2020年高考數(shù)學 考前查缺補漏系列 熱點03 壓軸題目辯能力如何解決高考中的壓軸題問題？

壓軸題目辯能力，如何解決高考中的壓軸題問題？髙考數(shù)學壓軸題主要是從數(shù)學內(nèi)容與思想方法的二維要素上考慮,由于壓軸題既要體現(xiàn)區(qū)分度的功能,又要從學科整體高度和思維價值的高度考慮問題.因而,高考壓軸題無論是選擇題、填空題,還是解答題都是有規(guī)律可循的.本文就如何破解高考數(shù)學壓軸試題給出解題方法和備考策略.一、客觀性壓軸試題的解題方法與策略從近幾年的髙考數(shù)學試題中可以看出,對于客觀題一般是選擇題部分的最后一兩道題和填空題部分的最后一道題.題目主要涉及函數(shù)與導數(shù)、解析幾何、立體幾何、數(shù)列、解三角形及新定義問題等內(nèi)容. 1.以函數(shù)為主的壓軸客觀題本類壓軸題常包括函數(shù)與方程、函數(shù)的圖像、分段函數(shù)、抽象函數(shù)等，達到考查函數(shù)性質(zhì)的目的。考查解決本類壓軸題有效的方法一數(shù)形結(jié)合法進行探討。數(shù)形結(jié)合的解題方法具有直觀性、靈活性、可靠性等特點,在客觀性試題中特別要注意把"數(shù)”轉(zhuǎn)化為"形"進行解題,即根據(jù)給出的"數(shù)"的結(jié)構(gòu)特點，構(gòu)造相應的幾何圖形，用"形"的直觀性來解決"數(shù)"的抽象性問題.解析 因為奇函數(shù)，故函數(shù)圖象關(guān)于（0,0）點對稱，又滿足，函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，則為周期函數(shù)，其周期為4.函數(shù) 的周期也為4，當時，,畫出兩個函數(shù)的圖象，在一個周期內(nèi)，有兩個不同的交點的橫坐標為，故在整個定義域內(nèi)有集合等于2.以立體幾何為主的壓軸客觀題本類壓軸題常見有組合體問題，與函數(shù)、軌跡問題相結(jié)合的題目。與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面進行解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖.例3【河北省唐山市2020學年度高三年級第二次模擬考試】把一個皮球放入如圖所示的由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點，則皮球的半徑為Al0cm B10 cmC10cm D30cm【答案】 B【解析】由題意球心在AP上，球心為O，過O作BP的垂線ON垂足為N，ON=R，OM=R，因為各個棱都為20cm，所以AM=10，BP=20,BM=10，AB=,設(shè)，在BPM中，,所以，在PAM中, ,所以，在ABP中, 在ONP中, ,所以，所以，在OAM中, ,所以，,解得，R=10或30（舍）所以，R=10cm 故選B例4【2020北京海淀區(qū)高三年級第一學期期末試題】已知正三棱柱的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖所示. 設(shè)的中心分別是，現(xiàn)將此三棱柱繞直線旋轉(zhuǎn)，射線旋轉(zhuǎn)所成的角為弧度（可以取到任意一個實數(shù)），對應的俯視圖的面積為，則函數(shù)的最大值為 ；最小正周期為 . 說明：“三棱柱繞直線旋轉(zhuǎn)”包括逆時針方向和順時針方向，逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)所成的角為正角，順時針方向旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)所成的角為負角. 本類壓軸題常見有直線與曲線的位置關(guān)系、求曲線的軌跡、定值定點等問題.對曲線軌跡方程的考查，求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一.求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系. 這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義，性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的掌握，還充分考查了各種數(shù)學思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也是同學們的一大難點. 在幾何問題中，有些幾何量與參數(shù)無關(guān)，這就構(gòu)成了定值問題，解決這類問題一種思路是進行一般計算推理求出其結(jié)果；另一種是通過考查極端位置，探索出“定值”是多少，然后再進行一般性證明或計算，即將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角形式，證明該式是恒定的.如果試題以客觀題形式出現(xiàn)，特殊方法往往比較奏效.對滿足一定條件曲線上兩點連結(jié)所得直線過定點或滿足一定條件的曲線過定點問題，設(shè)該直線（曲線）上兩點的坐標，利用坐標在直線（或曲線）上，建立點的坐標滿足的方程（組），求出相應的直線（或曲線），然后再利用直線（或曲線）過定點的知識加以解決.