2020年高考數(shù)學 考點分析與突破性講練 專題13 三角函數(shù)圖像與性質(zhì) 理

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1、專題13 三角函數(shù)圖像與性質(zhì) 一、 考綱要求: 會運用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì) 二、 概念掌握及解題上的注意點： 1.函數(shù)對稱的重要結(jié)論 (1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖像關(guān)于直線x＝a對稱． (2)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖像關(guān)于點(a，b)中心對稱． (3)若函數(shù)y＝f(x)對定義域內(nèi)任意自變量x滿足：f(a＋x)＝f(a－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝a對稱． 其中(1)(2)為兩函數(shù)間的對稱，(3)為函數(shù)自身的對稱． 2.函數(shù)圖像的常用畫法 (1)直接法：當函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時，就可根

2、據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖像的關(guān)鍵點，進而直接作出圖象。 (2)轉(zhuǎn)化法：含有絕對值符號的函數(shù)，可脫掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫圖象． (3)圖象變換法：若函數(shù)圖像可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、伸縮、翻折、對稱得到，則可利用圖象變換作出 3.已知函數(shù)解析式選圖，從函數(shù)的下列性質(zhì)考慮 4.函數(shù)圖像應用的常見題型與求解方法 (1)研究函數(shù)性質(zhì)： ①根據(jù)已知或作出的函數(shù)圖象，從最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值. ②從圖像的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性. ③從圖像的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性. ④從圖與x軸的交點情況，分析函數(shù)的零點等. (2)研究方程根的個數(shù)或由方程根

3、的個數(shù)確定參數(shù)的值(范圍)：構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題，在同一坐標系中分別作出兩函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解. (3)研究不等式的解：當不等式問題不能用代數(shù)法求解，但其對應函數(shù)的圖象可作出時，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解. 三、 高考題例分析： 例1. (2020·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sin的最小正周期為(　　) A．4π　　　 B．2π C．π D． C　解析：函數(shù)f(x)＝sin的最小正周期T＝＝π.故選C 例2.(2020·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值為(　　) A．4　　　B．5　　　

4、C．6　　　D．7 例3.(2020·全國卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos，則下列結(jié)論錯誤的是(　　) A．f(x)的一個周期為－2π B．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱 C．f(x＋π)的一個零點為x＝ D．f(x)在單調(diào)遞減 D　解析：A項，因為f(x)＝cos的周期為2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一個周期為－2π，A項正確． B項，因為f(x)＝cos圖象的對稱軸為直線x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，B項正確． C項，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－π，當k＝1時，x＝，所以f(x＋π)的一個零點為x＝，C

5、項正確． D項，因為f(x)＝cos的遞減區(qū)間為(k∈Z)，遞增區(qū)間為(k∈Z)，所以是減區(qū)間，是增區(qū)間，D項錯誤． 故選D． 例4.（2020北京卷）設(shè)函數(shù)f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）對任意的實數(shù)x都成立，則ω的最小值為　?。? 解析：函數(shù)f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）對任意的實數(shù)x都成立，可得：，k∈Z，解得ω=，k∈Z，ω＞0 則ω的最小值為：． 故答案為：． 例5.（2020天津卷）將函數(shù)y=sin（2x+）的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)（　?。? A．在區(qū)間[，]上單調(diào)遞增 B．在區(qū)間[，π]上單調(diào)遞

6、減 C．在區(qū)間[，]上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間[，2π]上單調(diào)遞減 例6.（2020江蘇卷）已知函數(shù)y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的圖象關(guān)于直線x=對稱，則φ的值是　?。? 解析：∵y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的圖象關(guān)于直線x=對稱， ∴2×+φ=kπ+，k∈Z， 即φ=kπ﹣， ∵﹣φ＜， ∴當k=0時，φ=﹣， 故答案為：﹣． 三角函數(shù)圖像與性質(zhì)練習 一、 選擇題： 1．函數(shù)y＝的定義域為(　　) A． B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．R C　解析：由cos x－≥0，得cos x≥，∴2kπ－

7、≤x≤2kπ＋，k∈Z. 2．下列函數(shù)中，周期為π的奇函數(shù)為(　　) A．y＝sin xcos x　　　　　 B．y＝sin2x C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x 3．已知函數(shù)f(x)＝sin x＋acos x的圖象關(guān)于直線x＝對稱，則實數(shù)a的值為(　　) A．－ B．－ C． D． B　解析：由x＝是f(x)圖象的對稱軸， 可得f(0)＝f， 即sin 0＋acos 0＝sin＋acos， 解得a＝－. 4．已知函數(shù)f(x)＝sin－1(ω＞0)的最小正周期為，則f(x)的圖象的一條對稱軸方程是(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝

