2020年高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題 平面 理

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1、2020年高考數(shù)學(xué)（理）一輪經(jīng)典例題——平面 典型例題一 例1 三條直線兩兩相交，由這三條直線所確定平面的個數(shù)是（ ）． A．1 B．2 C．3 D．1或3 分析：本題顯然是要應(yīng)用推論2判斷所能確定平面的個數(shù)，需要在空間想象出這三條直線所有不同位置的圖形，有如下圖的三種情況（如圖）： 答案：D． 說明：本題啟發(fā)我們考慮問題不要只局限于平面圖形，應(yīng)養(yǎng)成在三維空間考慮問題的習(xí)慣． 典型例題二 例2　一條直線與三條平行直線都相交，求證這四條直線共面． 分析：先將已知和求證改寫成符號語言．證明諸線共面，可先由其中的

2、兩條直線確定一個平面，然后證明其余的直線均在此平面內(nèi)．也可先由其中兩條確定一個平面，另兩條確定平面，再證平面，重合． 已知：，，，． 求證：直線，，，共面． 證明： ∵ ， ∴ ，確定一個平面． ∵ ，， ∴ ，，故． 又 ∵ ， ∴ ，確定一個平面． 同理可證． ∴ ，且． ∵ 過兩條相交直線，有且只有一個平面，故與重合 即直線，，，共面． 說明：本例是新教材第9頁第9題的一個簡單推廣，還可推廣到更一般的情形．本例證明既采用了歸一法，同時又采用了同一法．這兩種方法是證明線共面問題的常用方法．在證明時，也可以用如下反證法證明： 假設(shè)直線，則一定與相交

3、，此時直線與內(nèi)的所有直線都不會平行，這顯然與矛盾．故． 典型例題三 例3 已知在平面外，它的三邊所在的直線分別交平面于，，三點(diǎn)，證明，，三點(diǎn)在同一條直線上． 分析：如圖所示，欲證，，三點(diǎn)共線，只須證，，在平面和平面的交線上，由，，都是兩平面的公共點(diǎn)而得證． 證明：∵ ，， ∴ 是平面與平面的交線． 又 ∵ ， ∴ 且平面， ∴ ， ∴ ，，三點(diǎn)共線． 說明：證明點(diǎn)共線的一般方法是證明這些點(diǎn)是某兩個平面的公共點(diǎn)，由公理2，這些點(diǎn)都在這兩平面的交線上． 典型例題四 例4 如圖所示，與不在同一個平面內(nèi)，如果三直線、、兩兩相交，證明：三直線、、交于一點(diǎn)．

4、 分析：證明三線共點(diǎn)的一般思路是：先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再證明該點(diǎn)在第三條直線上即可． 證明：由推論2，可設(shè)與，與，與分別確定平面，，． 取，則，． 又因，則（公理2）， 于是， 故三直線、、共點(diǎn)． 說明：空間中證三線共點(diǎn)有如下兩種方法： （1）先確定兩直線交于一點(diǎn)，再證該點(diǎn)是這兩條直線所在兩個平面的公共點(diǎn)，第三條直線是這兩個平面的交線，由公理2，該點(diǎn)在它們的交線上，從而得三線共點(diǎn)． （2）先將其中一條直線看做是某兩個平面的交線，證明該交線與另兩直線分別交于兩點(diǎn)，再證這兩點(diǎn)重合．從而得三線共點(diǎn)． 典型例題五 （1）不共面的四點(diǎn)可以確定幾個平面？ （2）三條直線兩兩

5、平行但不共面，它們可以確定幾個平面？ （3）共點(diǎn)的三條直線可以確定幾個平面？ 分析：（1）可利用公里3判定。 （2）可利用公里3的推論3判定。 （3）需進(jìn)行分類討論判定。 解：（1）不共面的四點(diǎn)可以確定四個平面。 （2）三條直線兩兩平行但不共面，它們可以確定3個平面。 （3）共點(diǎn)的三條直線可以確定1個或3個平面。 說明：判定平面的個數(shù)問題關(guān)鍵是要緊緊地抓住已知條件，要做到不重不漏。 平面的確定問題 主要是根據(jù)已知條件和公里3及其3個推論來判定平面的個數(shù)。 典型例題六 例6　、、為空間三點(diǎn)，經(jīng)過這三點(diǎn)： A．能確定一個平面　　　　　B．能確定無數(shù)個平面 C．能確定

