高中數(shù)學(xué) 第一章 集合 第1節(jié) 集合的含義與表示基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1（通用）

§1 集合的含義與表示1理解集合的概念，會(huì)判斷元素與集合的關(guān)系2理解并記住集合中元素的性質(zhì)3熟記常用數(shù)集的符號(hào)4理解列舉法和描述法，能運(yùn)用它們表示集合1集合一般地，指定的某些對(duì)象的_稱為集合，集合中的每個(gè)對(duì)象叫作這個(gè)集合的_集合常用大寫字母A，B，C，D，標(biāo)記2元素與集合的關(guān)系(1)關(guān)系：_或_(2)表示：若元素a在集合A中，就說(shuō)元素a屬于集合A，記作a_A；若元素a不在集合A中，就說(shuō)元素a不屬于集合A，記作a_A.集合中元素的性質(zhì)：確定性：指的是作為一個(gè)集合中的元素，必須是確定的，即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素屬于或不屬于這個(gè)集合是確定的要么是該集合中的元素，要么不是，二者必為其一，這個(gè)特性通常被用來(lái)判斷涉及的總體是否構(gòu)成集合互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說(shuō)，對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的任何兩個(gè)元素都是不同的無(wú)序性：集合中的元素是沒(méi)有順序的，也就是說(shuō)，集合中的元素沒(méi)有前后之分3數(shù)集(1)定義：_的集合簡(jiǎn)稱數(shù)集(2)常見(jiàn)數(shù)集：自然數(shù)集記為_(kāi)；整數(shù)集記為_(kāi)；正整數(shù)集記為_(kāi)；有理數(shù)集記為_(kāi)；實(shí)數(shù)集記為_(kāi)【做一做1】 下列關(guān)系正確的是( )A0N BR C1Q D0Z4集合的表示法(1)列舉法：把集合中的_一一列舉出來(lái)寫在大括號(hào)內(nèi)的方法(2)描述法：在大括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及其取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征. 這種用確定的_表示某些對(duì)象是否_這個(gè)集合的方法叫作描述法 在不引起混淆的情況下，為了簡(jiǎn)便，有些集合用描述法表示時(shí)，可省去豎線及其代表元素如所有直角三角形組成的集合，可以表示為直角三角形，但不能表示為所有直角三角形，因?yàn)?本身就有“所有”“全部”的意思【做一做21】 集合x(chóng)N|x5的另一種表示法是( )A0,1,2,3,4 B1,2,3,4C0,1,2,3,4,5 D1,2,3,4,5【做一做22】 3和4的所有正的公倍數(shù)的集合為_(kāi)5集合的分類按所含元素的個(gè)數(shù)分為：有限集和無(wú)限集含_個(gè)元素的集合叫有限集，含_個(gè)元素的集合叫無(wú)限集6空集不含有任何_的集合叫作空集，記作. 數(shù)0，0，的關(guān)系：數(shù)0不是集合，0是含一個(gè)元素0的集合，而是不含任何元素的集合，是指以為元素的集合答案：1全體元素2(1)屬于不屬于(2)3(1)數(shù)(2)NZNQR【做一做1】 D4(1)元素(2)條件屬于【做一做21】 A【做一做22】 x|x12k，kN5有限無(wú)限6元素1對(duì)于集合定義的理解剖析：(1)集合中的元素是具體的，它的屬性是明確的，即對(duì)于某一集合而言，任何一個(gè)元素要么是這個(gè)集合的元素，要么不是這個(gè)集合的元素，二者必為其一(2)對(duì)于一個(gè)集合，應(yīng)該從整體的角度來(lái)看待它，例如由“我們班的學(xué)生”組成的一個(gè)集合A，這就是一個(gè)整體(3)要注意組成集合的對(duì)象的廣泛性：一方面，任何一個(gè)確定的對(duì)象，都可以組成一個(gè)集合，如人、物、數(shù)、方程、不等式等都可以作為構(gòu)成集合的對(duì)象；另一方面，集合本身也可以作為集合的對(duì