2020年高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題 不等式性質(zhì) 理

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1、2020年高考數(shù)學(xué)（理）一輪經(jīng)典例題——不等式性質(zhì) 例1 比較與的大小，其中． 解： ， ， ， ， ∴ ． 說明：由例1可以看出實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)是：①； ②；③． 典型例題二 例2 比較與的大小，其中 解： ， ， ， ， ， ∴ 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， 說明：兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小，通常用作差法來進(jìn)行，其一般步驟是：第一步：作差；第二步：變形，常采用配方，因式分解等恒等變形手段；第三步：定號(hào)，貴州省是能確定是大于0，還是等于0，還是小于0．最后得結(jié)論．概括為“三步，—結(jié)論”，這里的“變形”一步最為關(guān)鍵． 典型例題三 例3 ，比較與（）的大?。? 分

2、析：直接作差需要將與（）展開，過程復(fù)雜，式子冗長(zhǎng)，可否考慮根據(jù)兩個(gè)式子特點(diǎn)，予以變形，再作差． 解：∵=（） ， ， ∴ ． 則有時(shí)，（）恒成立． 說明：有的確問題直接作差不容易判斷其符號(hào)，這時(shí)可根據(jù)兩式的特點(diǎn)考慮先變形，到比較易于判斷符號(hào)時(shí)，再作差，予以比較，如此例就是先變形后，再作差． 典型例題四 例4 設(shè)，比較與的大?。? 解：作差， 1）當(dāng)時(shí)，即， ∴ ； 2）當(dāng)，即時(shí)，， ∴； 3）當(dāng)?shù)?，即或時(shí)，， ∴． 說明：如本題作差，變形，變形到最簡(jiǎn)形式時(shí)，由于式中含有字母，不能定號(hào)，必須對(duì)字母根據(jù)式子具體特點(diǎn)分類討論才能定號(hào)．此時(shí)要注意分類合理恰當(dāng)．

3、 典型例題五 例5 比較與的大小 分析：兩個(gè)數(shù)是冪的形式，比較大小一般采用作商法。 解： 說明：求商法比大小的變形要圍繞與1比大小進(jìn)行． 典型例題六 例6　設(shè)，且，比較：與的大小。 分析：比較大小一般方法是求差法或求商法，利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，然后確定大小。 解： 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)， 即， 又， 說明：求商法的基本步驟是：①求商，②變形，③與1比大小從而確定兩個(gè)數(shù)的大小. 典型例題七 例7 實(shí)數(shù)滿足條件：①；②；③，則有( ) A．　　　　 B． C．　　　　 D． （天津市2001年南開中學(xué)期末

4、試題） 分析：先由條件②③分析出與的關(guān)系，根據(jù)條件利用①用數(shù)軸數(shù)形結(jié)合比出大?。? 解：∵，∴與同側(cè) ∵，∴與異側(cè) ∵ ∴把標(biāo)在數(shù)軸上，只有下面一種情況 由此得出，∴此題選D． 說明：比較大小時(shí)可以借助于數(shù)軸，利用推出的一些結(jié)論在數(shù)軸上標(biāo)出它們的相對(duì)位置，這樣容易看出幾個(gè)數(shù)之間的大小關(guān)系，尤其是比較的個(gè)數(shù)較多時(shí)適用． 典型例題八 例8　已知①；②，求：的取值范圍． 分析：此題是給代數(shù)式的字母的范圍，求另外代數(shù)式的范圍．分為兩步來進(jìn)行：(1)利用待定系數(shù)法將代數(shù)式用和表示．(2)利用不等式性質(zhì)及題目條件確定的范圍． 解：設(shè)： 由①+②×2得： ：． 說明：此

5、題的一種典型錯(cuò)誤做法，如下： ，即： ： 此解法的錯(cuò)誤原因是因?yàn)榕c是兩個(gè)相互聯(lián)系，相互制約的量，而不是各自獨(dú)立的，當(dāng)取到最大值或最小值時(shí)，不一定能取到最值，所以用以上方法可能擴(kuò)大變量的范圍． 避免出錯(cuò)的方法是通過待定系數(shù)法“整體代入”，見解題過程． 典型例題九 例9　判斷下列各命題的真假，并說明理由． （1）若，則 （2）若，則 （3）若，則 （4）若，則 （5）若，則 （6）若，則 分析：利用不等式的性質(zhì)來判斷命題的真假． 解：（1），是真命題． （2）可用賦值法：，有，是假命題． 也可這樣說明：， ∵　，只能確定， 但的符號(hào)無法確定，從而

6、的符號(hào)確定不了，所以無法得到，實(shí)際上有： （3）與（2）類似，由，從而是假命題． （4）取特殊值： 有，∴　是假命題． 定理3的推論是同向不等式可相加，但同向不等式相減不一定成立．只有異向不等式可相減，即 （5），　∴是真命題． （6）定理4成立的條件為必須是正數(shù)． 舉反例： ，則有 說明：在利用不等式的性質(zhì)解題時(shí)，一定要注意性質(zhì)定理成立的條件．要說明一個(gè)命題是假命題可通過舉反例． 典型例題十 例10　求證： 分析：把已知的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為差數(shù)的正負(fù)，再利用不等式的性質(zhì)完成推理． 證明：利用不等式的性質(zhì)，得 典型例題十一 例11　若，則下面不