6、一個或無數(shù)個平面　D．能確定一個平面或不能確定平面 分析：本題考查空間確定平面的方法，解題的主要依據(jù)是公理3及三個推論． 解：由于題設(shè)中所給的三點(diǎn)、、并沒有指明這三點(diǎn)之間的位置關(guān)系， 所以在應(yīng)用公理3時要注意條件“不共線的三點(diǎn)”． 當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，經(jīng)過這三點(diǎn)就不能確定平面， 當(dāng)、、三點(diǎn)不共線時，經(jīng)過這三點(diǎn)就可以確定一個平面，故選D． 說明：空間確定一平面的方法有多種，既可以根據(jù)不共線的三點(diǎn)來確定一個平面，又可以根據(jù)空間兩相交直線或兩平行直線來確定一個平面． 典型例題七 例7　判斷題（答案正確的在括號內(nèi)打“√”號，不正確的在括號內(nèi)打“×”號）． (1)兩條直線確定一個平面

7、；（　?。? (2)經(jīng)過一點(diǎn)的三條直線可以確定一個平面；（　?。? (3)兩兩相交的三條直線不共面；（　　） (4)不共面的四點(diǎn)中，任何三點(diǎn)不共線．（　　） 分析：(1)兩條直線能否確定平面，應(yīng)注意這兩條直線的位置關(guān)系，不給出位置關(guān)系則要分情況討論，才可得出結(jié)論．兩條相交直線可確定一個平面，兩條平行直線可確定一個平面，除此以外的任何兩條直線不能確定平面； (2)經(jīng)過一點(diǎn)的兩條直線可確定一個平面，三條直線不一定能確定平面； (3)三條直線兩兩相交，若不共點(diǎn)時這三條直線必共面； (4)如果有三點(diǎn)共線，則此三點(diǎn)所在直線與第四點(diǎn)必同在某一平面內(nèi)，即四點(diǎn)共面． 解：(1)×　　(2)×　　(

8、3)×　　(4)√． 說明：由(3)題的分析過程可知：兩兩相交的三條直線有時共面有時不共面．那么對于空間四條直線何時共面何時不共面呢？ 典型例題八 例8　如圖，在正方體中，點(diǎn)、分別是棱、的中點(diǎn)，試畫出過點(diǎn)、、三點(diǎn)的截面． 分析：本題考查作多面體截面的能力，主要依據(jù)是公理1和公理2欲畫出所要求的截面與正方體各個側(cè)面的交線． 解：連并延長與的延長線交于點(diǎn)，連結(jié)與的延長線交于點(diǎn)，連結(jié)與、兩條棱交于點(diǎn)，連結(jié)、，則就是過點(diǎn)、、三點(diǎn)的截面． 說明：本題亦可以證明點(diǎn)、、、四點(diǎn)共面．若、不是棱與的中點(diǎn)，則作圖過程中不一定過點(diǎn)，所畫的截面多邊形可能是五邊形． 典型例題九 例9　判斷下

9、列說法是否正確？并說明理由． (1)平行四邊形是一個平面． (2)任何一個平面圖形都是一個平面． (3)空間圖形中先畫的線是實(shí)線，后畫的線是虛線． 解：(1)不正確．平行四邊形它僅是平面上四條線段構(gòu)成的圖形，它是不能無限延伸的． 說明：在立體幾何中，我們通常用平行四邊形表示平面，但絕不是說平行四邊形就是平面． (2)不正確．平面圖形和平面是完全不同的兩個概念，平面圖形是有大小，它是不可能無限延展的． 說明：要嚴(yán)格區(qū)分“平面圖形”和“平面”這兩個概念． (3)不正確．在空間圖形中，我們一般是把能夠看得見的線畫成實(shí)線，把被平面遮住看不見的線畫成虛線（無論是題中原有的，還是后引的輔助

10、線）． 說明：在平面幾何中，凡是后引的輔助線都畫成虛線；在立體幾何中卻不然．有的同學(xué)在學(xué)習(xí)立體幾何時，對此點(diǎn)沒有認(rèn)識，必將影響空間立體感的形成，削弱或阻斷空間想象能力的培養(yǎng)． 典型例題十 例10　按照給出的要求，完成下面兩個相交平面的作圖，如下圖的(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)中的線段，分別是兩個平面的交線． 解：由兩個相交平面的畫法：本題只須過線段的端點(diǎn)畫出與交線平行且相等的線段，即可得到相關(guān)的平行四邊形，注意被平面遮住的部分應(yīng)畫成虛線或者不畫，然后在相關(guān)的平面上標(biāo)上表示平面的字母即可如下圖所示． 說明：(1)畫好兩個相交平面的圖形，是畫好一切立體圖形的

