2020年高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 理

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1、2020年高考數(shù)學(xué)（理）一輪經(jīng)典例題——三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 解：在單位圓中，作出銳角α在正弦線MP，如圖2-9所示 在△MPO中，MP+OM＞OP=1即MP+OM＞1 ∴sinα+cosα＞1 于P1，P2兩點，過P1，P2分別作P1M1⊥x軸，P2M2⊥x軸，垂足分 k∈Z} 【說明】? 學(xué)會利用單位圓求解三角函數(shù)的一些問題，借助單位圓求解不等式的一般方法是：①用邊界值定出角的終邊位置；②根據(jù)不等式定出角的范圍；③在[0，2π]中找出角的代表；④求交集，找單位圓中重疊的部分；⑤寫出角的范圍的表達式，注意加周期． 【例3】? 求下列函

2、數(shù)的定義域： 解：(1)為使函數(shù)有意義，需滿足2sin2x+cosx-1≥0 由單位圓，如圖2-12所示 k∈Z} 【說明】? 求函數(shù)的定義域通常是解不等式組，利用“數(shù)形結(jié)合”，借助于數(shù)軸畫線求交集的方法進行．在求解三角函數(shù)，特別是綜合性較強的三角函數(shù)的定義域，我們同樣可以利用“數(shù)形結(jié)合”，在單位圓中畫三角函數(shù)線，求表示各三角不等式解集的扇形區(qū)域的交集來完成． (4)為使函數(shù)有意義，需滿足： 取k=0和-1時，得交集為-4＜x≤-π或0≤x≤π ∴函數(shù)的定義域為(-4，-π]∪[0，π] 【說明】? 求三角函數(shù)的定義域要注意三角函數(shù)本

3、身的特征和性質(zhì)，如在轉(zhuǎn)化為不等式或不等式組后要注意三角函數(shù)的符號及單調(diào)性，在進行三角函數(shù)的變形時，要注意三角函數(shù)的每一步變形都保持恒等，即不能改變原函數(shù)的自變量的取值范圍． 【例4】? 求下列函數(shù)的值域： ∴此函數(shù)的值域為{y|0≤y＜1} ∵1+sinx+cosx≠0? ∴t≠-1 【說明】? 求三角函數(shù)的值域，除正確運用必要的變換外，還要注意函數(shù)的概念的指導(dǎo)作用，注意利用正、余弦函數(shù)的有界性． 【例5】? 判斷下列函數(shù)的奇偶性： 【分析】? 先確定函數(shù)的定義域，然后根據(jù)奇函數(shù)成偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性． ∵f(1-x

4、)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x) (2)函數(shù)的定義域為R，且 f(-x)=sin[cos(-x))=sin(cosx)=f(x) ∴函數(shù)f(x)=sin(cosx)是偶函數(shù)． (3)因1+sinx≠0，∴sinx≠-1，函數(shù)的定義域為{x|x∈R且x≠2k 既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)． 【例6】? 求下列函數(shù)的最小正周期： 【分析】? 欲求三角函數(shù)的周期，一般是把三角函數(shù)f(x)化成易求周期的函數(shù)y=Asin(ωx+j)+b或y=Acos(ωx+j)+b的等形式．函數(shù)y=Asin(ω “多個化一個，高次化一次”，將所給函數(shù)化成單角單函數(shù)．

5、 (2)y=cos4x+sin4x=(cos2x+sin2x)2-2sin2xcos2x =|cosx|+|sinx|=f(x) 正周期． (x+T)|+|cos(x+T)|=|sinx|+|cosx|都成立．特別當x=0時，有|sinT|+|cosT|=sinT 【例8】? 求下列各函數(shù)的最大值、最小值，并且求使函數(shù)取得最大值、最小值的x的集合． ∴使y取得最大值的x的集合為{x|x=(2kπ+1)π，k∈Z} ∴使y取得最小值的x的集合為{x|x=2kπ，k∈Z} 當cosx=1，即x=2kπ(k∈Z)時，y取得最大

6、值3． 【說明】? 求三角函數(shù)的最值的類型與方法： 1．形如y=asinx+b或y=acosx+b，可根據(jù)sinx，cosx的有界性來求最值； 2．形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c看成是關(guān)于sinx或cosx的二次函數(shù)，變?yōu)閥=a(sinx+m)2+k或y=a(cosx+m)2+k，但要注意它與二次函數(shù)求最值的區(qū)別，此時|sinx|≤1，|cosx|≤1 【例9】? 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： 【分析】? 復(fù)雜三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是運用基本函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間得出的． (2)函數(shù)y=sin2x

7、-2sinx+2，是由y=u2-2u+2及u=sinx及復(fù)合而成，∴|u|≤1 【例10】? 當a≥0，求函數(shù)f(x)=(sinx+a)(cosx+a)的最大值、最小值，及相應(yīng)的x的取值． 【分析】? 本題對f(x)解析式的變換關(guān)鍵在于認識解析式中兩項間的內(nèi)在聯(lián)系，從而斷定f(x)解析式中的平方關(guān)系，另外本題含字母系數(shù)，要分清常數(shù)和變量，還要有對字母a作分類討論的準備． 解：f(x)=(sinx+a)(cosx+a)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2 由于a是常數(shù)，故這里只要求y=(sinx+cosx+a)2的最大值、最小值．合 物線的

