2020年高考數學 專題四 立體幾何題型分析 理

2020專題四：立體幾何題型分析考點一 三視圖、直觀圖與表面積、體積1.直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法(2)規(guī)則：原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為45°(或135°)，z軸與x軸和y軸所在平面垂直原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话氚凑招倍y畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積有以下關系S直觀圖S原圖形，S原圖形2S直觀圖2.三視圖(1)幾何體的三視圖包括正(主)視圖、側(左)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線(2)三視圖的畫法基本要求：長對正，高平齊，寬相等畫法規(guī)則：正側一樣高，正俯一樣長，側俯一樣寬；看不到的線畫虛線1圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式圓柱圓錐圓臺側面展開圖側面積公式S圓柱側2rlS圓錐側rlS圓臺側(rr)l2空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側2S底VSh錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側S底VSh臺體(棱臺和圓臺)S表面積S側S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3例1.等腰梯形ABCD，上底CD1，腰ADCB，下底AB3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖ABCD的面積為_ 例2(2020·重慶高考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A180B200C220 D240 例3.(1)如圖所示，已知三棱柱ABC ­A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1底面ABC，則三棱錐B1 ­ABC1的體積為()A.B.C. D.(2)(2020·新課標)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A168 B88C1616 D816考點二 球與空間幾何體的“切”“接”問題方法主要是“補體”和“找球心”方法一：直接法例1、一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條棱長分別為1,2,3 ，則此球的表面積為 . 練習：已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積為（ ）A. B. C. D. 方法二：構造法（構造正方體或長方體）例2（2020年福建高考題）若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且側棱長均為，則其外接球的表面積是 練習 （2020年全國卷）一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（ ）A. B. C. D. 三、確定球心位置法例3、在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿將矩形ABCD折成一個直二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積為() 四、構造直角三角形例4、正四面體的棱長為a，則其內切球和外接球的半徑是多少,體積是多少？ 練習： 角度一直三棱柱的外接球1(2020·遼寧高考)已知直三棱柱ABC ­A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，則球O的半徑為()A.B2C. D3角度二正方體的外接球2(2020·合肥模擬)一個正方體削去一個角所得到的幾何體的三視圖如圖所示(圖中三個四邊形都是邊長為2的正方形)，則該幾何體外接球的體積為_角度三正四面體的內切球3(2020·長春模擬)若一個正四面體的表面積為S1，其內切球的表面積為S2，則_.角度四四棱錐的外接球4 四棱錐P­ABCD的五個頂點都在一個球面上，該四棱錐的三視圖如圖所示，E，F分別是棱AB，CD的中點，直線EF被球面所截得的線段長為2，則該球的表面積為() A9 B3 C2 D12考點三 利用空間向量求角和距離1兩條異面直線所成角的求法設兩條異面直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為，則cos |cos |(其中為異面直線a，b所成的角)2直線和平面所成的角的求法如圖所示，設直線l的方向向量為e，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，兩向量e與n的夾角為，則有sin |cos |.3求二面角的大小(1)如圖，AB，CD是二面角 ­l ­的兩個面內與棱l垂直的直線，則二面角的大小， (2)如圖，n1，n2分別是二面角 ­l ­的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小n1，n2(或n1，n2) 4點到平面的距離的求法設是平面的法向量，在內取一點B, 則 A到的距離易錯點：1求異面直線所成角時，易求出余弦值為負值而盲目得出答案而忽視了夾角為.2求直線與平面所成角時，注意求出夾角的余弦值的絕對值應為線面角的正弦值3利用平面的法向量求二面角的大小時，二面角是銳角或鈍角由圖形決定由圖形知二面角是銳角時cos ；由圖形知二面角是鈍角時，cos .當圖形不能確定時，要根據向量坐標在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等(一個平面的法向量指向二面角的內部，另一個平面的法向量指向二面角的外部)，還是互補(兩個法向量同時指向二面角的內部或外部)，這是利用向量求二面角的難點、易錯點一、線線角問題1(2020·沈陽調研)在直三棱柱A1B1C1 ­ABC中，BCA90°，點D1，F1分別是A1B1，A1C1的中點，BCCACC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是()A.B.C. D.2如圖，在棱長為1的正方體ABCD ­A1B1C1D1中，M和N分別是A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成角的余弦值為_二、 線面角的問題3、(2020·湖南高考)如圖，在直棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，ADBC，BAD90°，ACBD，BC1，ADAA13.(1)證明：ACB1D；(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值 針對訓練(2020·福建高考改編)如圖，在四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，側棱AA1底面ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k>0)若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為，求k的值 三、二面角問題4、(2020·新課標卷)如圖，直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，AA1ACCBAB.(1)證明：BC1/平面A1CD；(2)求二面角D­A1C­E的正弦值 針對訓練(2020·杭州模擬)如圖，已知平面QBC與直線PA均垂直于RtABC所在平面，且PAABAC.(1)求證：PA平面QBC；(2)若PQ平面QBC，求二面角Q­PB­A的余弦值四、 利用空間向量解決探索性問題(2020·江西模擬)如圖，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE3AF，BE與平面ABCD所成的角為60°.(1)求證：AC平面BDE；(2)求二面角F­BE­D的余弦值；(3)設點M是線段BD上一個動點，試確定點M的位置，使得AM平面BEF，并證明你的結論針對訓練已知正方體ABCD ­A1B1C1D1的棱長為1，點P在線段BD1上當APC最大時，三棱錐P ­ABC的體積為_五、近三年新課標高考試題 立體幾何（三視圖1小+1小1大：（1）三視圖（2）線面關系（3）與球有關的組合體（4）證明、求體積與表面積（注意規(guī)范性），作輔助線的思路（5）探索性問題的思考方法） (11)（6）在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如右圖所示，則相應的側視圖可以為（15）已知矩形的頂點都在半徑為4的球的球面上，且,則棱錐的體積為 （18）（本小題滿分12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB=60°,AB=2AD,PD底面ABCD.（）證明：PABD；（）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。(12) （7）如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（A）6 （B）9 （C）12（D）1811、已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，ABC是邊長為1的正三角形，SC為O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為（A） （B） （C） （D）19、如圖，直三棱柱中，是棱的中點，。（1） 證明：；（2） 求二面角1的大小。(13) 6、如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為 ( )A、cm3B、cm3C、cm3D、cm3 8、 某幾何函數的三視圖如圖所示，則該幾何的體積為( )A、18+8 B、8+8C、16+16 D、8+16 18、如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，BA A1=60°.（）證明ABA1C;（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB=2，求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值。ABCC1A1B114年高考試題（14.12）如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的個條棱中，最長的棱的長度為（ ）. . .6 .4（14.19）. (本小題滿分12分)如圖三棱錐中，側面為菱形，.() 證明：；（）若，AB=Bc，求二面角的余弦值.2020年（6）九章算術是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖所示，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛（11）圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為，則（A）1（B）2（C）4（D）8（18）（本小題滿分12分）如圖所示，四邊形為菱形，是平面同一側的兩點，平面，平面，（）求證：平面平面；（）求直線與直線所成角的余弦值