2020年高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題 兩平面的平行判定和性質(zhì) 理

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1、2020年高考數(shù)學(xué)（理）一輪經(jīng)典例題——兩平面的平行判定和性質(zhì) 典型例題一 例1：已知正方體． 求證：平面平面． 證明：∵為正方體， ∴，? 又 平面， 故?平面． 同理?平面． 又?， ∴ 平面平面． 說(shuō)明：上述證明是根據(jù)判定定理1實(shí)現(xiàn)的．本題也可根據(jù)判定定理2證明，只需連接即可，此法還可以求出這兩個(gè)平行平面的距離． 典型例題二 例2：如圖，已知，，． 求證：． 證明：過(guò)直線(xiàn)作一平面，設(shè)，． ∵ ∴ 又 ∴ 在同一個(gè)平面內(nèi)過(guò)同一點(diǎn)有兩條直線(xiàn)與直線(xiàn)平行 ∴與重合

2、，即． 說(shuō)明：本題也可以用反證法進(jìn)行證明． 典型例題三 例3：如果一條直線(xiàn)與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，那么它和另一個(gè)也相交． 已知：如圖，，． 求證：與相交． 證明：在上取一點(diǎn)，過(guò)和作平面，由于與α有公共點(diǎn)，與有公共點(diǎn)． ∴與、都相交． 設(shè)，． ∵ ∴ 又、、都在平面內(nèi)，且和交于． ∵與相交． 所以與相交． 典型例題四 例4：已知平面，，為夾在，間的異面線(xiàn)段，、分別為、的中點(diǎn)． 求證： ，． 證明：連接并延長(zhǎng)交于． ∵ ∴?，確定平面，且，． ∵，所以?， ∴ ， 又?，， ∴ △≌△． ∴ ． 又 ， ∴ ，

3、． 故?． 同理 說(shuō)明：本題還有其它證法，要點(diǎn)是對(duì)異面直線(xiàn)的處理． 典型例題六 例6　如圖，已知矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在平面上的射影分別為、、、，且、、、互不重合，也無(wú)三點(diǎn)共線(xiàn)． 求證：四邊形是平行四邊形． 證明：∵， ∴ 不妨設(shè)和確定平面． 同理 和確定平面． 又，且 ∴ 同理 又 ∴ 又， ∴． 同理． ∴四邊形是平行四邊形． 典型例題七 例7　設(shè)直線(xiàn)、，平面、，下列條件能得出的是（　　）． A．，，且，　　B．，，且 C．，，且　　　　　　D．，，且 分析：選項(xiàng)A是錯(cuò)誤

4、的，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，與可能相交．選項(xiàng)B是錯(cuò)誤的，理由同A．選項(xiàng)C是正確的，因?yàn)?，，所以，又∵，∴．選項(xiàng)D也是錯(cuò)誤的，滿(mǎn)足條件的可能與相交． 答案：C 說(shuō)明：此題極易選A，原因是對(duì)平面平行的判定定理掌握不準(zhǔn)確所致． 本例這樣的選擇題是常見(jiàn)題目，要正確得出選擇，需要有較好的作圖能力和對(duì)定理、公理的準(zhǔn)確掌握、深刻理解，同時(shí)要考慮到各種情況． 典型例題八 例8　設(shè)平面平面，平面平面，且、分別與相交于、，．求證：平面平面． 分析：要證明兩平面平行，只要設(shè)法在平面上找到兩條相交直線(xiàn)，或作出相交直線(xiàn)，它們分別與平行（如圖）． 證明：在平面內(nèi)作直線(xiàn)直線(xiàn)，在平面內(nèi)作直線(xiàn)直線(xiàn)． ∵平面平面，

