高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 第2節(jié) 對(duì)函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)（第1課時(shí)）基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1（通用）

2.1 函數(shù)概念1了解生活中的變量關(guān)系2理解函數(shù)的概念3會(huì)求出簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域、值域1生活中的變量關(guān)系(1)依賴關(guān)系：在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量，如果其中一個(gè)變量的值發(fā)生了變化，另一個(gè)變量的值也會(huì)隨之發(fā)生變化，那么就稱這兩個(gè)變量具有依賴關(guān)系如果變量x，y具有依賴關(guān)系，對(duì)于其中一個(gè)變量x的每一個(gè)值，另一個(gè)變量y都有_的值時(shí)，那么稱變量y是變量x的函數(shù)，即這兩個(gè)變量之間具有函數(shù)關(guān)系(2)非依賴關(guān)系：在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量，如果其中一個(gè)變量的值發(fā)生了變化，另一個(gè)變量的值不受任何影響，那么就稱這兩個(gè)變量具有非依賴關(guān)系函數(shù)關(guān)系是特殊的依賴關(guān)系，具有依賴關(guān)系的兩個(gè)變量有的是函數(shù)關(guān)系，有的不是函數(shù)關(guān)系因此說(shuō)依賴關(guān)系不一定是函數(shù)關(guān)系，而函數(shù)關(guān)系是依賴關(guān)系例如，積雪層對(duì)越冬作物具有防凍保暖作用，大雪可以防止土壤中的熱量向外散發(fā)，又可阻止外界冷空氣的侵入，具有增墑肥田作用所以下雪與來(lái)年的豐收具有依賴關(guān)系，但不是函數(shù)關(guān)系【做一做11】 張大爺種植了10畝小麥，每畝施肥x千克，小麥總產(chǎn)量為y千克，則( )Ax，y之間有依賴關(guān)系 Bx，y之間有函數(shù)關(guān)系Cy是x的函數(shù) Dx是y的函數(shù)【做一做12】 某人騎車的速度是v千米/時(shí)，他騎t小時(shí)，走的路程s是多少？路程是時(shí)間的函數(shù)嗎？2函數(shù)的概念給定兩個(gè)非空_A和B，如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合A中_數(shù)x，在集合B中都存在_確定的數(shù)f(x)與之對(duì)應(yīng)，那么就把對(duì)應(yīng)關(guān)系f叫作定義在集合A上的函數(shù)，記作f：AB，或y_，xA.此時(shí)，x叫作自變量，集合A叫作函數(shù)的定義域，集合_叫作函數(shù)的值域習(xí)慣上我們稱y是x的函數(shù)(1)符號(hào)yf(x)表示變量y是變量x的函數(shù)，它僅僅是函數(shù)符號(hào)，并不表示y等于f與x的乘積；符號(hào)f(x)與f(m)既有區(qū)別又有聯(lián)系，當(dāng)m是變量時(shí)，函數(shù)f(x)與函數(shù)f(m)是一樣的；當(dāng)m是常數(shù)時(shí)，f(m)表示自變量xm時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，是一個(gè)常量(2)函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域有時(shí)給出的函數(shù)沒(méi)有明確說(shuō)明定義域，這時(shí)，它的定義域就是自變量的允許取值范圍，此時(shí)的定義域又稱為此函數(shù)的“自然定義域”；如果函數(shù)涉及實(shí)際問(wèn)題，它的定義域還需使實(shí)際問(wèn)題有意義，此時(shí)的定義域又稱為此函數(shù)的“臨時(shí)定義域”【做一做2】 下列式子中不能表示函數(shù)yf(x)的是( )Axy21 By2x21Cx2y6 Dx3區(qū)間與無(wú)窮的概念(1)區(qū)間設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且ab，規(guī)定如下表：定義名稱符號(hào)幾何表示x|axb閉區(qū)間_x|axb開區(qū)間_x|axb左閉右開區(qū)間_x|axb左開右閉區(qū)間_這里實(shí)數(shù)a，b都叫作相應(yīng)區(qū)間的_ 并不是所有的數(shù)集都能用區(qū)間表示例如：數(shù)集M1,2,3,4就不能用區(qū)間表示由此可見(jiàn)，區(qū)間仍是集合，是一類特殊數(shù)集的另一種符號(hào)語(yǔ)言(2)無(wú)窮的概念及無(wú)窮區(qū)間定義Rx|xax|xax|xax|xa符號(hào)(，)_無(wú)窮大“”是一個(gè)符號(hào)，不是一個(gè)具體的數(shù)因此不能將1，)寫成1，【做一做3】 將下列集合用區(qū)間表示出來(lái)，并在數(shù)軸上表示區(qū)間(1)x|x1；(2)x|x1或x2；(3)x|2x8且x5答案：1(1)唯一確定【做一做11】 A【做一做12】 解：t小時(shí)走的路程是svt.