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1、2020年高考數(shù)學(xué)（理）一輪經(jīng)典例題——充分條件與必要條件
例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的兩根，q：x1＋x2＝－5，則p是q的
[ ]
A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
分析 利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)換．
解 ∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的兩根，
∴x1，x2的值分別為1，－6，
∴x1＋x2＝1－6＝－5．
因此選A．
說明：判斷命題為假命題可以通過舉反例．
例2 p是q的充要條件的是
[ ]
A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5
B．p：a＞
2、2，b＜2，q：a＞b
C．p：四邊形的兩條對角線互相垂直平分，q：四邊形是正方形
D．p：a≠0，q：關(guān)于x的方程ax＝1有惟一解
分析 逐個(gè)驗(yàn)證命題是否等價(jià)．
解 對A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要條件；
對B．pq但qp，p是q的充分非必要條件；
對C．pq且qp，p是q的必要非充分條件；
說明：當(dāng)a＝0時(shí)，ax＝0有無數(shù)個(gè)解．
例3 若A是B成立的充分條件，D是C成立的必要條件，C是B成立的充要條件，則D是A成立的
[ ]
A．充分條件 B．必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
分析 通過B、C
3、作為橋梁聯(lián)系A(chǔ)、D．
解 ∵A是B的充分條件，∴AB①
∵D是C成立的必要條件，∴CD②
由①③得AC④
由②④得AD．
∴D是A成立的必要條件．選B．
說明：要注意利用推出符號的傳遞性．
例4 設(shè)命題甲為：0＜x＜5，命題乙為|x－2|＜3，那么甲是乙的
[ ]
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
分析 先解不等式再判定．
解 解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5．
∵0＜x＜5－1＜x＜5，但－1＜x＜50＜x＜5
∴甲是乙的充分不必要條件，選A．
說明：一般情況下，如果條件甲為x∈A，條件乙
4、為x∈B．
當(dāng)且僅當(dāng)A＝B時(shí)，甲為乙的充要條件．
例5 設(shè)A、B、C三個(gè)集合，為使A(B∪C)，條件AB是
[ ]
A．充分條件 B．必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
分析 可以結(jié)合圖形分析．請同學(xué)們自己畫圖．
∴A(B∪C)．
但是，當(dāng)B＝N，C＝R，A＝Z時(shí)，
顯然A(B∪C)，但AB不成立，
綜上所述：“AB”“A(B∪C)”，而
“A(B∪C)”“AB”．
即“AB”是“A(B∪C)”的充分條件(不必要)．選A．
說明：畫圖分析時(shí)要畫一般形式的圖，特殊形式的圖會(huì)掩蓋真實(shí)情況．
例6 給出下列各組條件：
(1)
5、p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有實(shí)根；
(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1．
其中p是q的充要條件的有
[ ]
A．1組 B．2組
C．3組 D．4組
分析 使用方程理論和不等式性質(zhì)．
解 (1)p是q的必要條件
(2)p是q充要條件
(3)p是q的充分條件
(4)p是q的必要條件．選A．
說明：ab＝0指其中至少有一個(gè)為零，而a2＋b2＝0指兩個(gè)都為零．
分析 將前后兩個(gè)不等式組分別作等價(jià)變形，觀察兩者之間的關(guān)系．
例
6、8 已知真命題“a≥bc＞d”和“a＜be≤f”，則“c≤d”是“e≤f”的________條件．
分析 ∵a≥bc＞d(原命題)，
∴c≤da＜b(逆否命題)．
而a＜be≤f，
∴c≤de≤f即c≤d是e≤f的充分條件．
答 填寫“充分”．
說明：充分利用原命題與其逆否命題的等價(jià)性是常見的思想方法．
例9 ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是
[ ]
A．0＜a≤1 B．a(chǎn)＜1
C．a(chǎn)≤1 D．0＜a≤1或a＜0
分析 此題若采用普通方法推導(dǎo)較為復(fù)雜，可通過選項(xiàng)提供的信息，用排除法解之．當(dāng)a＝1時(shí)，方程有負(fù)根x＝－1，當(dāng)a＝0時(shí)，x＝
7、
當(dāng)a≠0時(shí)
綜上所述a≤1．
即ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是a≤1．
說明：特殊值法、排除法都是解選擇題的好方法．
例10 已知p、q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么s，r，p分別是q的什么條件？
分析 畫出關(guān)系圖1－21，觀察求解．
解 s是q的充要條件；(srq，qs)
r是q的充要條件；(rq，qsr)
p是q的必要條件；(qsrp)
說明：圖可以畫的隨意一些，關(guān)鍵要體現(xiàn)各個(gè)條件、命題之間的邏輯關(guān)系．
例11 關(guān)于x的不等式
分析 化簡A和B，結(jié)合數(shù)軸，構(gòu)造不等式(組)，求出a．
解
8、 A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}
B＝{x|2≤x≤3a＋1}．
B＝{x|3a＋1≤x≤2}
說明：集合的包含關(guān)系、命題的真假往往與解不等式密切相關(guān)．在解題時(shí)要理清思路，表達(dá)準(zhǔn)確，推理無誤．
要條件？
分析 將充要條件和不等式同解變形相聯(lián)系．
說明：分類討論要做到不重不漏．
例13 設(shè)α，β是方程x2－ax＋b＝0的兩個(gè)實(shí)根，試分析a＞2且b＞1是兩根α，β均大于1的什么條件？
分析 把充要條件和方程中根與系數(shù)的關(guān)系問題相聯(lián)系，解題時(shí)需
∴qp．
上述討論可知：a＞2，b＞1是α＞1，β＞1的必要但不充分條件．
說明：本題中的討論內(nèi)容在二次方程的根的分布理論中常被使用．
例14 (1991年全國高考題)設(shè)甲、乙、丙是三個(gè)命題，如果甲是乙的必要條件，丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，那么
[ ]
A．丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件
B．丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件
C．丙是甲的充要條件
D．丙不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件
分析1：由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不必要條件．
分析2：畫圖觀察之．
答：選A．
說明：抽象命題之間的邏輯關(guān)系通?？慨媹D觀察比較方便
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