高中數(shù)學(xué) 第四章 函數(shù)應(yīng)用 第2節(jié) 實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)建?；A(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1（通用）

§2 實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)建模1初步運(yùn)用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實(shí)生活和社會(huì)中的簡(jiǎn)單問(wèn)題2了解數(shù)學(xué)建模的基本步驟，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的基本思想1實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)刻畫(huà)在現(xiàn)實(shí)世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫(huà)用_的觀點(diǎn)看實(shí)際問(wèn)題，是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容【做一做11】 一輛勻速行駛的火車(chē)90 min行駛了180 km，則這輛火車(chē)行駛的路程y(km)與時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系式為( )Ay2t By120tCy2t(t0) Dy120t(t0)【做一做12】 據(jù)報(bào)道，全球變暖使北冰洋冬季冰雪覆蓋面積在最近50年內(nèi)減少了5%，如果按此速度，設(shè)2000年的冬季冰雪覆蓋面積為m，從2000年起，經(jīng)過(guò)x年后，北冰洋冬季冰雪覆蓋面積y與x的函數(shù)關(guān)系式是( )Ay ByCy0.9550x·m Dy(10.0550x)·m2用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題函數(shù)模型是應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)模型之一許多實(shí)際問(wèn)題一旦認(rèn)定是函數(shù)關(guān)系，就可以通過(guò)研究函數(shù)的_把握問(wèn)題，使問(wèn)題得到解決通過(guò)一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過(guò)繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)的_，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖像，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個(gè)函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具體的_，再做必要的檢驗(yàn)，基本符合實(shí)際，就可以確定這個(gè)函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱(chēng)為數(shù)據(jù)擬合在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中，很多規(guī)律、定律都是先通過(guò)_，得到_，再通過(guò)數(shù)據(jù)_得到的【做一做21】 某公司為了適應(yīng)市場(chǎng)需求對(duì)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)進(jìn)行了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤(rùn)增長(zhǎng)迅速，后期增長(zhǎng)越來(lái)越慢，若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)反映該公司調(diào)整后利潤(rùn)y與時(shí)間x的關(guān)系，可選用( )A一次函數(shù) B二次函數(shù)C指數(shù)型函數(shù) D對(duì)數(shù)型函數(shù)【做一做22】 一個(gè)水池每小時(shí)注入水量是全池的，水池還沒(méi)有注水部分的總量y隨時(shí)間x變化的關(guān)系式為_(kāi)3函數(shù)建模(1)定義：用數(shù)學(xué)思想、_、_解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程叫作數(shù)學(xué)建模(2)過(guò)程：如圖所示【做一做31】 (2020福州三中期中)某地區(qū)土地沙化越來(lái)越嚴(yán)重，最近三年測(cè)得沙漠增加值分別為0.2萬(wàn)公頃，0.4萬(wàn)公頃和0.76萬(wàn)公頃，則與沙漠增加數(shù)y(萬(wàn)公頃)關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系較為近似的是( )Ay0.2x By(x22x)Cy Dy0.2log16x【做一做32】 今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01則最佳體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是( )Aulog2t Bu2t2Cu Du2t2答案：1函數(shù)【做一做11】 D【做一做12】 A2性質(zhì)整體特征函數(shù)表達(dá)式實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合【做一做21】 D【做一做22】 y1，x0,10設(shè)滿(mǎn)池為1，則有水的部分為1y，于是1y·x，即y1，x0,103(1)方法知識(shí)(2)問(wèn)題檢驗(yàn)【做一做31】 C【做一做32】 C可以先畫(huà)出散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖直觀地認(rèn)識(shí)變量間的關(guān)系，選擇合適的函數(shù)模型來(lái)刻畫(huà)它散點(diǎn)圖如圖所示，由散點(diǎn)圖可知，圖像不是直線(xiàn)，排除D項(xiàng)；圖像不符合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像特征，排除A項(xiàng)；當(dāng)t3時(shí)，2t22326，4，由表格知當(dāng)t3時(shí)，u4.04，模型u能較好地體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系1應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟剖析：(1)認(rèn)真審題讀懂題中的文字?jǐn)⑹?