解析幾何的最值和范圍問題，一般先根據(jù)條件列出所求目標的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、不等式法、單調(diào)性法、導數(shù)法以及三角函數(shù)最值法等求出它的最大值和最小值.例6【2020海淀區(qū)高三年級第一學期期末試題】點到圖形上每一個點的距離的最小值稱為點到圖形的距離，那么平面內(nèi)到定圓的距離與到定點的距離相等的點的軌跡不可能是 （ ）（A）圓 （B）橢圓 （C）雙曲線的一支 （D）直線【答案】D 【解析】如圖，A點為定圓的圓心，動點M為定圓半徑AP的中點，故AM=MP，此時M的軌跡為以A圓心,半徑為AM的圓。如圖，以F1為定圓的圓心，F(xiàn)1P為其半徑，在F1P截得F1AMPO|MP|=|MA|，由橢圓的定義可知，M的軌跡是以F1、A為焦點，以為焦距，以為長軸的橢圓。如圖，以F1為定圓的圓心，F(xiàn)1P為其半徑，過P點延長使得|MP|=|MA|，則有由雙曲線的定義可知，M的軌跡是以F1、A為F1APM焦點的雙曲線的右支。若M落在以A為端點在x軸上的射線上，也滿足條件，此時軌跡為一條射線，不是直線。故答案為D。4.以三角形與向量相結(jié)合的壓軸客觀題本類壓軸題包括解三角形、數(shù)量積運算以及相關(guān)的最值問題。平面向量的綜合運用主要體現(xiàn)在三角函數(shù)和平面解析幾何中在三角函數(shù)問題中平面向量的知識主要是給出三角函數(shù)之間的域解決問題，這個思想在平面向量的最值、范圍問題中也是適用的，但平面向量兼具“數(shù)”與“形”的雙重身份，解決平面向量最值、范圍問題的另一個基本思想是數(shù)形結(jié)合例7【河北省唐山市2020學年度高三年級第二次模擬考試】在ABC中，（則角A的最大值為 ?！敬鸢浮坷?【2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學質(zhì)量檢測(二)】在中，是的內(nèi)心，若=，其中，動點的軌跡所覆蓋的面積為A B C D二、主觀性壓軸試題的解題方法與策略1.圓錐曲線的解答題為壓軸題（1）圓錐曲線的考查重點近幾年高考試卷對圓錐曲線的考查主要是：給出曲線方程，討論曲線的基本元素和簡單的幾何性質(zhì)；或給出曲線滿足的條件，判斷（或求）其軌跡；或給出直線與曲線、曲線與曲線的位置關(guān)系，討論與其有聯(lián)系的有關(guān)問題（如直線的方程、直線的條數(shù)、弦長、曲線中參數(shù)的取值范圍等）；或討論直線與曲線、曲線與曲線的關(guān)系；或考查圓錐曲線與其它知識的綜合（如與函數(shù)、數(shù)列、不等式、向量、導數(shù)等）等.例9.【河北省石家莊市2020屆高三第一次模擬考試數(shù)學】（理）解：（）設(shè)動點，則.2分即.4分（）當直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，則聯(lián)立方程組，消去得,設(shè)，則6分（文）在平面直角坐標系xOy中，已知定點A(-2，0)、B(2，0)，M是動點，且直線MA與直線MB的斜率之積為，設(shè)動點M的軌跡為曲線C.(I)求曲線C的方程；(II)過定點T(-1,0)的動直線l與曲線C交于P,Q兩點，若，證明：為定值.解：（）設(shè)動點，則,2分,即 （）.4分例10 【河北省唐山市2020學年度高三年級第二次模擬考試】（理）在直角坐標系xOy中，長為的線段的兩端點C、D分別在x軸、y軸上滑動，記點P的軌跡為曲線E （I）求曲線E的方程； （ II）經(jīng)過點（0，1）作直線l與曲線E相交于A、B兩點，當點M在曲線E上時，求的值【命題分析】本題以向量為背景考查曲線方程，考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力，求曲線方程的常見方法：(1)直接法：直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程 (2)定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求 (3)相關(guān)點法：即利用動點是定曲線上的動點，另一動點依賴于它，那么可尋求它們坐標之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進行求解根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點的軌跡方程 (4)參數(shù)法：若動點的坐標(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個參數(shù)來分別動點的坐標，間接地把坐標x,y聯(lián)系起來，得到用參數(shù)表示的方程.如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程.注意：(1)求曲線的軌跡與求曲線的軌跡方程的區(qū)別：求曲線的軌跡是在求出曲線軌跡方程后，再進一步說明軌跡是什么樣的曲線.(2)求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念.第一問可通過向量相等列方程求解；第二問借助第一問的結(jié)論，借助直線和曲線的位置關(guān)系求解向量夾角.