2020年高考數(shù)學(xué) 易錯點點睛與高考突破 專題01 集合與簡易邏輯

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1、2020年高考數(shù)學(xué) 易錯點點睛與高考突破 專題01 集合與簡易邏輯 難點1 集合的運算 1．設(shè)I是全集，非空集合P、Q滿足PQI，若含P、Q的一個運算表達(dá)式，使運算結(jié)果為空集，則這個運算表達(dá)式可以是_______；如果推廣到三個，即PQRI，使運算結(jié)果為空集，則這個運算表達(dá)式可以是_______.(只要求寫出一個表達(dá)式)． 2．設(shè)A={(x，y)|y2-x-1=0}，B={(x，y)|4x2+2x-2y+5=0}，C={(x，y)|y=kx+b}，是否存在k、b∈N，使得(A∪B)∩C=?，證明此結(jié)論． ∵ 難點2 邏輯在集合中的運用 1.已知不等式： ①|(zhì)x+3|>|

2、2x|；②;③2x2+mx-1＜0． 若同時滿足①、②的x也滿足③，求m的取值范圍； 若滿足③的x至少滿足①、②中的一個，求m的取值范圍． 難點3 集合的工具性 1．已知{an}是等差數(shù)列，d為公差且不為零，a1和d均為實數(shù)，它的前n項和為Sn，設(shè)集合A={(an，)|n∈N*},B={(x,y)|x2-y2=1，x，y∈R}，試問下列結(jié)論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明． (1)若以集合A中的元素作為點的坐標(biāo)，則這些點都在同一條直線上； (2)A∩B中至多有一個元素； (3)當(dāng)a1≠0時，一定有A∩B≠?． 2．設(shè)M是滿足下列兩個條件的

3、函數(shù)f(x)的集合：①f(x)的定義域是[-1，1]；②若x1，x2∈[-1，1]，則|f(x1)-f(x2)|≤4|x1-x2|．試問： (1)定義在[-1，1]上的函數(shù)g(x)=x2+3x+2020是否屬于集合M?并說明理由； (2)定義在[-1，1]上的函數(shù)h(x)=4sinx+2020是否屬于集合M?并說明理由． 3．向50名學(xué)生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人．問對A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人? 【解析

4、】畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系． 【答案】贊成A的人數(shù)為50×=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成事件A的學(xué)生全體為集合A；贊成事件B的學(xué)生全體為集合B. 設(shè)對事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x，則對A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為+1，贊成A而不贊成B的人數(shù)為30-x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33-x． 依題意(30-x)+(33-x)+x+(+1)=50，解得x=21． 所以對A、B都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人． 難點4 真假命題的判斷 1．已知p、q為命題，命題“(p或q)”為假命題，則 ( ) A.

5、p真且q真 B.p假且q假 C.p，q中至少有一真 D.p，q中至少有一假 2．已知p：|1-≤2，q：x2-2x+1-m2≤0(m>0)，若﹂p是﹂q的必要而不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍． ∴∴m≥9， ∴實數(shù)m的取值范圍是[9，+∞]． 難點5 充要條件的應(yīng)用 1．設(shè)符合命題p的所有元素組成集合A，符合命題q的所有元素組成集合B，已知q的充分不必要條件是p，則集合A、B的關(guān)系是 ( ) A．AB B．A B C．B A D．A=B 2．0

6、數(shù)的 ( ) A.充分但不必要條件 B．必要但不充分條件 C.充要條件 D．既不充分也不必要條件 1.集合與常用邏輯用語中的轉(zhuǎn)化與化歸思想 轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種策略將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到解決的一種方法．由于一個命題與其逆否命題是等價的，所以對于較難判斷的命題，可轉(zhuǎn)化為它的逆否命題的判斷來解決． 【例1】已知p：≤2, q：x2－2x＋1－m2≤ 0(m>0)．若綈p是綈q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍． 【題后反思】解此類題的關(guān)鍵是利用等價命題進(jìn)行命題的等價轉(zhuǎn)化，例如：如果p是q的充分不必要條件，那么綈p是綈q的

7、必要不充分條件．同理，如果p是q的必要不充分條件，那么綈p是綈q的充分不必要條件；如果p是q的充要條件，那么綈p是綈q的充要條件． 【變式】已知集合M＝，N＝{y|y＝4x－2x＋1}，U＝R，如圖所示，則圖中陰影部分表示的集合是(　　)． A. B. C. D．? 解析：由1－≥0，即≥0，解得x<0或x≥1，故函數(shù)y＝ 的定義域為(－∞，0)∪[1，＋∞)， 【易錯點點睛】 易錯點1 集合的概念與性質(zhì) 1．(2020模擬題精選)設(shè)全集U=R，集合M=｛x|x＞1｝，P=｛x|x2＞1｝，則下列關(guān)系中正確的是 ( ) A.M=P

