高中數(shù)學(xué) 第一章 集合 第2節(jié) 集合的基本關(guān)系基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1（通用）

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1、§2 集合的基本關(guān)系 1．理解子集的概念，并能寫出給定集合的子集、真子集． 2．熟記集合相等的定義，能判定給定集合間的關(guān)系． 3．會(huì)用Venn圖表示或判斷集合間的關(guān)系． 1．Venn圖 (1)定義：在數(shù)學(xué)中，為了直觀地表示集合間的關(guān)系，我們常用封閉曲線的____表示集合，稱為Venn圖． (2)使用方法：把____寫在封閉曲線的內(nèi)部． 常把封閉曲線畫成橢圓或矩形等圖形． 2．子集 (1)一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的____，即若a∈A，則a∈B，我們就說集合A______集合B，或集合B包含集合A，這時(shí)我們說集合A是

2、集合B的子集，記作A____B(或BA)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)． (2)當(dāng)AB時(shí)，用Venn圖表示，如圖①，圖②所示． (3)規(guī)定：空集是任何集合的____，即A. 子集性質(zhì)：任何一個(gè)集合都是它本身的子集，即AA；對(duì)于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC. 【做一做1】列舉出集合{1,2,3}的所有子集． 3．集合相等 (1)定義1：只要構(gòu)成兩個(gè)集合的__________是一樣的，即這兩個(gè)集合中的元素完全相同，就稱這兩個(gè)集合相等. (2)定義2：如果集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，即___________，且集合B中的任何一

3、個(gè)元素都是集合A中的元素，即___________，那么就說集合A與集合B相等，記作A＝B. (3)圖示：當(dāng)A＝B時(shí)，用Venn圖表示，如圖所示． 【做一做2】 試確定整數(shù)x，y，使得{2x，x＋y}＝{7,4}． 4．真子集 (1)定義：如果集合AB，且________，我們就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)． (2)圖示：當(dāng)AB時(shí)，用Venn圖表示，如圖所示． (3)當(dāng)集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A時(shí)，記作AB(或BA)． 空集是任何非空集合的真子集，即A(A≠)． 當(dāng)AB時(shí)，AB或A＝B. 【做一做3】 下列說法正確的

4、是( )． A．任何一個(gè)集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的子集 B．任何一個(gè)集合必有一個(gè)真子集 C．任何集合都有子集 D．空集不是空集的子集 答案：1．(1)內(nèi)部　(2)元素 2．(1)元素　包含于　　(3)子集 【做一做1】 解：集合{1,2,3}的所有子集為，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共8個(gè)． 3．(1)元素　(2)AB　BA 【做一做2】 解：由集合相等的定義，得或 解得或又x，y是整數(shù)，故 4．(1)A≠B　 【做一做3】 C　此題主要考查對(duì)子集、真子集概念的理解以及空集的有關(guān)問題，注意以下幾個(gè)結(jié)論：①任何非空集

5、合既有子集又有真子集，而空集只有子集(空集本身)，沒有真子集．②空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．故A，B，D是錯(cuò)誤的，應(yīng)選C. 1．如何理解子集的概念？ 剖析：(1)“A是B的子集”的含義是：集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“AB”理解成“A是B中部分元素組成的集合”，因?yàn)楫?dāng)A＝時(shí)，AB，但A中不含任何元素；又當(dāng)A＝B時(shí)，也有AB，但A中含有B中的所有元素，這兩種情況都使AB成立． 2．符號(hào)∈和有什么區(qū)別？ 剖析：符號(hào)∈只能適用于元素與集合之間，符號(hào)∈的左邊只能寫元素，右邊只能寫集合，說明左邊的元素屬于右邊的集合，

6、表示元素與集合之間的關(guān)系，如－1∈Z，∈R；符號(hào)只能適用于集合與集合之間，其左右兩邊都必須寫集合，說明左邊的集合是右邊集合的子集，左邊集合的元素均屬于右邊的集合，如{1}{1,0}，{x|x＜2}{x|x＜3}． 題型一 確定集合的子集、真子集 【例1】 設(shè)A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，寫出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 分析：要確定集合A的子集、真子集，首先必須清楚集合A中的元素．由于集合A中的元素是方程(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0的根，所以要先解該方程． 反思：(1)求集合的子集問題時(shí)，一般可以按照集合的元素個(gè)數(shù)進(jìn)行分類，再依次找出每類中

7、符合要求的集合． (2)解決這類問題時(shí)，還要注意兩個(gè)比較特殊的集合，即和集合自身． (3)集合的子集、真子集個(gè)數(shù)的規(guī)律為：含有n個(gè)元素的集合有2n個(gè)子集，有(2n－1)個(gè)真子集，有(2n－2)個(gè)非空真子集． 題型二 集合的相等 【例2】 已知集合A＝，B＝{－x2,0}，若A＝B，則x2 009＋y2 010＝__________，A＝B＝__________. 反思：解決此類問題的步驟：(1)利用集合相等的條件，建立方程或方程組，求得參數(shù)．(2)把所得數(shù)值依次代入集合驗(yàn)證，若滿足元素的三個(gè)特性，則所求是可行的，否則應(yīng)舍去． 題型三 判斷集合間的關(guān)系 【例3】 設(shè)集合M＝，N＝，

