高中數(shù)學(xué) 第一章 集合 第1節(jié) 集合的含義與表示基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1（通用）

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1、§1 集合的含義與表示 1．理解集合的概念，會(huì)判斷元素與集合的關(guān)系． 2．理解并記住集合中元素的性質(zhì)． 3．熟記常用數(shù)集的符號(hào)． 4．理解列舉法和描述法，能運(yùn)用它們表示集合． 1．集合 一般地，指定的某些對(duì)象的__________稱(chēng)為集合，集合中的每個(gè)對(duì)象叫作這個(gè)集合的__________． 集合常用大寫(xiě)字母A，B，C，D，…標(biāo)記． 2．元素與集合的關(guān)系 (1)關(guān)系：__________或_________． (2)表示：若元素a在集合A中，就說(shuō)元素a屬于集合A，記作a__________A；若元素a不在集合A中，就說(shuō)元素a不屬于集合A，記作a__________A

2、. 集合中元素的性質(zhì)： ①確定性：指的是作為一個(gè)集合中的元素，必須是確定的，即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素屬于或不屬于這個(gè)集合是確定的．要么是該集合中的元素，要么不是，二者必為其一，這個(gè)特性通常被用來(lái)判斷涉及的總體是否構(gòu)成集合． ②互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說(shuō)，對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的任何兩個(gè)元素都是不同的． ③無(wú)序性：集合中的元素是沒(méi)有順序的，也就是說(shuō)，集合中的元素沒(méi)有前后之分． 3．?dāng)?shù)集 (1)定義：________________的集合簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)集． (2)常見(jiàn)數(shù)集：自然數(shù)集記為_(kāi)______________；整數(shù)集記為_(kāi)______________；正整數(shù)集記

3、為_(kāi)______________；有理數(shù)集記為_(kāi)______________；實(shí)數(shù)集記為_(kāi)______________． 【做一做1】 下列關(guān)系正確的是( )． A．0∈N＋ B．πR C．1Q D．0∈Z 4．集合的表示法 (1)列舉法：把集合中的________________一一列舉出來(lái)寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)的方法． (2)描述法：在大括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及其取值(或變化)范圍，再畫(huà)一條豎線(xiàn)，在豎線(xiàn)后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征. 這種用確定的____表示某些對(duì)象是否____

4、這個(gè)集合的方法叫作描述法． 在不引起混淆的情況下，為了簡(jiǎn)便，有些集合用描述法表示時(shí)，可省去豎線(xiàn)及其代表元素．如所有直角三角形組成的集合，可以表示為{直角三角形}，但不能表示為{所有直角三角形}，因?yàn)閧 }本身就有“所有”“全部”的意思． 【做一做2－1】 集合{x∈N|x＜5}的另一種表示法是( )． A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5} 【做一做2

5、－2】 3和4的所有正的公倍數(shù)的集合為_(kāi)_________． 5．集合的分類(lèi) 按所含元素的個(gè)數(shù)分為：有限集和無(wú)限集．含________個(gè)元素的集合叫有限集，含________個(gè)元素的集合叫無(wú)限集． 6．空集 不含有任何__________的集合叫作空集，記作. 數(shù)0，{0}，，{}的關(guān)系：數(shù)0不是集合，{0}是含一個(gè)元素0的集合，而是不含任何元素的集合，{}是指以為元素的集合． 答案：1．全體　元素 2．(1)屬于　不屬于　(2)∈　 3．(1)數(shù)　(2)N　Z　N＋　Q　R 【做一做1】 D 4．(1)元素　(2)條件　屬于 【做一做2－1】 A

6、 【做一做2－2】 {x|x＝12k，k∈N＋} 5．有限　無(wú)限 6．元素 1．對(duì)于集合定義的理解 剖析：(1)集合中的元素是具體的，它的屬性是明確的，即對(duì)于某一集合而言，任何一個(gè)元素要么是這個(gè)集合的元素，要么不是這個(gè)集合的元素，二者必為其一． (2)對(duì)于一個(gè)集合，應(yīng)該從整體的角度來(lái)看待它，例如由“我們班的學(xué)生”組成的一個(gè)集合A，這就是一個(gè)整體． (3)要注意組成集合的對(duì)象的廣泛性：一方面，任何一個(gè)確定的對(duì)象，都可以組成一個(gè)集合，如人、物、數(shù)、方程、不等式等都可以作為構(gòu)成集合的對(duì)象；另一方面，集合本身也可以作為集合的對(duì)象． 2．結(jié)合實(shí)例說(shuō)明集合中元素的性質(zhì)特征 剖析：(1