由于時(shí)間t每取一個(gè)值，路程s有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，所以路程是時(shí)間的函數(shù)2數(shù)集任何一個(gè)唯一f(x)f(x)|xA【做一做2】 AA選項(xiàng)中，給定一個(gè)x(比如x5)，有兩個(gè)y(y±2)與它對(duì)應(yīng)，所以y不是x的函數(shù)同理可驗(yàn)證其他選項(xiàng)中y都是x的函數(shù)3(1)a，b(a，b)a，b)(a，b端點(diǎn)(2)a，)(a，)(，a(，a)【做一做3】 解：(1)1，)；(2)(，1)2，)；(3)2,5)(5,8數(shù)軸表示分別如圖(1)(2)(3)如何理解函數(shù)符號(hào)f(x)的意義？剖析：(1)符號(hào)“yf(x)”中的“f”表示對(duì)應(yīng)法則，在不同的具體函數(shù)中，“f”的含義不一樣，可以把函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則“f”形象地看作一個(gè)“暗箱”例如yf(x)x2，可以將其看作輸入x，輸出x2，于是“暗箱”相當(dāng)于一個(gè)“平方機(jī)”的作用(如圖所示)，則顯然應(yīng)該有f(a)a2，f(m1)(m1)2，f(x1)(x1)2.(2)符號(hào)yf(x)是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，應(yīng)理解為x是自變量，它是法則所施加的對(duì)象；f是對(duì)應(yīng)法則，它可以是一個(gè)或幾個(gè)解析式，可以是圖像、表格，也可以是文字描述；y是自變量的函數(shù)，當(dāng)x允許取某一具體值時(shí)，相應(yīng)的y值為與該自變量值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值yf(x)僅僅是函數(shù)符號(hào)，不是表示“y等于f與x的乘積”在研究函數(shù)時(shí)，除用符號(hào)f(x)外，還常用g(x)，F(xiàn)(x)，G(x)等來(lái)表示函數(shù)(3)f(x)與f(a)的區(qū)別與聯(lián)系：f(a)表示當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)f(x)的值，是一個(gè)常量，而f(x)是自變量x的函數(shù)，一般情況下，它是一個(gè)變量，f(a)是f(x)的一個(gè)特殊值如一次函數(shù)f(x)3x4，當(dāng)x8時(shí)，f(8)3×8428是一個(gè)常數(shù) yf(x)是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，它也未必就是一個(gè)解析式，yf(a)表示自變量xa時(shí)的函數(shù)值，它是一個(gè)常數(shù)；yf(x)是函數(shù)，通常是一個(gè)依賴于x變化而變化的變量函數(shù)還可以用其他一些符號(hào)來(lái)表示，例如：F(x)，G(x)，h(x)，也就是說(shuō)，不管用哪一個(gè)字母表示，它總是表達(dá)同樣一個(gè)含義：y是x的函數(shù)題型一 函數(shù)的概念【例1】 判斷下列函數(shù)是否為同一函數(shù)：(1)f(x)與g(x)(2)f(x)與g(x)；(3)f(x)x22x1與g(t)t22t1；(4)f(x)1與g(x)x0(x0)分析：判斷函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否一致反思：判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同，只需判斷這兩個(gè)函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同(1)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，則兩個(gè)函數(shù)表示同一函數(shù)；(2)定義域不同，則兩個(gè)函數(shù)不表示同一函數(shù)；(3)對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，則兩個(gè)函數(shù)不表示同一函數(shù)；(4)即使定義域和值域都分別相同的兩個(gè)函數(shù)，也不一定是同一函數(shù)，例如yx和y2x1的定義域和值域都是R，但不是同一函數(shù)；(5)兩個(gè)函數(shù)是否相同，與自變量是什么字母無(wú)關(guān)題型二 求函數(shù)的定義域【例2】 求下列函數(shù)的定義域：(1)y2；(2)y.分析：求函數(shù)的定義域就是求使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量的取值范圍，可考慮列不等式或不等式組反思：1.