2020年高考數學一輪經典例題 離散型隨機變量的期望與方差 理

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1、開鎖次數的數學期望和方差 例 有n把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有一把能把大門上的鎖打開．用它們去試開門上的鎖．設抽取鑰匙是相互獨立且等可能的．每把鑰匙試開后不能放回．求試開次數的數學期望和方差． 分析：求時，由題知前次沒打開，恰第k次打開．不過，一般我們應從簡單的地方入手，如，發(fā)現規(guī)律后，推廣到一般． 解：的可能取值為1，2，3，…，n． ；所以的分布列為： 1 2 … k … n … … ； 說明：復雜問題的簡化處理，即從個數較小的看起，找出規(guī)律所在，進而推廣到一般，方差的公式正確使用后，

2、涉及一個數列求和問題，合理拆項，轉化成熟悉的公式，是解決的關鍵． 次品個數的期望 例 某批數量較大的商品的次品率是5％，從中任意地連續(xù)取出10件，為所含次品的個數，求． 分析：數量較大，意味著每次抽取時出現次品的概率都是0.05，可能取值是：0，1，2，…，10．10次抽取看成10次獨立重復試驗，所以抽到次品數服從二項分布，由公式可得解． 解：由題，，所以． 說明：隨機變量的概率分布，是求其數學期望的關鍵．因此，入手時，決定取哪些值及其相應的概率，是重要的突破點．此題，應覺察到這是． 根據分布列求期望和方差 例 設是一個離散型隨機變量，其分布列如下表，求值，并求．

3、 －1 0 1 P 分析：根據分布列的兩個性質，先確定q的值，當分布列確定時，只須按定義代公式即可． 解： 離散型隨機變量的分布滿足 （1） （2） 所以有解得 故的分布列為 －1 0 1 P 小結：解題時不能忽視條件時，，否則取了 的值后，辛辛苦苦計算得到的是兩個毫無用處的計算． 產品中次品數分布列與期望值 例 一批產品共100件，其中有10件是次品，為了檢驗其質量，從中以隨機的方式選取5件，求在抽取的這5件產品中次品數分布列與期望值，并說明5件中有3件以上（包括3件）為次品的概率．（精確到0．

4、001） 分析：根據題意確定隨機變量及其取值，對于次品在3件以上的概率是3，4，5三種情況的和． 解：抽取的次品數是一個隨機變量，設為，顯然可以取從0到5的6個整數． 抽樣中，如果恰巧有個（）次品，則其概率為 按照這個公式計算，并要求精確到0．001，則有 故的分布列為 0 1 2 3 4 5 P 0.583 0.340 0.070 0.007 0 0 由分布列可知， 這就是說，所抽取的5件品中3件以上為次品的可能性很小，只有7％． 評定兩保護區(qū)的管理水平 例 甲、乙兩個野生動物保護區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數量

5、也大致相等．而兩個保護區(qū)內每個季度發(fā)現違反保護條例的事件次數的分布列分別為： 甲保護區(qū)： 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.2 乙保護區(qū)： 0 1 2 0.1 0.5 0.4 試評定這兩個保護區(qū)的管理水平． 分析：一是要比較一下甲、乙兩個保護區(qū)內每季度發(fā)生的違規(guī)事件的次數的均值，即數學期望；二是要看發(fā)生違規(guī)事件次數的波動情況，即方差值的大?。ó斎?，亦可計算其標準差，同樣說明道理．） 解：甲保護區(qū)的違規(guī)次數的數學期望和方差為： 乙保護區(qū)的違規(guī)次數的數學期望和方差為： ； 因為，所以兩個保護區(qū)內每季度發(fā)生的違規(guī)平均

6、次數是相同的，但乙保護區(qū)內的違規(guī)事件次數更集中和穩(wěn)定，而甲保護區(qū)的違規(guī)事件次數相對分散和波動． （標準差這兩個值在科學計算器上容易獲得，顯然，） 說明：數學期望僅體現了隨機變量取值的平均大小，但有時僅知道均值大小還是不夠的，比如：兩個隨機變量的均值相等了（即數學期望值相等），這就還需要知道隨機變量的取值如何在均值周期變化，即計算其方差（或是標準差）．方差大說明隨機變量取值分散性大；方差小說明取值分散性小或者說取值比較集中、穩(wěn)定． 射擊練習中耗用子彈數的分布列、期望及方差 例 某射手進行射擊練習，每射擊5發(fā)子彈算一組，一旦命中就停止射擊，并進入下一組的練習，否則一直打完5發(fā)子彈后才

7、能進入下一組練習，若該射手在某組練習中射擊命中一次，并且已知他射擊一次的命中率為0.8，求在這一組練習中耗用子彈數的分布列，并求出的期望與方差（保留兩位小數）． 分析：根據隨機變量不同的取值確定對應的概率，在利用期望和方差的定義求解． 解： 該組練習耗用的子彈數為隨機變量，可以取值為1，2，3，4，5． ＝1，表示一發(fā)即中，故概率為 ＝2，表示第一發(fā)未中，第二發(fā)命中，故 ＝3，表示第一、二發(fā)未中，第三發(fā)命中，故 ＝4，表示第一、二、三發(fā)未中，第四發(fā)命中，故 ＝5，表示第五發(fā)命中，故 因此，的分布列為 1 2 3 4 5 P 0.8 0.1

8、6 0.032 0.0064 0.0016 說明：解決這類問題首先要確定隨機變量的所有可能取值，然后再根據概率的知識求解對應的概率． 準備禮品的個數 例 某尋呼臺共有客戶3000人，若尋呼臺準備了100份小禮品，邀請客戶在指定時間來領?。僭O任一客戶去領獎的概率為4％．問：尋呼臺能否向每一位顧客都發(fā)出獎邀請？若能使每一位領獎人都得到禮品，尋呼臺至少應準備多少禮品？ 分析：可能來多少人，是一個隨機變量．而顯然是服從二項分布的，用數學期望來反映平均來領獎人數，即能說明是否可行． 解：設來領獎的人數，所以，可見，所以，（人）（人）． 答：不能，尋呼臺至少應準備120份禮品． 說明：“能”與“不能”是實際問題轉到數學中來，即用數字來說明問題．數字期望反映了隨機變量取值的平均水平．用它來刻畫、比較和描述取值的平均情況，在一些實際問題中有重要的價值．因此，要想到用期望來解決這一問題．