7、)確定性．作為集合的元素，必須是確定的，對(duì)于集合A和元素a，要么a∈A，要么aA，二者必為其一，且只為其一．如：所有大于100的數(shù)組成一個(gè)集合．集合中的元素是確定的，而“較大的整數(shù)”就不能構(gòu)成一個(gè)集合，因?yàn)樗膶?duì)象是不確定的．再如：“很大的樹(shù)”“較高的人”等都不能構(gòu)成集合． (2)互異性．對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素一定是不同的，任何兩個(gè)相同的對(duì)象在同一集合中只能出現(xiàn)一次．如：由a，a2組成一個(gè)集合，則a的取值不能是0或1. (3)無(wú)序性．集合中元素的次序無(wú)先后之分，如：小于3的正整數(shù)，可以表示為{1,2}，也可以表示為{2,1}，它們都表示同一個(gè)集合． 由此可見(jiàn)，利用集合的三個(gè)特征

8、性質(zhì)來(lái)判定元素是否能構(gòu)成集合，是非常有效的方法． 題型一 集合的判定 【例1】 判斷下列每組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合． (1)美麗的小鳥(niǎo)；(2)不超過(guò)20的非負(fù)整數(shù)；(3)立方接近零的正數(shù)；(4)直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)的點(diǎn)． 分析：要判定每組對(duì)象能否構(gòu)成集合，可先分析各組對(duì)象所具有的條件是否明確，若明確，再結(jié)合元素所必須具備的特征作出判斷． 反思：判定元素能否構(gòu)成集合，關(guān)鍵看這些元素是否具有確定性和互異性．如果條件滿(mǎn)足就可以斷定這些元素可以構(gòu)成集合，否則不能構(gòu)成集合． 題型二 集合中元素的性質(zhì)的應(yīng)用 【例2】 已知x2∈{1,0，x}，求實(shí)數(shù)x的值． 分析：分類(lèi)討論x2是集合

9、中的哪個(gè)元素，要根據(jù)集合中元素的互異性進(jìn)行取舍． 反思：本題是應(yīng)用集合中元素的性質(zhì)來(lái)解決的．這類(lèi)問(wèn)題既要討論元素的確定性，又要利用互異性檢驗(yàn)解的正確與否，初學(xué)者解題時(shí)易忽視元素的互異性，必須在學(xué)習(xí)中高度重視．另外，本類(lèi)問(wèn)題往往涉及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想． 題型三 集合的表示 【例3】 用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希? (1)化簡(jiǎn)式子＋(x，y為非零實(shí)數(shù))所得結(jié)果構(gòu)成的集合； (2)大于4的所有奇數(shù)組成的集合； (3)直角坐標(biāo)系內(nèi)第二象限的點(diǎn)組成的集合； (4)方程(x－1)(x2－5)＝0的根組成的集合． 分析：(1)根據(jù)x，y值的符號(hào)，兩項(xiàng)分別可得1或－1，化簡(jiǎn)的結(jié)果有3種情形，用列舉

10、法表示集合；(2)奇數(shù)的表達(dá)式為2k＋1(k∈N)，由于有無(wú)數(shù)個(gè)元素，可用描述法表示；(3)代表的元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，用描述法表示；(4)只有3個(gè)根，用列舉法表示． 反思：1.用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的類(lèi)型．一般地，數(shù)集用一個(gè)字母代表其元素，而點(diǎn)集則用一個(gè)有序數(shù)對(duì)來(lái)表示．若描述部分出現(xiàn)元素記號(hào)以外的字母時(shí)，要對(duì)新字母說(shuō)明其含義或指出取值范圍，如(2)小題． 2．對(duì)于元素個(gè)數(shù)確定的集合或元素個(gè)數(shù)不確定但元素間存在明顯規(guī)律的集合，可采用列舉法．應(yīng)用列舉法時(shí)要注意：①元素之間用“，”而不是用“、”隔開(kāi)；②元素不能重復(fù)；③不考慮元素順序． 題型四 求

