高中數(shù)學(xué) 第一章 集合 第2節(jié) 集合的基本關(guān)系基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1（通用）

§2 集合的基本關(guān)系1理解子集的概念，并能寫出給定集合的子集、真子集2熟記集合相等的定義，能判定給定集合間的關(guān)系3會(huì)用Venn圖表示或判斷集合間的關(guān)系1Venn圖(1)定義：在數(shù)學(xué)中，為了直觀地表示集合間的關(guān)系，我們常用封閉曲線的_表示集合，稱為Venn圖(2)使用方法：把_寫在封閉曲線的內(nèi)部 常把封閉曲線畫成橢圓或矩形等圖形2子集(1)一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的_，即若aA，則aB，我們就說集合A_集合B，或集合B包含集合A，這時(shí)我們說集合A是集合B的子集，記作A_B(或BA)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)(2)當(dāng)AB時(shí)，用Venn圖表示，如圖，圖所示(3)規(guī)定：空集是任何集合的_，即A. 子集性質(zhì)：任何一個(gè)集合都是它本身的子集，即AA；對(duì)于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC.【做一做1】列舉出集合1,2,3的所有子集3集合相等(1)定義1：只要構(gòu)成兩個(gè)集合的_是一樣的，即這兩個(gè)集合中的元素完全相同，就稱這兩個(gè)集合相等. (2)定義2：如果集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，即_，且集合B中的任何一個(gè)元素都是集合A中的元素，即_，那么就說集合A與集合B相等，記作AB.(3)圖示：當(dāng)AB時(shí)，用Venn圖表示，如圖所示【做一做2】 試確定整數(shù)x，y，使得2x，xy7,44真子集(1)定義：如果集合AB，且_，我們就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)(2)圖示：當(dāng)AB時(shí)，用Venn圖表示，如圖所示(3)當(dāng)集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A時(shí)，記作AB(或BA) 空集是任何非空集合的真子集，即A(A)當(dāng)AB時(shí)，AB或AB.【做一做3】 下列說法正確的是( )A任何一個(gè)集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的子集B任何一個(gè)集合必有一個(gè)真子集C任何集合都有子集D空集不是空集的子集答案：1(1)內(nèi)部(2)元素2(1)元素包含于(3)子集【做一做1】 解：集合1,2,3的所有子集為，1，2，3，1,2，1,3，2,3，1,2,3，共8個(gè)3(1)元素(2)ABBA【做一做2】 解：由集合相等的定義，得或解得或又x，y是整數(shù)，故4(1)AB【做一做3】 C此題主要考查對(duì)子集、真子集概念的理解以及空集的有關(guān)問題，注意以下幾個(gè)結(jié)論：任何非空集合既有子集又有真子集，而空集只有子集(空集本身)，沒有真子集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集故A，B，D是錯(cuò)誤的，應(yīng)選C.1如何理解子集的概念？剖析：(1)“A是B的子集”的含義是：集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，即由任意xA能推出xB.(2)不能把“AB”理解成“A是B中部分元素組成的集合”，因?yàn)楫?dāng)A時(shí)，AB，但A中不含任何元素；又當(dāng)AB時(shí)，也有AB，但A中含有B中的所有元素，這兩種情況都使AB成立2符號(hào)和有什么區(qū)別？剖析：符號(hào)只能適用于元素與集合之間，符號(hào)的左邊只能寫元素，右邊只能寫集合，說明左邊的元素屬于右邊的集合，表示元素與集合之間的關(guān)系，如1Z，R；符號(hào)只能適用于集合與集合之間，其左右兩邊都必須寫集合，說明左邊的集合是右邊集合的子集，左邊集合的元素均屬于右邊的集合，如11,0，x|x2x|x3題型一 確定集合的子集、真子集【例1】 設(shè)Ax|(x216)(x25x4)0，寫出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集分析：要確定集合A的子集、真子集，首先必須清楚集合A中的元素由于集合A中的元素是方程(x216)(x25x4)0的根，所以要先解該方程反思：(1)求集合的子集問題時(shí)，一般可以按照集合的元素個(gè)數(shù)進(jìn)行分類，再依次找出每類中符合要求的集合(2)解決這類問題時(shí)，還要注意兩個(gè)比較特殊的集合，即和集合自身(3)集合的子集、真子集個(gè)數(shù)的規(guī)律為：含有n個(gè)元素的集合有2n個(gè)子集，有(2n1)個(gè)真子集，有(2n2)個(gè)非空真子集題型二 集合的相等【例2】 已知集合A，Bx2,0，若AB，則x2 009y2 010_，AB_.