8、 B．PM C.MP D．CUP=? 【錯誤答案】 D 【錯解分析】 忽視集合P中，x＜-1部分． 【正確解答】 C ∵x2＞1 ∴x＞1或x＜-1．故MP． 2．(2020模擬題精選)設(shè)P、Q為兩個非空實數(shù)集合，定義集合P+Q=｛a+b|aP，bQ｝，若P｛0，2，5｝，Q=｛1，2，6｝，則P+Q中元素的個數(shù)是（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 3．(2020模擬題精選)設(shè)f(n)=2n+1(nN)，P=｛l，2，3，4，5｝，Q={3，4，5，6，7},記=｛nN|f(n) P｝，=｛nN|f(n) 則(CN)

9、 (CN)等于 ( ) A．｛0，3｝ B．｛1，7｝ C．｛3，4，5｝ D．｛1，2，6，7｝ 【錯誤答案】 D PCNQ=｛6，7｝．QCNP=｛1，2｝．故選D． 【錯解分析】 未理解集合 的意義. 【正確解答】 B ∵ =｛1，3，5｝．=｛3，5，7｝．∴CN=｛1｝. CN=｛7｝．故選B． 4．設(shè)A、B、I均為非空集合，且滿足ABI，則下列各式中錯誤的是 ( ) A．（CIA）B=I B．(CIA) (CIB)=I C．A(CIB)=? D．(CIA)(CIB)= CIB 【特別提醒】

10、 1．解答集合問題，首先要正確理解集合有關(guān)概念，特別是集合中元素的三要素；對于用描述法給出的集合{x|xP}，要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質(zhì)P；要重視發(fā)揮圖示法的作用，充分運用數(shù)形結(jié)合(數(shù)軸，坐標(biāo)系，文氏圖)或特例法解集合與集合的包含關(guān)系以及集合的運算問題，直觀地解決問題． 2．注意空集?的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮到空集的可能性，如AB，則有A=?或A? 兩種可能，此時應(yīng)分類討論． 【變式探究】 1 全集U=R，集合M={1，2，3，4}，集合N=，則M(CUN)等于 ( ) A．{4} B．{3，4} C．

11、{2，3，4} D． {1，2，3，4} 答案：B 解析：由N=CUN= 2.設(shè)M={x|x4a，a∈R}，N={y|y=3x，x∈R}，則 ( ) A．M∩N=? B．M=N C. MN D. MN 答案：B 解析：M= 3.已知集合A={0，2，3}，B={x|x=ab,a、b∈A且a≠b}，則B的子集的個數(shù)是 ( ) A．4 B．8 C．16 D．15 答案：解析：它的子集的個數(shù)為22=4。 4.設(shè)集合M=｛(x，y)|x=(y+3)·|y-1|+(y+3)，-≤y≤3｝，若(a，b)∈M，且對M

12、中的其他元素(c，d)，總有c≥a，則a=_____. 解析：依題可知，本題等價于求函數(shù)不勝數(shù)x=f(y)=(y+3).|y-1|+(y+3)在 當(dāng) 1≤y≤3時，x=(y+3)(y-1)+(y+3)=y2+3y=(y+)2- 易錯點 2 集合與不等式 1．(2020模擬題精選)集合A=，B={x|x-b|＜a＝，若“a=1”是“A∩B≠?”的充分條件，則b的取值范圍是 ( ) A．-2≤b<2 B．-2

13、∩B≠?.b-1＜1且b+1≥-1.故-2≤b＜2．∴只有A符合． 3．(2020模擬題精選)已知f(x)=(x∈R)在區(qū)間[-1，1]上為增函數(shù)． (1)求實數(shù)a的值所組成的集合A； (2)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩根為x1,x2，試問：是否存在實數(shù)m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由． 【特別提醒】 討論參數(shù)a的范圍時，對各種情況得出的參數(shù)a的范圍，要分清是“或”還是“且”的關(guān)系，是“或”只能求并集，是“且”則求交集. 【變式探究】 1 設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則不等式[x]

14、2-5[x]+6≤0的解集為 ( ) A．(2，3) B．[2，3] C．[2，4] D．[2，4] 答案：C 解析：由[x]2-5[x]+6≤0,解得2≤[x] ≤3,由[x]的定義知2≤x<4所選C. 2 已知不等式|x-m|<1成立的充分非必要條件是，則實數(shù)m的取值范圍是 ( ) A. B. C. D. 易錯點 3 集合的應(yīng)用 1．(2020模擬題精選)ω是正實數(shù)，設(shè)Sω={θ|f(x)=cos[ω(x+θ)]是奇函數(shù)}，若對每個實數(shù)a,Sω∩(a,a+1)的元素不超過2個，且有a使Sω∩(a，a+1)含2個元素