)象2結(jié)合實(shí)例說(shuō)明集合中元素的性質(zhì)特征剖析：(1)確定性作為集合的元素，必須是確定的，對(duì)于集合A和元素a，要么aA，要么aA，二者必為其一，且只為其一如：所有大于100的數(shù)組成一個(gè)集合集合中的元素是確定的，而“較大的整數(shù)”就不能構(gòu)成一個(gè)集合，因?yàn)樗膶?duì)象是不確定的再如：“很大的樹(shù)”“較高的人”等都不能構(gòu)成集合(2)互異性對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素一定是不同的，任何兩個(gè)相同的對(duì)象在同一集合中只能出現(xiàn)一次如：由a，a2組成一個(gè)集合，則a的取值不能是0或1.(3)無(wú)序性集合中元素的次序無(wú)先后之分，如：小于3的正整數(shù)，可以表示為1,2，也可以表示為2,1，它們都表示同一個(gè)集合由此可見(jiàn)，利用集合的三個(gè)特征性質(zhì)來(lái)判定元素是否能構(gòu)成集合，是非常有效的方法題型一 集合的判定【例1】 判斷下列每組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合(1)美麗的小鳥(niǎo)；(2)不超過(guò)20的非負(fù)整數(shù)；(3)立方接近零的正數(shù)；(4)直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)的點(diǎn)分析：要判定每組對(duì)象能否構(gòu)成集合，可先分析各組對(duì)象所具有的條件是否明確，若明確，再結(jié)合元素所必須具備的特征作出判斷反思：判定元素能否構(gòu)成集合，關(guān)鍵看這些元素是否具有確定性和互異性如果條件滿足就可以斷定這些元素可以構(gòu)成集合，否則不能構(gòu)成集合題型二 集合中元素的性質(zhì)的應(yīng)用【例2】 已知x21,0，x，求實(shí)數(shù)x的值分析：分類討論x2是集合中的哪個(gè)元素，要根據(jù)集合中元素的互異性進(jìn)行取舍反思：本題是應(yīng)用集合中元素的性質(zhì)來(lái)解決的這類問(wèn)題既要討論元素的確定性，又要利用互異性檢驗(yàn)解的正確與否，初學(xué)者解題時(shí)易忽視元素的互異性，必須在學(xué)習(xí)中高度重視另外，本類問(wèn)題往往涉及分類討論的數(shù)學(xué)思想題型三 集合的表示【例3】 用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?1)化簡(jiǎn)式子(x，y為非零實(shí)數(shù))所得結(jié)果構(gòu)成的集合；(2)大于4的所有奇數(shù)組成的集合；(3)直角坐標(biāo)系內(nèi)第二象限的點(diǎn)組成的集合；(4)方程(x1)(x25)0的根組成的集合分析：(1)根據(jù)x，y值的符號(hào)，兩項(xiàng)分別可得1或1，化簡(jiǎn)的結(jié)果有3種情形，用列舉法表示集合；(2)奇數(shù)的表達(dá)式為2k1(kN)，由于有無(wú)數(shù)個(gè)元素，可用描述法表示；(3)代表的元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，用描述法表示；(4)只有3個(gè)根，用列舉法表示反思：1.用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的類型一般地，數(shù)集用一個(gè)字母代表其元素，而點(diǎn)集則用一個(gè)有序數(shù)對(duì)來(lái)表示若描述部分出現(xiàn)元素記號(hào)以外的字母時(shí)，要對(duì)新字母說(shuō)明其含義或指出取值范圍，如(2)小題2對(duì)于元素個(gè)數(shù)確定的集合或元素個(gè)數(shù)不確定但元素間存在明顯規(guī)律的集合，可采用列舉法應(yīng)用列舉法時(shí)要注意：元素之間用“，”而不是用“、”隔開(kāi)；元素不能重復(fù)；不考慮元素順序題型四 求參數(shù)的取值范圍【例4】 