，理解敘述所反映的?shí)際背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，尤其是理解敘述中的名詞、概念，以及題中單位之間的關(guān)系分析出已知是什么，求什么，涉及哪些知識(shí)，確定自變量與函數(shù)的關(guān)系審題時(shí)要抓住題目中的關(guān)鍵量，要勇于嘗試、探索，敏于發(fā)現(xiàn)、歸納，善于聯(lián)想，實(shí)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，用含x的表達(dá)式表示各相關(guān)變量，根據(jù)問(wèn)題的已知條件，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)以及其他相關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式，即建立數(shù)學(xué)模型(3)用數(shù)學(xué)方法將所得到的函數(shù)模型問(wèn)題予以解答，求得結(jié)果(4)再轉(zhuǎn)化成實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)行檢驗(yàn)作出規(guī)范解答簡(jiǎn)言之，可概括為“四步八字”，即審題建模求解還原2常見(jiàn)的幾種函數(shù)模型剖析：(1)直線(xiàn)模型：一次函數(shù)模型ykxb(k0)，圖像增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線(xiàn)式上升(x的系數(shù)k0)，通過(guò)圖像可以直觀地認(rèn)識(shí)它，特例是正比例函數(shù)模型ykx(k0)(2)反比例函數(shù)模型：y(k0)型，增長(zhǎng)特點(diǎn)是y隨x的增大而減小(3)指數(shù)函數(shù)模型：ya·bxc(b0，b1，a0)，其增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快(底數(shù)b1，a0)，常形象地稱(chēng)為指數(shù)爆炸(4)對(duì)數(shù)函數(shù)模型，即ymlogaxn(a0，a1，m0)型，增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大越來(lái)越慢(底數(shù)a1，m0)(5)冪函數(shù)模型，即ya·xnb(a0)型，其中最常見(jiàn)的是二次函數(shù)模型：yax2bxc(a0)，其特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小，后增大(a0)在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時(shí)，要注意函數(shù)圖像的直觀運(yùn)用，分析圖像特點(diǎn)，分析變量x的范圍，同時(shí)還要與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合，如取整等題型一 用函數(shù)刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題【例1】 一輛汽車(chē)在某段路程中的行駛速度與時(shí)間的關(guān)系如圖所示(1)求圖中陰影部分的面積，并說(shuō)明所求面積的實(shí)際含義；(2)假設(shè)這輛汽車(chē)的里程表在汽車(chē)行駛這段路程前的讀數(shù)為2 004 km，試建立汽車(chē)行駛這段路程時(shí)汽車(chē)?yán)锍瘫碜x數(shù)s km與時(shí)間t h的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖像反思：在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，函數(shù)圖像能夠發(fā)揮很好的作用，因此，我們應(yīng)當(dāng)注意提高讀圖的能力另外，本例題涉及到了分段函數(shù)，分段函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的重要模型題型二 已知函數(shù)模型的應(yīng)用題【例2】 我們知道，燕子每年秋天都要從北方飛向南方過(guò)冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v5log2，單位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量(1)計(jì)算：燕子靜止時(shí)的耗氧量是多少個(gè)單位？(2)當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個(gè)單位時(shí)，它的飛行速度是多少？分析：(1)轉(zhuǎn)化為當(dāng)v0時(shí)，求Q的值；(2)轉(zhuǎn)化為當(dāng)Q80時(shí)，求v的值反思：一般來(lái)說(shuō)，若題中已給出數(shù)學(xué)模型，只要解數(shù)學(xué)模型即可，較常用的方法是待定系數(shù)法解模型，然后再利用相應(yīng)的解析式及對(duì)應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題題型三 建立函數(shù)模型的應(yīng)用題【例3】 某旅游公司有客房300間，每間日房租為20元，每天都客滿(mǎn)公司欲提高檔次，并提高租金如果每間客房每日增加2元，客房出租就會(huì)減少10間，若不考慮其他因素，公司將房間租金提高多少時(shí)，每天客房的租金總收入最高？分析：列出函數(shù)的解析式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值反思：當(dāng)實(shí)際應(yīng)用題中沒(méi)有給出函數(shù)模型而函數(shù)模型又唯一時(shí)，其解題步驟是：(1)認(rèn)真讀題，審題，確切理解題意，明確問(wèn)題實(shí)際背景；(2)恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)，列出函數(shù)解析式，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題，即實(shí)際問(wèn)題函數(shù)化；(3)運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法解答函數(shù)問(wèn)題，得出函數(shù)問(wèn)題的解；(4)將所得函數(shù)問(wèn)題的解還原成實(shí)際問(wèn)題的結(jié)論題型四 擬合函數(shù)模型的應(yīng)用題【例4】 為了估計(jì)山上積雪融化后對(duì)下游灌溉的影響，在山上建立了一個(gè)觀察站，測(cè)量最大積雪深度x與當(dāng)年灌溉面積y.