5、∴平面，平面， ∴． 又∵，，， ∴平面平面． 說(shuō)明：如果在、內(nèi)分別作，，這樣就走了彎路，還需證明、在、內(nèi)，如果直接在、內(nèi)作、的垂線(xiàn)，就可推出． 由面面垂直的性質(zhì)推出“線(xiàn)面垂直”，進(jìn)而推出“線(xiàn)線(xiàn)平行”、“線(xiàn)面平行”，最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行”．其核心是要形成應(yīng)用性質(zhì)定理的意識(shí)，在立體幾何證明中非常重要． 典型例題九 例9　如圖所示，平面平面，點(diǎn)、，點(diǎn)，是、的公垂線(xiàn)，是斜線(xiàn)．若，，、分別是和的中點(diǎn)， (1)求證：； (2)求的長(zhǎng)． 分析：（1）要證，取的中點(diǎn)，只要證明所在的平面．為此證明，即可．(2)要求之長(zhǎng)，在中，、的長(zhǎng)度易知，關(guān)鍵在于證明，從而由勾

6、股定理可以求解． 證明：(1)連結(jié)，設(shè)是的中點(diǎn)，分別連結(jié)、． ∵是的中點(diǎn)，∴． 又，∴． 同理∵是的中點(diǎn)，∴． ∵，∴． ∵，，∴平面． ∵平面，∴． (2)分別連結(jié)、． ∵，， 又∵是、的公垂線(xiàn)，∴， ∴≌，∴， ∴是等腰三角形． 又是的中點(diǎn)，∴． 在中，． 說(shuō)明：(1)證“線(xiàn)面平行”也可以先證“面面平行”，然后利用面面平行的性質(zhì)，推證“線(xiàn)面平行”，這是一種以退為進(jìn)的解題策略． (2)空間線(xiàn)段的長(zhǎng)度，一般通過(guò)構(gòu)造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理來(lái)求解． (3)面面平行的性質(zhì)：①面面平行，則線(xiàn)面平行；②面面平行，則被第三個(gè)平面所截得的交線(xiàn)平行．

7、典型例題十 例10 如果平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與平面所成的角相等，那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是__________． 分析：按直線(xiàn)和平面的三種位置關(guān)系分類(lèi)予以研究． 解：設(shè)、是平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)． (1)若、都在平面內(nèi)，、與平面所成的角都為，這時(shí)與重合，根據(jù)教材中規(guī)定，此種情況不予考慮． (2)若、都與平面相交成等角，且所成角在內(nèi)； ∵、與有公共點(diǎn)，這時(shí)與相交． 若、都與平面成角，則，與已知矛盾．此種情況不可能． (3)若、都與平面平行，則、與平面所成的角都為，內(nèi)有兩條直線(xiàn)與平面平行，這時(shí)． 綜上，平面、的位置關(guān)系是相交或平行． 典型例題十一 例11　試證經(jīng)過(guò)平面外

8、一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知平面平行． 已知：， 求證：過(guò)有且只有一個(gè)平面． 分析：“有且只有”要準(zhǔn)確理解，要先證這樣的平面是存在的，再證它是惟一的，缺一不可． 證明：在平面內(nèi)任作兩條相交直線(xiàn)和，則由知，，． 點(diǎn)和直線(xiàn)可確定一個(gè)平面，點(diǎn)和直線(xiàn)可確定一個(gè)平面． 在平面、內(nèi)過(guò)分別作直線(xiàn)、， 故、是兩條相交直線(xiàn)，可確定一個(gè)平面． ∵，，，∴． 同理． 又，，，∴． 所以過(guò)點(diǎn)有一個(gè)平面． 假設(shè)過(guò)點(diǎn)還有一個(gè)平面， 則在平面內(nèi)取一直線(xiàn)，，點(diǎn)、直線(xiàn)確定一個(gè)平面，由公理2知： ，， ∴，， 又，， 這與過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行相矛盾，因此假設(shè)不成立， 所以平面