由點M在曲線E上，知(x1x2)21，即1，解得k229分【命題分析】本題以向量為背景考查曲線方程，考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力，求曲線方程的常見方法：(1)直接法：直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程 (2)定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求 (3)相關(guān)點法：即利用動點是定曲線上的動點，另一動點依賴于它，那么可尋求它們坐標之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進行求解根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點的軌跡方程 (4)參數(shù)法：若動點的坐標(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個參數(shù)來分別動點的坐標，間接地把坐標x,y聯(lián)系起來，得到用參數(shù)表示的方程.如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程.注意：(1)求曲線的軌跡與求曲線的軌跡方程的區(qū)別：求曲線的軌跡是在求出曲線軌跡方程后，再進一步說明軌跡是什么樣的曲線.(2)求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念.第一問可通過向量相等列方程求解；第二問借助第一問的結(jié)論，借助直線和曲線的位置關(guān)系求解.解：（）設(shè)C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)由，得(xm，y)(x，ny)，得2分由|1，得m2n2(1)2，(1)2x2y2(1)2，整理，得曲線E的方程為x215分2.函數(shù)與導數(shù)的解答題為壓軸題（1）可能出現(xiàn)的題型：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值 + 不等式或含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)區(qū)間、最值；求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 + 線性規(guī)劃；函數(shù)的單調(diào)性 + 二項式定理+不等式；函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值 + 參數(shù)取值范圍；含三角函數(shù)的復合函數(shù)單調(diào)區(qū)間 + 最值； 函數(shù) + 組合恒等式 + 不等式；二次函數(shù)+含絕對值不等式 + 函數(shù)單調(diào)區(qū)間；由高等數(shù)學改編問題（函數(shù)問題）。（2）解決函數(shù)、不等式綜合題的必備知識是：基本初等函數(shù)的定義域、值域、對應法則、圖象及其它性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值）,不等式的基本性質(zhì)。（3）研究函數(shù)性質(zhì)及解不等式、證明不等式的基本方法要熟練掌握，尤其是：構(gòu)造函數(shù)、建立方程、挖掘不等式關(guān)系，含參字母的分類討論，比較法、分析法、綜合法等。（4）特別注意利用導數(shù)研究函數(shù)：利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求字母的取 值范圍；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值；利用導數(shù)證明不等式.利用導數(shù)研究函數(shù)圖象的交點.例11【河南省鄭州市2020屆高三第二次質(zhì)量預測數(shù)學（理）】已知函數(shù)，且圖像在點處的切線斜率為1(e為自然對數(shù)的底數(shù)) (I)求實數(shù)a的值；(II)設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；(III)當時，證明：.（）要證，即證，即，. 10分，因為，由知，所以. 12分(文)已知函數(shù).(I)當時，求在上的最大值和最小值(II)若函數(shù)在1, e上為增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍.例12 【河北省唐山市2020學年度高三年級第二次模擬考試】（理）已知. （I）求函數(shù)f（x）的最小值； （ II）（i）設(shè)（ii）若，且證明：【命題分析】本題考查函數(shù)的最值和不等式的證明，考查學生利用求導研究函數(shù)性質(zhì)的解題能力和構(gòu)造函數(shù)思想的應用。第一問借助函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值；第二問通過構(gòu)造函數(shù)，證明函數(shù)的單調(diào)性分析得到函數(shù)值的大小；第三問利用第一問和第二問的結(jié)論解題?！久}分析】本題考查函數(shù)的最值和不等式的證明，考查學生利用求導研究函數(shù)性質(zhì)的解題能力和分類討論思想的應用。第一問借助函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值；第二問通過構(gòu)造函數(shù)，證明函數(shù)的單調(diào)性分析得到函數(shù)的最值達到證明不等式的目的.