11、基礎(chǔ)． (2)畫空間圖形的過程，是培養(yǎng)我們空間想象能力的過程，一定要認(rèn)真對待，決不可以掉以輕心． 典型例題十一 例11　 (1)一個平面將空間分成幾部分？ (2)兩個平面將空間分成幾部分？ (3)三個平面將空間分成幾部分？畫出圖形，（要求：至少有兩種情況有畫法過程） 解：(1)一個平面將空間分成兩部分． (2)兩個平面平行時，將空間分成三部分，兩個平面相交時，將空間分成四部分． (3)本小題情況比較復(fù)雜，須分類予以處理． 情況1：當(dāng)平面、平面、平面互相平行（即），將空間分成四個部分，其圖形如右圖． 情況2：當(dāng)平面與平面平行，平面與它們相交（即，與其相交），將空間分成

12、六部分，其圖形如下圖． 畫法是： 情況3：當(dāng)平面、平面、平面都相交，且三條交線重合（即且） 將空間分成六部分，其圖形如下圖． 說明：本種情況給出兩種圖形，一種是將交線畫成水平狀態(tài)，一種是將交線畫成豎直狀態(tài)． 情況4：平面、平面、平面都相交且三條交線共點(diǎn)，但互不重合．（即，且與、都相交，三條交線共點(diǎn)）．將空間分成八部分，其圖形如下圖． 畫法是： 情況5：平面、平面、平面兩兩相交且三條交線平行（即，與、都相交且三條交線平行）．將空間分成七部分，其圖形如下圖． 說明：1．本小題(3)，在解答過程中，采用了簡單到復(fù)雜遞進(jìn)的處理方法，首先對兩個平面在空間的位置分類討論，再

13、讓第三個平面以不同情況介入，然后分類解決． 2．通過此題的解答，要學(xué)會處理問題的思維方法，注意邏輯思維能力的培養(yǎng)與提高． 3．本題是一個基礎(chǔ)性很強(qiáng)的問題，無論是對立體圖形的畫法以及空間想象能力的形成都大有裨益． 典型例題十二 例12　下圖中表示兩個相交平面，其中畫法正確的是（　?。? 解：對于A，圖中沒有畫出平面與平面的交線，另外圖中的實(shí)、虛線也沒有按照畫法原則去畫，因此A的畫法不正確． 同樣的道理，也可知B、C圖形的畫法不正確． D的圖形畫法正確． ∴應(yīng)選D． 說明：對空間圖形的準(zhǔn)確辨識，是培養(yǎng)空間想象能力的重要組成部分，一定要注意這方面能力的鍛煉． 典型例題十三

14、 例13　觀察下圖，說明圖形中的不同之處． 解：上面的圖形都是由九條線段構(gòu)成的圖形、外形似乎相似． 仔細(xì)觀察，由于圖中的實(shí)、虛線的畫法不同，則反映了不同的幾何體． A圖是一個簸箕形圖形；B圖是體，是三棱柱；C圖也是體，也是三棱柱． B圖如果看作是從三棱柱的正面觀察，C圖則可看作是從三棱柱的后面觀察． 說明：在立體幾何中，一定要明確畫圖過程中哪條線畫實(shí)線，哪條線畫虛線．要記住：能夠看得到的線一定畫成實(shí)線，被擋住的看不到的線畫成虛線． 下面再給出兩組圖形如下圖所示，請同學(xué)們予以辨識，指出它們有什么不同． 典型例題十四 例14　若點(diǎn)在直線上，在平面內(nèi)，則、、之間的關(guān)