9、只有一個(gè)． 所以過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行． 典型例題十二 例12　已知點(diǎn)是正三角形所在平面外的一點(diǎn)，且，為上的高，、、分別是、、的中點(diǎn)，試判斷與平面內(nèi)的位置關(guān)系，并給予證明 分析1：如圖，觀(guān)察圖形，即可判定平面，要證明結(jié)論成立，只需證明與平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行． 觀(guān)察圖形可以看出：連結(jié)與相交于，連結(jié)，就是適合題意的直線(xiàn)． 怎樣證明？只需證明是的中點(diǎn)． 證法1：連結(jié)交于點(diǎn)， ∵是的中位線(xiàn)， ∴． 在中，是的中點(diǎn)，且， ∴為的中點(diǎn)． ∵是的中位線(xiàn)，∴． 又平面，平面， ∴平面． 分析2：要證明平面，只需證明平面平面，要證明平面平面，只需證明，而

10、，可由題設(shè)直接推出． 證法2：∵為的中位線(xiàn)， ∴． ∵平面，平面， ∴平面． 同理：平面，， ∴平面平面，又∵平面， ∴平面． 典型例題十三 例13　如圖，線(xiàn)段分別交兩個(gè)平行平面、于、兩點(diǎn)，線(xiàn)段分別交、于、兩點(diǎn)，線(xiàn)段分別交、于、兩點(diǎn)，若，，，的面積為72，求的面積． 分析：求的面積，看起來(lái)似乎與本節(jié)內(nèi)容無(wú)關(guān)，事實(shí)上，已知的面積，若與的對(duì)應(yīng)邊有聯(lián)系的話(huà)，可以利用的面積求出的面積． 解：∵平面，平面， 又∵，∴． 同理可證：，∴與相等或互補(bǔ)，即． 由，得， ∴ 由，得：，∴． 又∵的面積為72，即． ∴ ． ∴的面積為84平方單位． 說(shuō)明：

11、應(yīng)用兩個(gè)平行的性質(zhì)一是可以證明直線(xiàn)與直線(xiàn)的平行，二是可以解決線(xiàn)面平行的問(wèn)題．注意使用性質(zhì)定理證明線(xiàn)線(xiàn)平行時(shí)，一定第三個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交，其交線(xiàn)互相平行． 典型例題十四 例14 在棱長(zhǎng)為的正方體中，求異面直線(xiàn)和之間的距離． 分析：通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們解決了如下的問(wèn)題：若和是兩條異面直線(xiàn)，則過(guò)且平行于的平面必平行于過(guò)且平行于的平面．我們知道，空間兩條異面直線(xiàn)，總分別存在于兩個(gè)平行平面內(nèi)．因此，求兩條異面直線(xiàn)的距離，有時(shí)可以通過(guò)求這兩個(gè)平行平面之間的距離來(lái)解決． 具體解法可按如下幾步來(lái)求：①分別經(jīng)過(guò)和找到兩個(gè)互相平等的平面；②作出兩個(gè)平行平面的公垂線(xiàn)；③計(jì)算公垂線(xiàn)夾在兩個(gè)平等平面間

12、的長(zhǎng)度． 解：如圖， 根據(jù)正方體的性質(zhì)，易證： 連結(jié)，分別交平面和平面于和 因?yàn)楹头謩e是平面的垂線(xiàn)和斜線(xiàn)，在平面內(nèi)， 由三垂線(xiàn)定理：，同理： ∴平面，同理可證：平面 ∴平面和平面間的距離為線(xiàn)段長(zhǎng)度． 如圖所示： 在對(duì)角面中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn) ∴． ∴和的距離等于兩平行平面和的距離為． 說(shuō)明：關(guān)于異面直線(xiàn)之間的距離的計(jì)算，有兩種基本的轉(zhuǎn)移方法：①轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面距．設(shè)、是兩條異面直線(xiàn)，作出經(jīng)過(guò)而和平行的平面，通過(guò)計(jì)算和的距離，得出和距離，這樣又回到點(diǎn)面距離的計(jì)算；②轉(zhuǎn)化為面面距，設(shè)、是兩條異面直線(xiàn)，作出經(jīng)過(guò)而和平行的平面，再作出經(jīng)過(guò)和平行的平面，通過(guò)計(jì)算、之間的距