反思：解決此類問題的步驟：(1)利用集合相等的條件，建立方程或方程組，求得參數(shù)(2)把所得數(shù)值依次代入集合驗(yàn)證，若滿足元素的三個(gè)特性，則所求是可行的，否則應(yīng)舍去題型三 判斷集合間的關(guān)系【例3】 設(shè)集合M，N，則( )AMN BMN CMN DMN反思：判斷兩個(gè)集合間的關(guān)系時(shí)，主要是根據(jù)這兩個(gè)集合中元素的特征，結(jié)合有關(guān)定義來判斷對(duì)于用列舉法表示的集合，只需要觀察其元素即可得它們之間的關(guān)系；對(duì)于用描述法表示的集合，要從所含元素的特征來分析，分析之前可以用列舉法多取幾個(gè)元素來估計(jì)它們之間可能有什么關(guān)系，然后再加以證明題型四 已知兩集合之間的關(guān)系，求參數(shù)的范圍【例4】 設(shè)集合Ax|1x6，Bx|m1x2m1，已知BA.求實(shí)數(shù)m的取值范圍分析：由BA可得集合B或B中的任何一個(gè)元素都在集合A中，可借助數(shù)軸解決反思：已知兩集合之間的關(guān)系求參數(shù)的值時(shí)，要明確集合中的元素，通常依據(jù)相關(guān)的定義，觀察這兩個(gè)集合元素的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式本題中，集合B可能為易被忽視，要注意這一“陷阱”，BA表明集合B的元素都是集合A的元素，其中包含B.題型五 易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn) 忽略空集致錯(cuò)【例5】 已知集合Px|x2x60，Qx|mx10，若QP，則實(shí)數(shù)m_.錯(cuò)解：由Px|x2x60，得P3,2；由Qx|mx10，得Q.QP，3或2，解得m或m.則實(shí)數(shù)m的值可取或.錯(cuò)因分析：當(dāng)集合Q，即m0時(shí)，顯然也滿足QP，錯(cuò)解中少了對(duì)這種情況的討論答案：【例1】 解：將方程(x216)(x25x4)0因式分解得(x4)(x1)(x4)20，則可得方程的根為x4或x1或x4.故集合A4，1,4，其子集為，4，1，4，4，1，4,4，1,4，4,1,4，真子集為，4，1，4，4，1，4,4，1,4【例2】 11,0根據(jù)集合相等的定義知x0或0.當(dāng)x0時(shí)，無意義，所以只能0，得y0，代入A，B得Ax,0，Bx2,0又AB，x2x.x0或x1.當(dāng)x0時(shí)，不合題意，舍去當(dāng)x1時(shí)，A1,0，B1,0AB，符合題意x2 009y2 010(1)2 00902 0101.【例3】 BM中，x，N中，x，由于kZ，M中的x表示的奇數(shù)倍，N中的x表示的整數(shù)倍MN.【例4】 解：當(dāng)m12m1，即m2時(shí)，B，符合題意當(dāng)m12m1，即m2時(shí)，B.由BA，借助數(shù)軸表示如圖所示則解得0m.綜上所述，m2或0m.【例5】 正解：由Px|x2x60，得P3,2當(dāng)m0時(shí)，方程mx10無解，此時(shí)集合Q，滿足題意；當(dāng)m0時(shí)，方程mx10的解為x，此時(shí)集合Q.QP，3或2，解得m或m.綜上所述，實(shí)數(shù)m的值為0或或.1 下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)為( )00；0；0,1(0,1)；(a，b)(b，a)A1 B2 C3 D42 集合Ax|0x3且xN的真子集的個(gè)數(shù)是( )A16 B8 C7 D43 已知集合AxR|2x4，Bx|x50，則A與B之間的關(guān)系為( )AAB BAB CAB D不確定4 已知集合M8,1,9，集合N1，m1，若NM，則實(shí)數(shù)m_.5 已知M0,2，b，N0,2，b2，且MN，求實(shí)數(shù)b的值答案：1B正確，錯(cuò)誤2C由題意知，A0,1,2，故A的真子集的個(gè)數(shù)是2317.3A為便于考察A，B中元素的范圍，利用數(shù)軸把A，B表示出來，如圖所示x50，x5.因此B中元素不能都屬于A，但A中元素都小于5(即都在B中)，由真子集的定義知A是B的真子集47或10m1N，NM，m1M.m18或m19.m7或10.5分析：由bb2解得b，要注意滿足集合元素的互異性解：MN，bb2.解得b1或b0(舍去)b1.