解：（）f¢(x)x1分當x(0，a)時，f¢(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當x(a，)時，f¢(x)0，f(x)單調(diào)遞增當xa時，f(x)取得極小值也是最小值f(a)a2a2lna5分【最新模擬試題訓練】1.【2020年云南省第一次統(tǒng)一檢測理科數(shù)學】已知橢圓的長軸的兩個端點分別為、，點在橢圓上，如果，的面積等于，那么橢圓的方程是【解析】根據(jù)已知設(shè)橢圓的方程為.設(shè)，則，即.的面積等于，化簡得.，解方程得.所求橢圓的方程是.故選（A）.2.【山西大學附中2020學年第二學期高三月考】如圖，直線與雙曲線的左右兩支分別交于、兩點，與雙曲線的右準線相交于點，為右焦點，若，又，則實數(shù)的值為AB1C2D3.【山西大學附中2020學年第二學期高三月考】函數(shù)的定義域為，若存在非零實數(shù)使得對于任意，有，且，則稱為上的高調(diào)函數(shù)。如果定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，當時，且為上的4高調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)的取值范圍是 A. . B. C. D.答案：C解析：當時，據(jù)是定義域在為上的奇函數(shù)畫出圖像若圖所示據(jù)圖知：.4.【河北省衡水中學2020屆高三下學期二調(diào)考試】已知函數(shù)，把函數(shù)g(x)=f(x)-x+1的零點按從小到大的順序排列成一個數(shù)列，則該數(shù)列的前n項的和,則( )A B C45 D555.【寧夏銀川一中2020屆高三第一次模擬考試】試題若不重合的四點，滿足，則實數(shù)的值為 A. B. C. D. 【答案】B【解析】若，則P為ABC重心，設(shè)BC中點為M，則6.【寧夏銀川一中2020屆高三第一次模擬考試】函數(shù)的最小正周期為，且當時，那么在區(qū)間上，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點個數(shù)是 A. B. C. D. 【答案】C【解析】由題意知，圖像如下：交點為6個。7.【2020上海第二學學期七校聯(lián)考】橢圓上有個不同的點，是右焦點，組成公差的等差數(shù)列，則的最大值為（ ）A B C D如圖，建立直角坐標系，則9(湖北省荊門、天門等八市2020年3月高三聯(lián)考理科9)已知函數(shù)的零點，其中常數(shù)滿足，則等于 AB.CD10.(吉林省長春市2020年3月高中畢業(yè)班第二次調(diào)研測試理科12)已知函數(shù)對任意R都有，的圖象關(guān)于點對稱，且，則A BCD11.【2020年云南省第一次統(tǒng)一檢測理科數(shù)學】如果直線被圓截得的弦長等于，那么的最小值等于 解:直線被圓截得的弦長等于， ，化簡得. ，“”能取到， 的最小值等于.（此模型（常數(shù)），而正數(shù)相乘可消去變量與，且相等）.本題涉及到幾何、代數(shù)模型，對形模與代數(shù)變形能力要求較高，這可能是學生不能得出正確答案的一個重要原因.12【寧夏銀川一中2020屆高三第一次模擬考試】一個空間幾何體的三視圖如圖所示，且這個空間幾ABCOO2O1A1B1C1何體的所有頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積是 . 【答案】【解析】由三視圖知該幾何體為直三棱柱，底面為邊長為3的正三角形，高為2，直觀圖如下：在Rt中，求求得半徑故球的表面積為. 13.(吉林省長春市2020年3月高中畢業(yè)班第二次調(diào)研測試理科16)如圖，已知球是棱長為1 的正方體的內(nèi)切球，則以為頂點，以平面被球所截得的圓為底面的圓錐的全面積為_.14.【山西大學附中2020學年第二學期高三月考】已知定義域為的函數(shù)滿足：對任意，恒有 成立；當時，。給出如下結(jié)論：對任意，有；函數(shù)的值域為；存在，使得；“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的充要條件是 “存在，使得”。其中所有正確結(jié)論的序號是 。15.【東北三省三校2020屆高三第一次聯(lián)合模擬考試理科】已知橢圓C:，F(xiàn)為其右焦點，過F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2（1）求橢圓C的方程；（2）直線l：y=kx+m（）與橢圓C交于A、B兩點，若線段AB中點在直線x+2y=0上，求FAB的面積的最大值。設(shè)()，或或當時，；當時，；當時，；當時，又所以當時，的面積取最大值. 12分（）方法一：設(shè)交點，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，則易得. -6分當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為（），聯(lián)立橢圓方程，得方法二：設(shè)交點，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，則易得. -6分16.