15、系可記作（　?。? A．　B．　C．　D． 解法1：（直接法） ∵點(diǎn)在直線上，∴， ∵直線在平面內(nèi)，∴， ∴． ∴應(yīng)選B． 解法2：（排除法） ∵點(diǎn)與直線之間的關(guān)系是元素與集合之間的關(guān)系， ∴只能用符號“”或“”表示， ∴C、D應(yīng)予排除． ∵直線與平面之間是集合與集合之間的關(guān)系， ∴只能用符號“”或“”表示， ∴A應(yīng)予以排除． 綜上可知應(yīng)選B． 說明：要能正確地使用點(diǎn)、直線、平面之間關(guān)系的符號語言． 典型例題十五 例15　用符號語言表示下列語句 (1)點(diǎn)在平面內(nèi)，但在平面外； (2)直線經(jīng)過平面外一點(diǎn)； (3)直線在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，即平面和相交于

16、直線． 解：(1)但． (2)，． (3)且，即． 說明：符號語言比較簡潔、嚴(yán)謹(jǐn)，可大大的縮短文字語言表達(dá)的長度，有利于推理、計(jì)算． 典型例題十六 例16　將下面用符號語言表示的關(guān)系改用文字語言予以敘述，并用用圖形語言予以表示．． 分析：本題實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)三種語言——符號語言、文字語言、圖形語言的互譯． 解：文字語言敘述為： 點(diǎn)在平面與平面的交線上，、分別在、內(nèi)． 圖形語言表示為如圖： 說明：文字語言比較自然、生動，它能將問題所研究的對象的含義更加明白地?cái)⑹龀鰜?，我們教科書上的概念、定理等多以文字語言敘述． 圖形語言，易引起清晰的視覺形象，它能直觀地表達(dá)概念、定理的

17、本質(zhì)以及相互關(guān)系，在抽象的數(shù)學(xué)思維面前起著具體化和加深理解的作用． 各種數(shù)學(xué)語言間的互譯可為我們在更廣闊的思維領(lǐng)域里尋找問題解決的途徑提供方便．有利于培養(yǎng)我們思維的廣闊性． 典型例題十七 例17　如下圖中，若、在平面內(nèi)，判斷是否在平面內(nèi)． 解：∵在平面內(nèi)， ∴點(diǎn)一定在平面內(nèi)． ∵在平面內(nèi)， ∴點(diǎn)一定在平面內(nèi)． ∴點(diǎn)、點(diǎn)都在平面內(nèi)． ∴直線在平面內(nèi)（公理1）． 說明：公理1可以用來判斷直線是否在平面內(nèi)． 典型例題十八 例18　如下圖，在正方體中，、分別為和上的中點(diǎn)，畫出平面與平面的交線． 分析：可根據(jù)公理2，如果兩個平面有一個公共點(diǎn)，它們就有過這點(diǎn)的一條

18、直線，也只有這一條直線；這條直線的位置還須借助于另一個條件來確定． 解：在平面內(nèi)，延長， ∵與不平行， 因此與必相交于一點(diǎn)，設(shè)為 則，． 又∵平面，平面內(nèi)， ∴平面，平面． 又為平面與平面的公共點(diǎn)， ∴連結(jié)，即為平面與平面的交線． 說明：公理2是兩個平面相交的性質(zhì)，它說明兩個平面相交，交線是一條直線．要注意理解兩個平面不存在只有一個公共點(diǎn)的情形，如果有一個公共點(diǎn)，那么必定有無數(shù)多個公共點(diǎn)，且這些點(diǎn)恰好組成一條直線．同時要注意，找到兩個平面的一個公共點(diǎn)，交線的具體位置還無法判定，只有找到兩個公共點(diǎn)，才確定這兩個平面的交線．這是做幾何體截面時確定交線經(jīng)常用到的方法． 典型例

19、題十九 例19　已知、、、分別是空間四邊形（四條線段首尾相接，且連接點(diǎn)不在同一平面內(nèi)．所組成的空間圖形叫空間四邊形．）各邊、、、上的點(diǎn)，且直線和交于點(diǎn)，如下圖，求證：點(diǎn)、、在同一條直線上． 證明：如圖 ∵直線直線， ∴直線，而平面， ∴平面． 同理，平面，即點(diǎn)是平面和平面的公共點(diǎn)．顯然，點(diǎn)、也是平面和平面的公共點(diǎn)，由公理2知，點(diǎn)、、都在平面和平面的交線上，即點(diǎn)、、在同一條直線上． 說明：證明三點(diǎn)共線通常采用如下方法： 方法1是首先找出兩個平面，然后證明這三點(diǎn)都是這兩個平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理2知，這些點(diǎn)都在交線上． 方法2是選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一點(diǎn)在其上．