15、，則ω的取值范圍是_____. 【錯誤答案】 (π，2π) 【錯解分析】 ∵a使Sω∩(a,a+1)含兩個元素，如果>1時，則超過2個元素，注意區(qū)間端點． 【正確解答】 由Sω∩(a，a+1)的元素不超過兩個,∴周期×<1．∴ω＞π又∵有a使Sω∩(a，a+1)含兩個元素，∴周期≥1．∴ω≤2π．故ω∈(π，2π)． 2．(2020模擬題精選)設(shè)函數(shù)f(x)=-(x∈R)，區(qū)間M=[a,b](a

16、-≥0，得x<-1或x≥1．∴A={x|x<-1或x≥1} (2)由(x-a-1)(2a-x)>0，得(x-a-1)(x-2a)<0．∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) 【特別提醒】 集合與不等式、集合與函數(shù)、集合與方程等，都有緊密聯(lián)系.因為集合是一種數(shù)學(xué)工具.在運用時注意知識的融會貫通.有時要用到分類討論，數(shù)形結(jié)合的思想. 【變式探究】 1 已知集合A={x|(a2-a)x+1=0，x∈R}，B={x|ax2-x+1=0，x∈R},若A∪B=?，則a的值為 ( ) A．0 B．1 C．0或1 D．0或4 易錯點4 簡易邏

17、輯 1．(2020模擬題精選)對任意實數(shù)a、b、c，給出下列命題： ①“a=b”是“ac=bc”的充要條件；②“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件；③“a>b”是“a2＞b2”的充分條件；④“a<5”是“a<3”的必要條件． 其中真命題的個數(shù)是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．(2020模擬題精選)給出下列三個命題 ①若a≥b＞-1，則 ②若正整數(shù)m和n滿足m≤n，則 ③設(shè)P(x1，y1)為圓O1：x2+y2=9上任一點，圓O2以Q(a，b)為圓心且半徑為1．當(dāng)(a-x1)2+(b-y1)2=1時，圓O1與圓O2相切

18、其中假命題的個數(shù)為 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 3．(2020模擬題精選)設(shè)原命題是“已知a，b，c，d是實數(shù)，若a=b，c=d，則a+c=b+d”，則它的逆否命題是( ) A.已知a，b，c，d是實數(shù)，若a+c≠b+d，則a≠b且c≠d B.已知a，b，c，d是實數(shù)，若a+c≠b+d，則a≠b或c≠d C.若a+c≠b+d，則a，b，c，d不是實數(shù)，且a≠b，c≠d D.以上全不對 【錯誤答案】 A 【錯解分析】 沒有分清“且”的否定是“或”，“或”的否定是“且”. 【正確解答】 B 逆否命題是“已知a，b，c，d是實數(shù)

19、，若a+c≠b+d，則a≠b或c≠d”． 4．(2020模擬題精選)已知c>0，設(shè)P：函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減；Q：不等式x+|x-2c|＞1的解集為R，如果P和Q有且僅有一個正確，求c的取值范圍． 【特別提醒】 1．在判斷一個結(jié)論是否正確時，若正面不好判斷，可以先假設(shè)它不成立，再推出矛盾， 這就是正難則反． 2．求解范圍的題目，要正確使用邏輯連結(jié)詞，“且”對應(yīng)的是集合的交集，“或”對應(yīng)的是集合的并集． 【變式探究】 1 已知條件P：|x+1|>2，條件q：5x-6>x2，則p是q的 ( ) A.充要條件 B．充分但不必要條件 C.必要但不充

20、分條件 D.既非充分也非必要條件 答案：Ｂ解析：p:x<-3或x>1,q:2

21、y+1=0與直線(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的 ( ) A.充分必要條件 B．充分而不必要條件 C.必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件 【錯誤答案】 A 【錯解分析】 當(dāng)兩直線垂直時，A1A2+B1B2=0，m2-4+3m(m+2)=0，即m=或m=-2；故不是充分必要條件． 【正確解答】 B 當(dāng)m=時兩直線垂直．兩直線垂直時m=或m=-2，故選B． 2．(2020模擬題精選)設(shè)定義域為R的函數(shù)f(x)=，則關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個不同實數(shù)解的充要條件是 ( ) A．b<0且c>0