如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R.2如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合3如果f(x)是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于零的實(shí)數(shù)的集合4如果f(x)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合(即求各部分定義域的交集)5對(duì)于由實(shí)際背景確定的函數(shù)，其定義域還要受實(shí)際問(wèn)題的制約題型三 求函數(shù)值【例3】 已知f(x)(xR，且x1)，g(x)x22(xR)(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(2)的值分析：解決求值問(wèn)題，先分清對(duì)應(yīng)法則，再代入求值反思：(1)求函數(shù)值問(wèn)題，首先確定出函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則f的具體含義，再代入求值(2)求類似f(g(2)的值，要注意f，g作用的對(duì)象，按“由內(nèi)向外”的順序求值題型四 求函數(shù)的值域【例4】 求下列各函數(shù)的值域：(1)yx1，x2,3,4,5,6； (2)y1；(3)yx24x6； (4)yx.分析：確定函數(shù)的值域必須認(rèn)真分析自變量x與對(duì)應(yīng)法則之間的聯(lián)系，關(guān)鍵是弄清自變量變化時(shí)由對(duì)應(yīng)法則確定函數(shù)值的變化規(guī)律反思：求函數(shù)值域的方法：(1)圖像法：借助于函數(shù)值域的幾何意義，利用函數(shù)的圖像求值域；(2)觀察法：對(duì)于解析式比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，利用常見(jiàn)的結(jié)論如x20，|x|0，0等觀察出函數(shù)的值域；(3)換元法：利用換元法轉(zhuǎn)化為求常見(jiàn)函數(shù)如二次函數(shù)的值域等論函數(shù)的值域要先考慮函數(shù)的定義域，本例(1)中，如果忽視函數(shù)的定義域，那么會(huì)錯(cuò)誤地得出函數(shù)值域?yàn)镽.避免此類錯(cuò)誤的方法是研究函數(shù)時(shí)要遵循定義域優(yōu)先的原則題型五 易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn) 求函數(shù)定義域時(shí)非等價(jià)化簡(jiǎn)解析式致錯(cuò)【例5】 求函數(shù)y·的定義域錯(cuò)解：y·，由x240，得x2或x2，函數(shù)的定義域?yàn)閤|x2或x2錯(cuò)因分析：錯(cuò)解在求函數(shù)的定義域時(shí)，對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行了不等價(jià)變形，導(dǎo)致定義域范圍擴(kuò)大答案：【例1】 解：(1)f(x)的定義域中不含有元素0，而g(x)的定義域?yàn)镽，即定義域不相同，所以不是同一函數(shù)(2)f(x)的定義域?yàn)?，)，而g(x)的定義域?yàn)?，10，)，定義域也不相同，所以不是同一函數(shù)(3)盡管兩個(gè)函數(shù)的自變量一個(gè)用x表示，另一個(gè)用t表示，但它們的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，即對(duì)定義域內(nèi)同一個(gè)自變量，根據(jù)表達(dá)式，都能得到同一函數(shù)值，因此二者為同一函數(shù)(4)f(x)的定義域?yàn)镽，g(x)的定義域?yàn)閤|x0，因此也不是同一函數(shù)【例2】 解：(1)令即所以0x.所以函數(shù)的定義域?yàn)?(2)令即所以x0且x1.所以函數(shù)的定義域?yàn)閤|x0且x1【例3】 解：(1)f(x)，f(2)；又g(x)x22，g(2)2226.(2)f(g(2)f(6).【例4】 解：(1)當(dāng)x分別取2,3,4,5,6時(shí)，yx1分別取3,4,5,6,7，函數(shù)的值域?yàn)?,4,5,6,7(2)函數(shù)的定義域?yàn)?，)，當(dāng)x0時(shí)，0，y1，即函數(shù)y1的值域?yàn)?，)(3)函數(shù)的定義域?yàn)镽.yx24x6(x2)222，該函數(shù)的值域?yàn)?，)(4)換元法：設(shè)t，則x且t0.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求yt(t0)的值域yt(t1)2(t0)，(t1)21，y的取值范圍為.故該函數(shù)的值域?yàn)?【例5】 正解：由得即x2，函數(shù)的定義域?yàn)閤|x21 下列四個(gè)圖形中，不是以x為自變量的函數(shù)的圖像是( )2 已知函數(shù)f(x)，則f(2)等于( )A3 B2 C1 D03 函數(shù)y的定義域?yàn)? )Ax|x1 Bx|x0Cx|x1或x0 Dx|0x14 函數(shù)y，x1,5)的值域是_5 判斷下列各組的兩個(gè)函數(shù)是否相等，并說(shuō)明理由(1)yx1，xR與yx1，xN；(2)y與y；(3)y與u.答案：1C2.A3D要使函數(shù)有意義須解得0x1.4. (1,5畫出函數(shù)的圖像，如圖所示，觀察圖像得圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是(f(5)，f(1)，則函數(shù)的值域是(1,55解：(1)不相等前者的定義域是R，后者的定義域是N，由于它們的定義域不同，故不相等(2)不相等前者的定義域是R，后者的定義域是x|x0，它們的定義域不同，故不相等(3)相等定義域相同均為非零實(shí)數(shù)，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，都是自變量取倒數(shù)后加1，故相等