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1、2020年高考數(shù)學(理)一輪經(jīng)典例題——復數(shù)概念
判斷正誤練習
判斷下面說法是否正確,如果并說明原因。
(1)是純虛數(shù);
(2)在復平面內(nèi),原點也在虛軸上;
分析:先判斷正誤,若錯誤考慮如何糾錯?或直接改正或舉反例試之。
(1)錯誤。因為當時,不是純虛數(shù)。
(2)錯誤。因為原點不在虛軸上。
探究性問題
已知關(guān)于的方程有實根,求實數(shù)的取值。
分析:注意不能用判別式△來解。
如:∵ 方程有實根
∴
錯誤的原因是虛數(shù)不能比較大小,因此涉及到大小問題的概念和理論如與不等式有關(guān)的判別
解:設(shè)方程的實根為x0,則
整理得:
由復數(shù)相等的條件知:
復
2、數(shù)的分類例題
例 實數(shù)分別取什么值時,復數(shù)是(1)實數(shù)(2)虛數(shù)(3)純虛數(shù)。
解:實部,虛部
(1)當時,Z是實數(shù);(2)當,且時,Z是虛數(shù);(3)當或時是純虛數(shù).
復數(shù)的相等例題
例 設(shè)(),,當取何值時,(1);(2)
分析:復數(shù)相等的充要條件,提供了將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題的依據(jù),這是解復數(shù)問題常用的思想方法,這個題就可利用復數(shù)相等的充要條件來列出關(guān)于實數(shù)的方程,求出的值.
解:(1)由可得:
解之得,
即:當時
(2)當可得:
或,即時
復數(shù)與復平面上的點的對應關(guān)系的例題
例 設(shè)復數(shù)和復平面的點Z()對應,、必須滿足什么條件,才能使點Z位于:(1)實軸上?(
3、2)虛軸上?(3)上半平面(含實軸)?(4)左半平面(不含虛軸及原點)?
分析:本題主要考查復數(shù)與復平面的點Z()建立一一對應的關(guān)系.
解:(1)
(2)且
(3)
(4)
求點的軌跡的例題
例 已知關(guān)于t的一元二次方程
(1)當方程有實根時,求點的軌跡方程.
(2)求方程的實根的取值范圍.
思路分析
(1)本題方程中有三個未知數(shù)由復數(shù)相等的充要條件能得到兩個等式,而結(jié)論是要求動點的軌跡方程,聯(lián)想到解析幾何知識,求的軌跡方程就是求關(guān)于的方程,于是上面的兩個等式正是軌跡方程的參數(shù)形式,消去參數(shù)t,問題得解
(2)由上面解答過程中的②知可看作一條直線,由③知是
4、一個圓,因此求實根t的范圍可轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點的問題.
解答
(1)設(shè)實根為t,則
即
根據(jù)復數(shù)相等的充要條件得
由(2)得代入(1)得
即……(3)
∴所求點的軌跡方程為,軌跡是以(1,-1)為圓心,為半徑的圓.
(2)由(3)得圓心為(1,-1),半徑,
直線與圓有公共點,則,
即 ∴,
故方程的實根的取值范圍為.
思維診斷
此題涉及到復數(shù)與解析幾何的知識,綜合性較強,學生往往不易入手,審題不到位,且有畏懼心理,是思維受阻的主要因素,在第(2)題求實根的取值范圍時還可由(1)(2)消去y建立關(guān)于實數(shù)x的二次方程,用判別式求出t的范圍.同時通過本題,同學們
5、要進一步認識,把復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題求解的必要性,這是解決有關(guān)復數(shù)與方程問題慣用的手法,要切實掌握好.
復數(shù)相等的例題2
例 已知x是實數(shù),y是純虛數(shù),且滿足,求x與y.
思路分析
因為y是純虛數(shù),所以可設(shè),代入等式,把等式的左、右兩邊都整理成形式后,可利用復數(shù)相等的充要條件得到關(guān)于x與b的方程組,求解后得x與b值.
解答
設(shè)代入條件并整理得
由復數(shù)相等的條件得解得 ∴
思維診斷
一般根據(jù)復數(shù)相等的充要條件,可由一個復數(shù)等式得到兩個實數(shù)等式組成的方程組,從而可確定兩個獨立參數(shù),本題就是利用這一重要思想,化復數(shù)問題為實數(shù)問題得以解決.在解此題時,學生易忽視y是純虛
6、數(shù)這一條件,而直接得出等式進行求解,這是審題不細所致.
復數(shù)相等的例題3
例 已知關(guān)于x的方程有實根,求這個實根以及實數(shù)k的值.
思路分析
方程的實根必然適合方程,設(shè)為方程的實根,代入整理后得的形式.由復數(shù)相等的充要條件,可得關(guān)于與k的方程組,通過解方程組便可求得與k.
解答
設(shè)是方程的實根,代入方程并整理得
由復數(shù)相等的條件得
解得或
∴方程的實根為或,相應的k值為或.
思維診斷
學生易給出如下錯解:∵方程有實根,∴.解得或.這是由于錯把實系數(shù)一元二次方程根的判別式運用到了復系數(shù)一元二次方程中,事實上,在復數(shù)集內(nèi)解復系數(shù)一元二次方程,判別式不能夠判斷方程有無實
7、根,這一點后面還會提到.因此,解關(guān)于方程有實根的問題,一般都是把實根代入方程,用復數(shù)相等條件求解.
復數(shù)的分類例題
例 m取何實數(shù)時,復數(shù)(1)是實數(shù)?(2)是虛數(shù)?(3)是純虛數(shù)?
思路分析
本題是判斷復數(shù)在何種情況下為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù).由于所給復數(shù)z已寫成標準形式,即,所以只需按題目要求,對實部和虛部分別進行處理,就極易解決此題.
解答
(1)當即
∴時,z是實數(shù).
(2)當即
∴當且時,z是虛數(shù).
(3)當即
∴當或時,z是純虛數(shù).
思維診斷
研究一個復數(shù)在什么情況下是實數(shù)、虛數(shù)或純虛數(shù)時,首先要保證這個復數(shù)的實部、虛部是有意義的,這是一個前提條件,學生易忽略這一點.如本題易忽略分母不能為0的條件,丟掉,導致解答出錯.