22、 B．b>0且c<0 C．b<0且c=0 D．b≥0且c=0 3．(2020模擬題精選)若非空集合MN，則a∈M或a∈N是a∈(M∩N)的 ( ) A.充分但不必要條件 B．必要但不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 4．(2020模擬題精選)設(shè)命題p：關(guān)于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0與a2x2+b2x+c2>0的解集相同；命題q：，則命題p是命題g的 ( ) A.充分但不必要條件 B．必要但不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【特別提醒】 (1)要理解“充分條件”“必要條

23、件”的概念：當(dāng)“若p則q”形式的命題為真時，就記作pq稱p是q的充分條件，同時稱q是p的必要條件,因此判斷充分條件或必要條件就歸結(jié)為判斷命題的真假. (2)要理解“充要條件”的概念，對于符號“”要熟悉它的各種同義詞語：“等價于”，“當(dāng)且僅當(dāng)”，“必須并且只需”，“……，反之也真”等． (3)數(shù)學(xué)概念的定義具有相稱性，即數(shù)學(xué)概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據(jù)，又是概念所具有的性質(zhì)． (4)從集合觀點看，若AB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B，則A、B互為充要條依. (5)證明命題條件的充要性時，既要證明原命題成立(即條件的充分性

24、)，又要證明它的逆命題成立(即條件的必要性)． 【變式探究】 1 設(shè)ab、是非零向量，則使a·b=|a||b|成立的一個必要非充分條件是 ( ) A．a(chǎn)=b B．a(chǎn)⊥b C．a(chǎn)∥b D．a(chǎn)=λb(>0) 答案：Ｃ 解析：由a?b=|a| |b|可得a∥b;但a∥b, a?b=±|a| |b|, 故使a?b=|a| |b| 成立的一個必要充分條件是：a∥b.故選Ｃ. 2若條件甲：平面α內(nèi)任一直線平行于平面β，條件乙：平面α∥平面β，則條件甲是條件乙的 ( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C. 充要條件 D．既不充分又不必

25、要條件 答案：C 解析：甲乙可以互推。選Ｃ. 3.已知函數(shù)f(x)=ax+b(0≤x<1)，則a+2b>0是f(x)>0在[0，1]上恒成立的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既非充分又非必要條件 2．設(shè)集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝，則M∩N為(　　)． A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1] 解析　由題意得M＝{y|y＝|cos 2x|}＝[0,1]， N＝{x||x＋i|<}＝{x|x2＋1<2}＝(－1,1)， ∴M∩N＝[0,1)． 答案　C 3

26、．對于函數(shù)y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”是“y＝f(x)是奇函數(shù)”的(　　)． A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　若y＝f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)， ∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|， ∴y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱，但若y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函數(shù)． 答案　B 4．已知命題“函數(shù)f(x)、g(x)定義在R上，h(x)＝f(x)·g(x)，若f(x)、g(x)均為奇函數(shù)，則h(x)為偶函數(shù)”的原命

27、題、逆命題、否命題、逆否命題中正確命題的個數(shù)是(　　)． A．0 B．1 C．2 D．3 5．下列命題錯誤的是(　　)． A．命題“若m>0，則方程x2＋x－m＝0有實根”的逆否命題為：“若方程x2＋x－m＝0無實根，則m≤0” B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要條件 C．命題“若xy＝0，則x，y中至少有一個為零”的否定是：“若xy≠0，則x，y都不為零” D．對于命題p：?x∈R，使得x2＋x＋1<0；則綈p：?x∈R，均有x2＋x＋1≥0 8．已知命題p：?x∈R，使sin x＝；命題q：?x∈R，都有x2＋x＋1＞0，給出下列結(jié)論： ①命題“p∧q

28、”是真命題； ②命題“綈p∨綈q”是假命題； ③命題“綈p∨綈q”是真命題； ④命題“p∧q”是假命題． 其中正確的是________． 解析　命題p是假命題，命題q是真命題，故結(jié)論③④正確． 答案?、邰? 9．設(shè)a∈R，二次函數(shù)f(x)＝ax2－2x－2a.設(shè)不等式f(x)>0的解集為A，又知集合B＝{x|10}，B＝. (1)若A∩B＝?，求a的取值范圍； (2)當(dāng)a取使不等式x2＋1≥ax恒成立的a的最小值時，求(?RA)∩B. ∴?RA＝{y|－2≤y≤5

29、}． ∴(?RA)∩B＝{y|2≤y≤4}． 11．設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集．若對任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，則稱S為封閉集．給出下列命題： ①集合S＝{a＋bi|a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位}為封閉集； ②若S為封閉集，則一定有0∈S； ③封閉集一定是無限集； ④若S為封閉集，則滿足S?T?C的任意集合T也是封閉集． 其中的真命題是________(寫出所有真命題的序號)． 12．設(shè)p：實數(shù)x滿足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0，q：實數(shù)x滿足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，且綈p是綈q的必要而不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．