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1、4． 二項式定理
一、內(nèi)容歸納
1． 知識精講：
（1）二項式定理：（）
其通項是 （r=0,1,2,……,n），知4求1，如：
亦可寫成：
（）
特別地：（）
其中，——二項式系數(shù)。而系數(shù)是字母前的常數(shù)。
（2）二項展開式系數(shù)的性質(zhì)：①在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即
②如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大，即偶數(shù)：的二項式系數(shù)，；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)相等并且最大，即的二項式系數(shù)。
③所有二項式系數(shù)的和用賦值法可以證明等于即；
奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等，即
（3）展開式中系
2、數(shù)最大的項r應滿足：
（4）二項式定理的應用：近似計算和估計證不等式如證明：取的展開式中的四項即可。
2．重點難點: 二項式定理，和二項展開式的性質(zhì)。
3．思維方式:一般與特殊的轉(zhuǎn)化，賦值法的應用。
4．特別注意:①二項式的展開式共有n+1項，是第r+1項。
②通項是 （r=0,1,2,……,n）中含有五個元素，只要知道其中四個即可求第五個元素。
③注意二項式系數(shù)與某一項系數(shù)的異同。
④當n不是很大，||比較小時可以用展開式的前幾項求的近似值。
二、問題討論
例1．（1）等于 （ ）
A． B。 C。 D.
（2）若為奇數(shù)，則被9除得的余數(shù)
3、是 （ ）
A．0 B。2 C。7 D.8
解：（1）設，于是：
=
故選D
（2）
=
因為為奇數(shù)，所以原式=
所以，其余數(shù) 為7，選C
例2．（1）如果在 的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項。
（2）求的展開式的常數(shù)項。
（3）在的展開式中，求的系數(shù)（即含的項的系數(shù)）
【解】：（1）展開式中前三項的系數(shù)分別為1， ，，
由題意得：2×=1+得=8。
設第r+1項為有理項，，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，8。
有理項為。
[思維點拔] 求展開式中某一特定的項的問題時，常用通項公式，用待定系數(shù)法確[定r。
4、（2）法一：，其展開式的通項為，令得
所以，常數(shù)項為
法二：【解析】：=得到常數(shù)的情況有：①三個括號中全取-2，得（-2）3 ②一個括號取，一個括號取，一個括號取-2，得=-12，因此常數(shù)項為-20。
（3）=
含的項為
[思維點拔]密切注意通項公式的使用。
例3、若=，求（1）-的值。（2）的值。
【解析】：（1）在使用賦值法前，應先將-變形為：
-=
才能發(fā)現(xiàn)應取什么特殊值：
令=-1，則=
令=1則=
因此：-=·==1
（2）因為=，而
所以，=-16
[思維點拔] 用賦值法時要注意展開式的形式。
注：此例中的左邊冪指數(shù)可以是任一正自然數(shù)。
5、
思考:設
則-
解:
所以, -
=0
例5已知。
（1） 若展開式中第5項、第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)。
（2） 若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項。
【解】（1）∵∴=7或=14。
當=7時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T4和T5
T4的系數(shù)=；T5的系數(shù)=
當=14時展開式中二項式系數(shù)最大是項是T8，
T8的系數(shù)=。
（2） 由=79，可得=12，設頂?shù)南禂?shù)最大。
∵，∴，∴9.4<<10.4 即=10，
故展開式中系數(shù)最大的項為T11 。
[思維點拔]二項式系數(shù)
6、與展開式某一項系數(shù)是不同同概念。
選題:某地區(qū)現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%，如果人口年增長率為1%，那么耕地平均每年最多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？（糧食單產(chǎn)=，人均糧食占有量=）
【解析】設耕地平均每年至多只能減少公頃，又設該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃。依題得不等式
化簡得：，
而
=
，∴≤4（公頃）
答：按規(guī)劃該地區(qū)耕地平均每年最多只能能減少4公頃。
選題：當且>1，求證
證明:
從而
[思維點拔]這類是二項式定理的應用問題，它的取舍根據(jù)題目而定。
三、課堂小結(jié)：1、二項式定理及二項式系數(shù)的性質(zhì)。通項公式。
2、要取分二項式系數(shù)與展開式項的系數(shù)的異同。
3、證明組合恒等式常用賦值法。
四、作業(yè)布置 P417 基礎強化 P418 能力提高
五、課后體會
2020年廣東省南民私立中學高三數(shù)學第一輪復習 二項式定理