13、離得出和之間的距離． 典型例題十五 例15　正方體棱長(zhǎng)為，求異面直線(xiàn)與的距離． 解法1：（直接法）如圖： 取的中點(diǎn)，連結(jié)、分別交、于、兩點(diǎn)， 易證：，，． ∴為異面直線(xiàn)與的公垂線(xiàn)段，易證：． 小結(jié)：此法也稱(chēng)定義法，這種解法是作出異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)段來(lái)解．但通常尋找公垂線(xiàn)段時(shí)，難度較大． 解法2：（轉(zhuǎn)化法）如圖： ∵平面， ∴與的距離等于與平面的距離， 在中，作斜邊上的高，則長(zhǎng)為所求距離， ∵，， ∴，∴． 小結(jié)：這種解法是將線(xiàn)線(xiàn)距離轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面距離． 解法3：（轉(zhuǎn)化法）如圖： ∵平面平面， ∴與的距離等于平面與平面的距離． ∵平面，且被平面和

14、平面三等分； ∴所求距離為． 小結(jié)：這種解法是線(xiàn)線(xiàn)距離轉(zhuǎn)化為面面距離． 解法4：（構(gòu)造函數(shù)法）如圖： 任取點(diǎn)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，設(shè)， 則，，且 ∴． 則 ， 故的最小值，即與的距離等于． 小結(jié)：這種解法是恰當(dāng)?shù)倪x擇未知量，構(gòu)造一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)求這個(gè)函數(shù)的最小值來(lái)得到二異面直線(xiàn)之間的距離． 解法5：（體積橋法）如圖： 當(dāng)求與的距離轉(zhuǎn)化為求與平面的距離后，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為， 則． ∵， ∴．即與的距離等于． 小結(jié)：本解法是將線(xiàn)線(xiàn)距離轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面距離，再將線(xiàn)面距離轉(zhuǎn)化為錐體化為錐體的高，然后用體積公式求之．這種方法在后面將要學(xué)到． 說(shuō)明：求異面直線(xiàn)距離的方法

15、有： (1)（直接法）當(dāng)公垂線(xiàn)段能直接作出時(shí)，直接求．此時(shí)，作出并證明異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)段，是求異面直線(xiàn)距離的關(guān)鍵． (2)（轉(zhuǎn)化法）把線(xiàn)線(xiàn)距離轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面距離，如求異面直線(xiàn)、距離，先作出過(guò)且平行于的平面，則與距離就是、距離．（線(xiàn)面轉(zhuǎn)化法）． 也可以轉(zhuǎn)化為過(guò)平行的平面和過(guò)平行于的平面，兩平行平面的距離就是兩條異面直線(xiàn)距離．（面面轉(zhuǎn)化法）． (3)（體積橋法）利用線(xiàn)面距再轉(zhuǎn)化為錐體的高用何種公式來(lái)求． (4)（構(gòu)造函數(shù)法）常常利用距離最短原理構(gòu)造二次函數(shù)，利用求二次函數(shù)最值來(lái)解． 兩條異面直線(xiàn)間距離問(wèn)題，教科書(shū)要求不高（要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線(xiàn)時(shí)的距離），這方面的問(wèn)題的其他解法，要適度接觸

16、，以開(kāi)闊思路，供學(xué)有余力的同學(xué)探求． 典型例題十六 例16　如果，和是夾在平面與之間的兩條線(xiàn)段，，且，直線(xiàn)與平面所成的角為，求線(xiàn)段長(zhǎng)的取值范圍． 解法1：如圖所示： 作于，連結(jié)、、 ∵，，， ∴在中，由余弦定理，得： ． ∵，∴是與所在的角． 又∵， ∴也就等于與所成的角，即． ∵， ∴，，，， ∴，即：． ∴，即長(zhǎng)的取值范圍為． 解法2：如圖： ∵ ∴必在過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的平面內(nèi) 設(shè)，則在內(nèi)，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最短，且此時(shí) 而在內(nèi)，點(diǎn)在上移動(dòng)，遠(yuǎn)離垂足時(shí)，的長(zhǎng)將變大， 從而， 即長(zhǎng)的取值范圍是． 說(shuō)明：(1)本題考查直線(xiàn)和直線(xiàn)、直線(xiàn)和平面、