8、D．x＝ 5．已知ω＞0，函數(shù)f(x)＝sin在上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍可以是(　　) A． B． C． D．(0,2] A　解析：由＜x＜π，ω＞0得ω＋＜ωx＋＜πω＋，由題意結(jié)合選項，令?，所以所以≤ω≤. 6．函數(shù)y＝sin在區(qū)間上的簡圖是(　　) A　解析：令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D.由f＝0，f＝0，排除C． 7．函數(shù)f(x)＝tan ωx(ω＞0)的圖象的相鄰兩支截直線y＝2所得線段長為，則f的值是(　　) A．－　　　　　　　　　 B． C．1 D． D　解析：由題意可知該函數(shù)的周期為，所以＝，ω＝2，f(x)＝tan 2

9、x，所以f＝tan＝. 8．(2020·全國卷Ⅰ)將函數(shù)y＝2sin的圖象向右平移個周期后，所得圖象對應的函數(shù)為(　　) A．y＝2sin　　　　 B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 9．若函數(shù)y＝cos(ω∈N*)圖象的一個對稱中心是，則ω的最小值為(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 B　解析：由題意知＋＝kπ＋(k∈Z)?ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，所以ωmin＝2. 10．已知函數(shù)f(x)＝sin，將其圖象向右平移φ(φ＞0)個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則φ的最小值為(　　) A． B． C． D． B　解析：由題意，

10、得平移后的函數(shù)為y＝sin＝sin，則要使此函數(shù)為奇函數(shù)，則－2φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝－＋(k∈Z)，由φ＞0，得φ的最小值為，故選B. 11.已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為4π，且?x∈R，有f(x)≤f成立，則f(x)圖象的一個對稱中心坐標是(　　) A． B． C． D． 12.(2020·天津高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，則(　　) A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－ C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝ A　解析：∵f＝2，f＝0，且f(x)的

11、最小正周期大于2π， ∴f(x)的最小正周期為4＝3π， ∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin. ∴2sin＝2， 得φ＝2kπ＋，k∈Z. 又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝. 故選A． 二、 填空題 13．已知下列函數(shù)： ①f(x)＝2sin； ②f(x)＝2sin； ③f(x)＝2sin； ④f(x)＝2sin. 其中，最小正周期為π且圖象關(guān)于直線x＝對稱的函數(shù)的序號是________． 14．若函數(shù)f(x)＝sin(ω＞0)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且該函數(shù)圖象關(guān)于點(x0,0)成中心對稱，x0∈，則x0＝________. 　解析：由題意得＝，

12、T＝π，ω＝2.又2x0＋＝kπ(k∈Z)，x0＝－(k∈Z)，而x0∈，所以x0＝. 15．如圖，某地一天6—14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b(|φ|＜π)，則這段曲線的函數(shù)解析式可以為________． y＝10sin＋20(6≤x≤14)　 解析：由圖知A＝10，b＝20，T＝2(14－6)＝16，所以ω＝＝，所以y＝10sin＋20，把點(10,20)代入，得sin＝0，因為|φ|＜π，則φ可以取，所以這段曲線的函數(shù)解析式可以為y＝10sin＋20，x∈[6,14]． 16．已知角φ的終邊經(jīng)過點P(－4,3)，函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω

13、＞0)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，則f的值為________. 三、 解答題; 17．已知函數(shù)f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)． (1)求f(x)的最小正周期； (2)若將f(x)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值和最小值． [解]　(1)f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π) ＝cos x＋sin x＝2sin， 于是T＝＝2π. (2)由已知得g(x)＝f＝2sin. ∵x∈[0，π]，∴x＋∈， ∴sin∈， ∴g(x)＝2sin∈[－1,2]． 故函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，π]

14、上的最大值為2，最小值為－1. 18．已知函數(shù)f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． [解]　(1)因為f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin x·cos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1， 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝＝π. 19．已知函數(shù)y＝2sin. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)用“五點法”作出它在一個周期內(nèi)的圖象． [解]　(1)y＝2sin的振幅A＝2， 最小正周期T＝＝π，初相φ＝. (2)令X＝2x＋，則y＝2

15、sin＝2sin X. 列表： x － X 0 π 2π y＝sin X 0 1 0 －1 0 y＝2sin 0 2 0 －2 0 描點畫圖： 20．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象過點P，圖象上與點P最近的一個最高點是Q. (1)求函數(shù)的解析式； (2)求函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間． 21.(2020·天津高考)已知函數(shù)f(x)＝4tan x·sincos－. (1)求f(x)的定義域與最小正周期； (2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性． [解]　(1)f(x)的定義域為. f(x)＝4

16、tan xcos xcos－ ＝4sin xcos－ ＝4sin x－ ＝2sin xcos x＋2sin2x－ ＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)令z＝2x－，則函數(shù)y＝2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 設(shè)A＝， B＝，易知A∩B＝. 所以，當x∈時，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減． 22．(2020·山東高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3，已知f＝0. (1)求ω； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)在上的最小值． (2)由(1)得f(x)＝sin ， 所以g(x)＝sin ＝sin. 因為x∈， 所以x－∈. 當x－＝－，即x＝－時，g(x)取得最小值－.