【東北三省三校2020屆高三第一次聯(lián)合模擬考試理科】 已知函數(shù)，函數(shù)與函數(shù)的圖像在交點（0,0）處有公共切線（1）求a、b；（2）證明：（3）對任意的，當時，證明：解：() ，由題意解得， 4分（）令 5分為增函數(shù)，在為減函數(shù) 6分，即 8分【東北三省三校2020屆高三第一次聯(lián)合模擬考試文科】 已知函數(shù)，（1）當時，求的極值；（2）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（3）對任意的恒有成立，求m的取值范圍。解：（）依題意，知的定義域為. -1分當時， ，.令，解得 當時，；當時， .在上遞減，在 上遞增所以時，有極小值為，無極大值 -3分（）由（）可知，當時，在單調(diào)遞減.當時，取最大值；當時，取最小值.所以. 因為恒成立， 所以，整理得. -10分又 所以， 又因為 ，得，所以所以 . -12分，解方程得.雙曲線的方程為. （）經(jīng)過點，斜率等于的直線的方程為.根據(jù)已知設(shè)，則的中點為.是以為底的等腰三角形. 綜上得，或，或.答題分析：1.第（）問考查方程的思想方法，即列出關(guān)于、的三元方程組，接下來的任務(wù)就是解方程組，可惜的是很多考生沒能得出正確答案，學生的運算求解能力有待提高.18.【2020年云南省第一次統(tǒng)一檢測理科數(shù)學】（文）已知實數(shù)是常數(shù)，. 當時，是增函數(shù).（）求的取值范圍；（）設(shè)是正整數(shù)，證明：解：（），. 當時，是增函數(shù)，在時恒成立.即在時恒成立.當時，是減函數(shù)，當時，. 答題分析：1.一些考生把求錯了，考生的求導運算有待加強，因為求導幾乎是高考的必考題.2. 第（）問實際上是一個含參不等式在時恒成立的問題，常用分離參數(shù)、函數(shù)最值的方法加以解決.3.第（）問難度較大，能做出來的考生寥寥無幾.本問能較好地將高水平的學生篩選出來.可以如下思考：要證關(guān)于的不等式恒成立，并且右邊還有對數(shù)，似乎無法下手.注意觀察不等式的左邊，分母上有一個7，兩邊乘以7后，右邊變?yōu)?而條件中，也有，于是考慮借助第（）問來搭臺階.（I）求點與雙曲線上的點的距離的最小值；（II）設(shè)直線與雙曲線交于、兩點，且是以為底的等腰三角形，求常數(shù)的值.解：（）根據(jù)已知設(shè)雙曲線的方程為，.，.雙曲線的方程可化為，左焦點為.直線經(jīng)過點，傾斜角等于，直線的方程為.直線上的點與雙曲線的左焦點的距離的最小值等于，解得.雙曲線的方程為.， .由，得.根據(jù)已知得.，.，即，解方程得，.綜上得，或，或.20.【2020年云南省第一次統(tǒng)一檢測理科數(shù)學】（理）已知實數(shù)是常數(shù)，. 當時，是增函數(shù).（I）求的取值范圍；（II）設(shè)數(shù)列的前項和為，比較與的大小解：（I），. 當時，是增函數(shù)，在時恒成立.即在時恒成立.當時，是減函數(shù)，當時，. 答題分析：1.一些考生把求錯了，考生的求導能力有待加強，因為求導幾乎是高考的必考題.2. 第（）問本質(zhì)上是一個含參不等式在時恒成立的問題，常用分離參數(shù)、函數(shù)最值的方法加以解決.3.第（）問難度較大，能做出來的考生寥寥無幾.本問能較好地將高水平的學生篩選出來.一些考生設(shè)法想去求出數(shù)列的前項和為，這既不可能，也沒必要.目標應該是與的大小，而不是要求出.21.【山西大學附中2020學年第二學期高三月考】如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和.（）求橢圓和雙曲線的標準方程；（）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明；（）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.22.【山西大學附中2020學年第二學期高三月考】已知函數(shù)，其中.（）若是的極值點，求的值；（）求的單調(diào)區(qū)間；（）若在上的最大值是，求的取值范圍.（）解：. 依題意，令，解得 . 經(jīng)檢驗，時，符合題意. 4分 （）解： 當時，.故的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是. 當時，令，得，或.當時，與的情況如下：所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和. 當時，的單調(diào)減區(qū)間是. （）由（）知 時，在上單調(diào)遞增，由，知不合題意. 當時，在的最大值是，由，知不合題意. 當時，在單調(diào)遞減，可得在上的最大值是，符合題意. 所以，在上的最大值是時，的取值范圍是. 12分23.【寧夏銀川一中2020屆高三第一次模擬考試】如圖橢圓的右頂點是，上下兩個頂點分別為，四邊形是矩形（為原點），點分別為線段的中點（）證明：直線與直線的交點在橢圓上；（）若過點的直線交橢圓于兩點，為關(guān)于軸的對稱點（不共線），問：直線是否經(jīng)過軸上一定點，如果是，求這個定點的坐標，如果不是，說明理由解：（1）由題意，得，所以直線的方程，直線的方程為，-2分 由，得，所以直線與直線的交點坐標為，-4分 因為，所以點在橢圓上-6分24.【寧夏銀川一中2020屆高三第一次模擬考試】設(shè)函數(shù)，（）當時，證明在是增函數(shù)；（）若，求的取值范圍解：（1）， 當時, , -2分 令，則，當時，所以在為增函數(shù)，因此時，所以當時，則在是增函數(shù). -6分