8、則( )． A．M＝N B．MN C．MN D．M∩N＝ 反思：判斷兩個(gè)集合間的關(guān)系時(shí)，主要是根據(jù)這兩個(gè)集合中元素的特征，結(jié)合有關(guān)定義來判斷．對(duì)于用列舉法表示的集合，只需要觀察其元素即可得它們之間的關(guān)系；對(duì)于用描述法表示的集合，要從所含元素的特征來分析，分析之前可以用列舉法多取幾個(gè)元素來估計(jì)它們之間可能有什么關(guān)系，然后再加以證明． 題型四 已知兩集合之間的關(guān)系，求參數(shù)的范圍 【例4】 設(shè)集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知BA.求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 分析：由BA可得集合B＝或B中的任何一個(gè)元素

9、都在集合A中，可借助數(shù)軸解決． 反思：已知兩集合之間的關(guān)系求參數(shù)的值時(shí)，要明確集合中的元素，通常依據(jù)相關(guān)的定義，觀察這兩個(gè)集合元素的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式． 本題中，集合B可能為易被忽視，要注意這一“陷阱”，BA表明集合B的元素都是集合A的元素，其中包含B＝. 題型五 易錯(cuò)辨析 易錯(cuò)點(diǎn) 忽略空集致錯(cuò) 【例5】 已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|mx－1＝0}，若QP，則實(shí)數(shù)m＝__________. 錯(cuò)解：由P＝{x|x2＋x－6＝0}，得P＝{－3,2}； 由Q＝{x|mx－1＝0}，得Q＝.∵QP， ∴＝－3或＝2，解得m＝－或m＝. 則實(shí)數(shù)m的值可取

10、－或. 錯(cuò)因分析：當(dāng)集合Q＝，即m＝0時(shí)，顯然也滿足QP，錯(cuò)解中少了對(duì)這種情況的討論． 答案：【例1】 解：將方程(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0因式分解得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，則可得方程的根為x＝－4或x＝－1或x＝4.故集合A＝{－4，－1,4}，其子集為，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4,1,4}，真子集為，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}． 【例2】 －1　{－1,0}　根據(jù)集合相等的定義知x＝0或＝0. 當(dāng)x＝0時(shí)，無意義，所以只能＝0，得y＝0，代入A，B得A＝{x,

11、0}，B＝{－x2,0}． 又∵A＝B，∴－x2＝x.∴x＝0或x＝－1. 當(dāng)x＝0時(shí)，不合題意，舍去． 當(dāng)x＝－1時(shí)，A＝{－1,0}，B＝{－1,0}． ∴A＝B，符合題意． ∴x2 009＋y2 010＝(－1)2 009＋02 010＝－1. 【例3】 B　M中，x＝＋＝，N中，x＝，由于k∈Z， ∴M中的x表示的奇數(shù)倍，N中的x表示的整數(shù)倍． ∴MN. 【例4】 解：當(dāng)m－1＞2m＋1，即m＜－2時(shí)，B＝，符合題意． 當(dāng)m－1≤2m＋1，即m≥－2時(shí)，B≠. 由BA，借助數(shù)軸表示如圖所示． 則解得0≤m≤. 綜上所述，m＜－2或0≤m≤. 【例5】 正

12、解：由P＝{x|x2＋x－6＝0}，得P＝{－3,2}． 當(dāng)m＝0時(shí)，方程mx－1＝0無解，此時(shí)集合Q＝，滿足題意； 當(dāng)m≠0時(shí)，方程mx－1＝0的解為x＝，此時(shí)集合Q＝. ∵QP，∴＝－3或＝2，解得m＝－或m＝. 綜上所述，實(shí)數(shù)m的值為0或－或. 1 下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)為( )． ①0∈{0}；②{0}；③{0,1}{(0,1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)} A．1 B．2 C．3 D．4 2 集合A＝{x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的個(gè)數(shù)是( )． A．16

13、 B．8 C．7 D．4 3 已知集合A＝{x∈R|－2＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}，則A與B之間的關(guān)系為( )． A．AB B．AB C．A＝B D．不確定 4 已知集合M＝{－8,1,9}，集合N＝{1，m－1}，若NM，則實(shí)數(shù)m＝__________. 5 已知M＝{0,2，b}，N＝{0,2，b2}，且M＝N，求實(shí)數(shù)b的值． 答案：1．B　①②正確，③④錯(cuò)誤． 2．C　由題意知，A＝{0,1,2}，故A的真子集的個(gè)數(shù)是23－1＝7. 3．A　為便于考察A，B中元素的范圍，利用數(shù)軸把A，B表示出來，如圖所示． ∵x－5＜0，∴x＜5.因此B中元素不能都屬于A，但A中元素都小于5(即都在B中)，由真子集的定義知A是B的真子集． 4．－7或10　∵m－1∈N，NM，∴m－1∈M. ∴m－1＝－8或m－1＝9.∴m＝－7或10. 5．分析：由b＝b2解得b，要注意滿足集合元素的互異性． 解：∵M(jìn)＝N，∴b＝b2. 解得b＝1或b＝0(舍去)．∴b＝1.