現(xiàn)有連續(xù)10年的實(shí)測(cè)資料，如下表所示年序最大積雪深度x(cm)灌溉面積y(公頃)115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描點(diǎn)畫(huà)出灌溉面積y隨最大積雪深度x變化的圖像(2)建立一個(gè)能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型yf(x)，并畫(huà)出圖像(3)根據(jù)所建立的函數(shù)模型，若今年最大積雪深度為25 cm，則可以灌溉土地多少公頃？分析：首先根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，然后通過(guò)觀察圖像判斷問(wèn)題所適用的函數(shù)模型反思：對(duì)于此類(lèi)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，再解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，最后驗(yàn)證并結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際意義作出回答，這個(gè)過(guò)程就是先擬合函數(shù)再利用函數(shù)解題函數(shù)擬合與預(yù)測(cè)的一般步驟是：(1)能夠根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格，繪出散點(diǎn)圖(2)通過(guò)考查散點(diǎn)圖，畫(huà)出“最貼近”的直線(xiàn)或曲線(xiàn)，即擬合直線(xiàn)或擬合曲線(xiàn)如果所有實(shí)際點(diǎn)都落到了擬合直線(xiàn)或曲線(xiàn)上，滴“點(diǎn)”不漏，那么這將是一件十分完美的事情，但在實(shí)際應(yīng)用中，這種情況一般不會(huì)發(fā)生因此，使實(shí)際點(diǎn)盡可能均勻分布在直線(xiàn)或曲線(xiàn)兩側(cè)，使兩側(cè)的點(diǎn)大體相等，得出的擬合直線(xiàn)或擬合曲線(xiàn)就是“最貼近”的了(3)根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識(shí)，求出擬合直線(xiàn)或擬合曲線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式(4)利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對(duì)所給問(wèn)題進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制，為決策和管理提供依據(jù)答案：【例1】 解：(1)陰影部分的面積為50×180×190×175×165×1360.陰影部分的面積表示汽車(chē)在這5小時(shí)內(nèi)行駛的路程為360 km.(2)根據(jù)題圖，有s這個(gè)函數(shù)的圖像如圖所示【例2】 解：(1)由題知，當(dāng)燕子靜止時(shí)，它的速度v0，可得05log2，解得Q10，即燕子靜止時(shí)的耗氧量是10個(gè)單位(2)將耗氧量Q80代入所給公式，得v5log25log2815(m/s)即當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個(gè)單位時(shí)，它的飛行速度為15 m/s.【例3】 解：設(shè)客房租金每間提高2x元時(shí)，客房租金總收入為y元，由題意得，y(202x)(30010x)20x2400x6 00020(x10)28 000(0x150，xN)，則當(dāng)x10時(shí)，y有最大值為8 000，即將客房租金提高到202×1040(元/間)時(shí)，每天客房租金總收入最高為8 000元【例4】 解：(1)描點(diǎn)作圖如下：(2)從圖中可以看到，數(shù)據(jù)點(diǎn)大致落在一條直線(xiàn)附近，由此，我們假設(shè)灌溉面積y和最大積雪深度x滿(mǎn)足線(xiàn)性函數(shù)模型yabx.取其中的兩組數(shù)據(jù)(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入yabx，得用計(jì)算器可算得a2.4，b1.8.這樣，我們得到一個(gè)函數(shù)模型y2.41.8x，作出函數(shù)圖像如圖，可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說(shuō)明它能較好地反映最大積雪深度與灌溉面積的關(guān)系(3)由y2.41.8×25，求得y47.4，即當(dāng)積雪深度為25 cm時(shí)，可以灌溉土地47.4公頃1 某物體一天中的溫度T()是時(shí)間t(h)的函數(shù)，Tt33t60.當(dāng)t0時(shí)表示12：00，其后t取值為正，則上午8：00的溫度是( )A112 B58 C18 D8 2 下圖是某種豆類(lèi)生長(zhǎng)枝數(shù)y(枝)與時(shí)間t(月)的圖像，那么此種豆類(lèi)生長(zhǎng)枝數(shù)與時(shí)間的關(guān)系用下列函數(shù)模型近似刻畫(huà)最好的是( )Ay2t2 Bylog2tCyt3 Dy2t3 某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加25%出售，后因庫(kù)存積壓降價(jià)，按九折出售，每件還獲利( )A25元 B20.5元 C15元 D12.5元4 用一根長(zhǎng)為12 m的鐵絲彎成一個(gè)矩形的鐵框架，則能彎成的框架的最大面積是_5 某計(jì)算機(jī)集團(tuán)公司生產(chǎn)某種型號(hào)計(jì)算機(jī)的固定成本為200萬(wàn)元，生產(chǎn)每臺(tái)計(jì)算機(jī)的可變成本為3 000元，每臺(tái)計(jì)算機(jī)的售價(jià)為5 000元分別寫(xiě)出總成本C(萬(wàn)元)、單位成本P(萬(wàn)元)、銷(xiāo)售收入R(萬(wàn)元)以及利潤(rùn)L(萬(wàn)元)關(guān)于總產(chǎn)量x臺(tái)的函數(shù)關(guān)系式答案：1D當(dāng)t4時(shí)， T(4)33×(4)608.故選D.2D根據(jù)圖像特征可直接得：用y2t近似刻畫(huà)最好故選D.3D每件獲利100(125%)×0.9100100(1.25×0.91)12.5(元)49 m2設(shè)矩形的長(zhǎng)為x m，則寬為m，面積Sx(6x)x26x(0x6)，當(dāng)x3 時(shí)，S最大9.5解：總成本與總產(chǎn)量的關(guān)系為C2000.3x，xN.單位成本與總產(chǎn)量的關(guān)系為P0.3，xN.銷(xiāo)售收入與總產(chǎn)量的關(guān)系為R0.5x，xN.利潤(rùn)與總產(chǎn)量的關(guān)系為L(zhǎng)RC0.2x200，xN.