和2是關(guān)于x的方程x2xa0的解，即11，此時不合題意綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是.1 (2020廣東高考，文1)若集合A0,1,2,3，B1,2,4，則集合AB( )A0,1,2,3,4 B1,2,3,4C1,2 D02 若集合Px|x21，Mx|x22x30，則PM等于( )A3 B1 C1 D3 已知集合Ax|xa，Bx|x1，或x2，且ABR，則實數(shù)a的取值范圍是( )Aa1 Ba1 Ca2 Da24 若集合Ax|x2，Bx|xa滿足AB2，則實數(shù)a_.5 (2020福州三中期中，17)已知集合A2，a1，Ba27，1，且AB2，求實數(shù)a的值答案：1A因為A0,1,2,3，B1,2,4，所以AB0,1,2,3,42CPx|x211,1，Mx|x22x301,3所以PM1，故選C.3C如圖所示，要使ABR，則a位于2的右邊或與2重合，即a2.42ABx|ax22，a2.5解：AB2，2A且2B.a272.a3或a3.當(dāng)a3時，集合A中的元素a12，不符合集合中元素的互異性，a3舍去當(dāng)a3時，A2，4，B2，1，符合已知AB2綜上所述，a3.