已知集合Ax|ax22x10，xR，若集合A中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍分析：由描述法可知集合A是關(guān)于x的方程ax22x10的實(shí)數(shù)解集，首先應(yīng)考慮方程是不是一元二次方程反思：已知集合中元素的個(gè)數(shù)，求其中某參數(shù)的取值范圍時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)集合的表示法的正確理解本題中，由于集合A是方程的解集，所以轉(zhuǎn)化為討論方程根的問(wèn)題答案：【例1】 解：(1)中“美麗”的范疇太廣，不具有明確性，因此不能構(gòu)成集合；(2)中的元素可以列舉出來(lái)：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共21個(gè)數(shù)；(3)中接近零的界限不明確；(4)中元素具有無(wú)限個(gè)，但條件明確，即所有橫、縱坐標(biāo)均大于0的點(diǎn)均在該集合中綜上可知(2)(4)能構(gòu)成集合，(1)(3)不能構(gòu)成集合【例2】 解：若x20，則x0，此時(shí)集合為1,0,0，不符合集合中元素的互異性，舍去若x21，則x±1.當(dāng)x1時(shí)，集合為1,0,1，不符合集合中元素的互異性，舍去；當(dāng)x1時(shí)，集合為1,0，1，符合要求若x2x，則x0或x1，不符合集合中元素的互異性，都舍去綜上可知，x1.【例3】 解：(1)0,2，2(2)x|x2k1，k2且kN(3)(x，y)|x0且y0(4)，1，【例4】 解：當(dāng)a0時(shí)，方程只有一個(gè)根，則a0符合題意當(dāng)a0時(shí)，則關(guān)于x的方程ax22x10是一元二次方程由于集合A中至多有一個(gè)元素，則一元二次方程ax22x10有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根或沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以 44a0.解得a1.綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a|a0或a11 下列所給的對(duì)象不能構(gòu)成集合的是( )A某公司的全體員工B2020年全國(guó)經(jīng)濟(jì)百?gòu)?qiáng)縣C2020年考入北京大學(xué)的全體學(xué)生D美國(guó)NBA的籃球明星2 給出下列關(guān)系：R；Q；|3|N；|N.其中正確關(guān)系的個(gè)數(shù)為( )A1 B2 C3 D43 集合x(chóng)N|x32用列舉法可表示為( )A0,1,2,3,4 B1,2,3,4C0,1,2,3,4,5 D1,2,3,4,54 集合Ax|mx22x20中只有一個(gè)元素，則m的值構(gòu)成的集合為_(kāi)5 選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)絕對(duì)值不大于3的整數(shù)組成的集合；(2)方程(3x5)(x2)0的實(shí)數(shù)解組成的集合；(3)一次函數(shù)yx6圖像上所有點(diǎn)組成的集合答案：1D根據(jù)集合中元素的確定性來(lái)判斷是否構(gòu)成集合因?yàn)檫x項(xiàng)A，B，C中所給對(duì)象都是確定的，從而可以構(gòu)成集合；而選項(xiàng)D中所給對(duì)象不確定，原因是沒(méi)有具體的標(biāo)準(zhǔn)衡量一位美國(guó)NBA球員是否為籃球明星，所以不能構(gòu)成集合2B正確，錯(cuò)誤3BxN|x32xN|x51,2,3,44.當(dāng)m0時(shí)，A1滿足題意；當(dāng)m0時(shí)，由48m0，得m，A2滿足題意5解：(1)絕對(duì)值不大于3的整數(shù)是3，2，1,0,1,2,3，共有7個(gè)元素，用列舉法表示為3，2，1,0,1,2,3(2)方程(3x5)(x2)0的實(shí)數(shù)解僅有兩個(gè)，分別是，2，用列舉法表示為.(3)一次函數(shù)yx6圖像上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，用描述法表示為(x，y)|yx6