7、等式中成立的一個(gè)是（　　?。? （A）　　　　　（B） （C）　　　　　　　?。―） 解：由不等式的性質(zhì)知：（A）、（B）、（C）成立的條件都不充分，所以選（D），其實(shí)（D）　正是異向不等式相減的結(jié)果． 說明：本的解法都是不等式性質(zhì)的基本應(yīng)用，對(duì)于不等式的基本性質(zhì)要逐條掌握準(zhǔn)確，以便靈活應(yīng)用． 典型例題十二 例12　若，則下面各式中恒成立的是（　　　）． （A）　　　?。˙） （C）　　　　　（D） 分析　本題考查是否能正確使用不等式的性質(zhì)來進(jìn)行變形，應(yīng)看到，已知條件中含有兩個(gè)內(nèi)容，即，和，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，，繼而得到且，故，因此選A． 典型例題十三 例1

8、3 若，則一定成立的不等式是（　?。? A． B． C． D． 分析：A錯(cuò)，當(dāng)時(shí)有；同樣B錯(cuò)；D沒有考慮各數(shù)取零和正負(fù)號(hào)的關(guān)系，所以也不對(duì)． 故選C，因?yàn)椴坏仁絻蛇呁瑫r(shí)加上一個(gè)任意數(shù)（此題是），原不等式成立． 說明：這類題可以采用特例法：令即得C成立． 典型例題十四 例14　已知：，求證：． 分析：要證明的式子中，左右均為二項(xiàng)差，其中都有一項(xiàng)是兩字母積的形式，因此在證明時(shí)，對(duì)兩項(xiàng)積要注意性質(zhì)的使用，對(duì)兩項(xiàng)差的證明要注意使用同向加性或異向減性來處理． 證明： 又∴由同向加性可得：． 說明：此題還可采用異向減性來處理：做這類題過程并不復(fù)雜，關(guān)鍵

9、是記準(zhǔn)性質(zhì)，并能正確地應(yīng)用． 典型例題十五 例15已知集合求：． 分析：要求，需要先求集合和，從已知來看，的范圍容易求，的元素由可以推算，但在推算過程中，要注意運(yùn)用不等式的性質(zhì)． 解： 說明：本題中的條件，意在明確集合中的元素為，若去掉此條件，會(huì)出現(xiàn)不確定的情況．比如，的實(shí)數(shù)和的整數(shù)顯然是有區(qū)別的．另外，這里集合的元素是通過集合的元素求出的，解題時(shí)，一定要看清． 典型例題十六 例16 設(shè)和都是非零實(shí)數(shù)，求不等式和同時(shí)成立的充要條件． 分析：本題是求兩個(gè)不等式同時(shí)成立的充要條件，因此，這兩個(gè)不等式不能分開來討論．如果分開討論，則成立

10、的條件就是本身；而成立的條件則是與同號(hào)，且，但這個(gè)條件只是的一個(gè)充分條件，并且與第一個(gè)不等式是矛盾的．所以必須研究這兩個(gè)不等式同時(shí)成立的條件．顯然，應(yīng)該從求它們同時(shí)成立的必要條件入手． 解：先求，同時(shí)成立的必要條件，即當(dāng)，同時(shí)成立時(shí)，與應(yīng)具備什么條件． 由，得 由可知，再由知，即與異號(hào)，因此是不等式與同時(shí)成立的必要條件． 再求，同時(shí)成立的充分條件． 事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，必有，且，因而成立．從而是不等式，同時(shí)成立的充分條件． 因此，兩個(gè)不等式，同時(shí)成立的充要條件是． 說明：本題結(jié)果表明，與同時(shí)成立，其充要條件是為正數(shù)，為負(fù)數(shù)．這與成立的條件，不要混淆．解本題是從必要條件入手的，即若，同時(shí)

11、成立，則要研究從不等式和看與的大小有什么關(guān)系，從中得出結(jié)論（），再把這個(gè)結(jié)論作為一個(gè)充分條件去驗(yàn)證及能否同時(shí)成立．從而解決了本題． 典型例題十七 例17　已知函數(shù)滿足：則應(yīng)滿足（　?。? （A）　　　　　（B） （C）　　　　?。―） 分析：如果能用與將“線性”表示出：，就可利用不等式的基本性質(zhì)，由、的取值范圍，推出滿足的條件． 解：∵ ∴ 故 　　　 由不等式的基本性質(zhì)，得 故選（C）. 說明：（1）也可設(shè)，由代定系數(shù)法求得，． （2）下面的錯(cuò)誤是值得引以為戒的∵ 　 又　 ∴　 故選（A） 上述推理錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因是由于將條件 化為使、的取值范圍擴(kuò)大所致．事實(shí)上，作為點(diǎn)集 與之間的關(guān)系是，如圖點(diǎn)集N是圖中亂世形OABD所圍成的區(qū)域，點(diǎn)集M是由平行四邊形MNBP所圍成的區(qū)域，這樣就直觀地表現(xiàn)了，揭示了上述解法的錯(cuò)誤．