11、參數(shù)的取值范圍 【例4】 已知集合A＝{x|ax2－2x－1＝0，x∈R}，若集合A中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 分析：由描述法可知集合A是關(guān)于x的方程ax2－2x－1＝0的實(shí)數(shù)解集，首先應(yīng)考慮方程是不是一元二次方程． 反思：已知集合中元素的個(gè)數(shù)，求其中某參數(shù)的取值范圍時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)集合的表示法的正確理解．本題中，由于集合A是方程的解集，所以轉(zhuǎn)化為討論方程根的問(wèn)題． 答案：【例1】 解：(1)中“美麗”的范疇太廣，不具有明確性，因此不能構(gòu)成集合；(2)中的元素可以列舉出來(lái)：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,2

12、0，共21個(gè)數(shù)；(3)中接近零的界限不明確；(4)中元素具有無(wú)限個(gè)，但條件明確，即所有橫、縱坐標(biāo)均大于0的點(diǎn)均在該集合中． 綜上可知(2)(4)能構(gòu)成集合，(1)(3)不能構(gòu)成集合． 【例2】 解：若x2＝0，則x＝0，此時(shí)集合為{1,0,0}，不符合集合中元素的互異性，舍去． 若x2＝1，則x＝±1. 當(dāng)x＝1時(shí)，集合為{1,0,1}，不符合集合中元素的互異性，舍去； 當(dāng)x＝－1時(shí)，集合為{1,0，－1}，符合要求． 若x2＝x，則x＝0或x＝1，不符合集合中元素的互異性，都舍去． 綜上可知，x＝－1. 【例3】 解：(1){0,2，－2}． (2){x|x＝2k＋1，k≥

13、2且k∈N}． (3){(x，y)|x＜0且y＞0}． (4){－，1，}． 【例4】 解：當(dāng)a＝0時(shí)，方程只有一個(gè)根－，則a＝0符合題意． 當(dāng)a≠0時(shí)，則關(guān)于x的方程ax2－2x－1＝0是一元二次方程．由于集合A中至多有一個(gè)元素，則一元二次方程ax2－2x－1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根或沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以Δ＝ 4＋4a≤0.解得a≤－1. 綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a＝0或a≤－1}． 1 下列所給的對(duì)象不能構(gòu)成集合的是( )． A．某公司的全體員工 B．2020年全國(guó)經(jīng)濟(jì)百?gòu)?qiáng)縣 C．2020年考入北京大學(xué)的全體學(xué)生 D．美國(guó)NBA的籃球明星 2 給出下列關(guān)

14、系：①∈R；②Q；③|－3|N＋；④||∈N. 其中正確關(guān)系的個(gè)數(shù)為( )． A．1 B．2 C．3 D．4 3 集合{x∈N＋|x－3＜2}用列舉法可表示為( )． A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5} 4 集合A＝{x|mx2＋2x＋2＝0}中只有一個(gè)元素，則m的值構(gòu)成的集合為_(kāi)_______

15、__． 5 選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希? (1)絕對(duì)值不大于3的整數(shù)組成的集合； (2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的實(shí)數(shù)解組成的集合； (3)一次函數(shù)y＝x＋6圖像上所有點(diǎn)組成的集合． 答案：1．D　根據(jù)集合中元素的確定性來(lái)判斷是否構(gòu)成集合．因?yàn)檫x項(xiàng)A，B，C中所給對(duì)象都是確定的，從而可以構(gòu)成集合；而選項(xiàng)D中所給對(duì)象不確定，原因是沒(méi)有具體的標(biāo)準(zhǔn)衡量一位美國(guó)NBA球員是否為籃球明星，所以不能構(gòu)成集合． 2．B　①②正確，③④錯(cuò)誤． 3．B　{x∈N＋|x－3＜2}＝{x∈N＋|x＜5}＝{1,2,3,4}． 4.　當(dāng)m＝0時(shí)，A＝{－1}滿(mǎn)足題意； 當(dāng)m≠0時(shí)，由Δ＝4－8m＝0，得m＝，A＝{－2}滿(mǎn)足題意． 5．解：(1)絕對(duì)值不大于3的整數(shù)是－3，－2，－1,0,1,2,3，共有7個(gè)元素，用列舉法表示為{－3，－2，－1,0,1,2,3}． (2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的實(shí)數(shù)解僅有兩個(gè)，分別是，－2，用列舉法表示為. (3)一次函數(shù)y＝x＋6圖像上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，用描述法表示為{(x，y)|y＝x＋6}．