17、平面和平面的位置關(guān)系，對(duì)于運(yùn)算能力和空間想象能力有較高的要求，供學(xué)有余力的同學(xué)學(xué)習(xí)． (2)解法1利用余弦定理，采用放縮的方法構(gòu)造出關(guān)于長(zhǎng)的不等式，再通過(guò)解不等式得到長(zhǎng)的范圍，此方法以運(yùn)算為主． (3)解法2從幾何性質(zhì)角度加以解釋說(shuō)明，避免了繁雜的運(yùn)算推導(dǎo)，但對(duì)空間想象能力要求很高，根據(jù)此解法可知線(xiàn)段是連結(jié)異面直線(xiàn)和上兩點(diǎn)間的線(xiàn)段，所以是與的公垂線(xiàn)段時(shí)，其長(zhǎng)最短． 典型例題十七 例17　如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行． 已知：，，求證：． 分析：本題考查面面平行的判定和性質(zhì)定理以及邏輯推理能力．由于兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)稱(chēng)兩平面平行，帶有否定性結(jié)論的命題常

18、用反證法來(lái)證明，因此本題可用反證法證明．另外也可以利用平行平面的性質(zhì)定理分別在三個(gè)平面內(nèi)構(gòu)造平行且相交的兩條直線(xiàn)，利用線(xiàn)線(xiàn)平行來(lái)推理證明面面平行，或者也可以證明這兩個(gè)平面同時(shí)垂直于某一直線(xiàn)． 證明一：如圖， 假設(shè)、不平行，則和相交． ∴和至少有一個(gè)公共點(diǎn)，即，． ∵，， ∴． 于是，過(guò)平面外一點(diǎn)有兩個(gè)平面、都和平面平行， 這和“經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行”相矛盾，假設(shè)不成立。 ∴． 證明二：如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與相交． ∵，∴與也相交． ∵，∴與也相交． 過(guò)作兩相交平面分別與交于直線(xiàn)、，且與、，交于直線(xiàn)、． ∵，∴． ∵，∴．

19、 ∴． ∵，， ∴． 同理． 又∵，、， ∴． 證明三：如圖，任作直線(xiàn)， ∵，∴． ∵，∴． ∴． 說(shuō)明：證明兩個(gè)平面平行，可根據(jù)定義、應(yīng)用判定定理來(lái)證明． 典型例題十八 例18　如圖，已知、是異面直線(xiàn)，求證：過(guò)和分別存在平面和，使． 分析：本題考查面面平行及線(xiàn)面垂直的判定和綜合推理能力．根據(jù)前面學(xué)過(guò)的知識(shí)，過(guò)異面直線(xiàn)中的一條有且僅有一個(gè)平面與另一條平行．這樣過(guò)和分別有平面與另一條線(xiàn)平行．那么這兩個(gè)平面是不是互相平行呢？這兩個(gè)平面是不是就是我們所要找的和？ 證明：在直線(xiàn)上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)． 故過(guò)和可確定一平面記為， 在直線(xiàn)上任取一點(diǎn)． 過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)． 同理過(guò)和可確定一平面，記為． ∵，， ∴．同理． ∵，，． ∴． 說(shuō)明：由此題結(jié)論可知，兩異面直線(xiàn)必定存在于兩個(gè)互相平行的平面中．所以?xún)僧惷嬷本€(xiàn)間的距離就可轉(zhuǎn)化為兩平行平面間的距離（本題易證和的公垂線(xiàn)段垂直于兩平行平面）．