8、圖象如圖2-14所示兩種可能． 【說明】? 象本例這種解析式中含字母系數(shù)的函數(shù)研究其性質(zhì)，常常要運用分類討論的思想，其中為什么要分類，怎么分類和討論是兩個基本問題． 【例11】? 函數(shù)f(x)=Asin(ωx+j)的圖象如圖2-15，試依圖指出 (1)f(x)的最小正周期； (2)使f(x)=0的x的取值集合； (3)使f(x)＜0的x的取值集合； (4)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間； (5)求使f(x)取最小值的x的集合； (6)圖象的對稱軸方程； (7)圖象的對稱中心． 【分析】? 這是一道依圖象讀出相應(yīng)函數(shù)性

9、質(zhì)的典型例題，本身就是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，它根據(jù)f(x)=Asin(ωx+j)的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象的關(guān)系得出． 注：得出函數(shù)f(x)的最小正周期之后，研究f(x)的其他性質(zhì)，總是先在包含銳角在內(nèi)的一個周期中研究，再延伸到整個定義域中． 注：實際上f(x)圖象的對稱軸方程為x=x0，而其中x0使f(x0)=1或f(x0)=-1 注：f(x)的圖象的對稱中心為(x0，0)，其中x0使f(x0)=0 【說明】? 這種依圖讀性的問題是提高數(shù)形結(jié)合能力的重要訓(xùn)練題，其中有兩點要注意反思：①周期性在研究中的化簡作用，②三角函數(shù)的“多對一”性． 【例1

10、2】? 求如圖2-16所示的函數(shù)解析式．(ω＞0，θ∈[0，2π]) 【分析】 ?由圖象確定函數(shù)的解析式，就要觀察圖象的特性，形狀位置和所給的條件．通過判斷、分析和計算確定A，ω、θ得到函數(shù)的解析式． 【例13】? 設(shè)y=Asin(ωx+j)(A＞0，ω＞0，|j|＜π)最高點D的 標為(6，0)，(1)求A、ω、j的值；(2)求出該函數(shù)的頻率，初相和單調(diào)區(qū)間． y單調(diào)遞增故遞增區(qū)間為[16k-6，16k+2]，k∈Z y單調(diào)遞減故遞減區(qū)間為[16k+2，16k+10]，k∈Z A．sinθ＜cosθ＜ct

11、gθ B．cosθ＜sinθ＜ctgθ C．sinθ＜ctgθ＜cosθ D．cosθ＜ctgθ＜sinθ 解一(直接法)： 故選A． 解二(圖解法)： 作出三角函數(shù)線，如圖2-17 MP=sinθ，OM=cosθ，BS=ctgθ 通過觀察和度量得MP＜OM＜BS 從而有sinθ＜cosθ＜ctgθ ∴應(yīng)選A ∴cosθ＞sinθ 從而可剔除B、D． 再由sinθ＜ctgθ，故可剔除C 故選A 解四(特殊值法)： B、C、D，應(yīng)選A． 【說明】? 此例題用多種方法求解選項，指出3種選擇題的技巧． ∴應(yīng)選D x軸

12、交點中在原點右邊最接近原點的交點，而在原點左邊與x軸交點中最 的圖象． ∴選D 【說明】? y=Asin(ωx+j)(A＞0，ω＞0)x∈R的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)下列各種順序變換得到的． (1)先平移，后伸縮： ①把y=sinx的圖象向左(j＞0)或向右(j＜0)沿x軸方向平移|j|個單位；(相位變換) (周期變換) ③把所有各點縱坐標伸長(A＞1)或縮短(0＜A＜1)到原來的A倍，橫坐標不變(振幅變換) (2)先伸縮，后平移 ①把y=sinx圖象上各點的橫坐標縮短(ω＞1)或伸長(0＜ω＜1)到原 (相位變換) ③把所有各點縱坐標伸長(A＞1

13、)或縮短(0＜A＜1)到原來的A倍橫坐標不變(振幅變換) 再把橫坐標縮小到原來的一半，縱坐標擴大到原來的4倍，則所得的圖象的解析式是??? [??? ] ∴選A． 【例17】? 方程sin2x=sinx在區(qū)間(0，2π)內(nèi)解的個數(shù)是 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? [??? ] A．1?????????? B．2??????????? C．3?????????????? D．4 【分析】? 本題有兩類解

14、法 (1)求出方程在(0，2π)內(nèi)的所有解，再數(shù)其解的個數(shù)．而決定選項，對于選擇題，此法一般不用． (2)在同一坐標系中作出函數(shù)y=sin2x和y=sinx的圖象，如圖2-18所示． 它們在(0，2π)內(nèi)交點個數(shù)，即為所求方程解的個數(shù)，從而應(yīng)選C． 它體現(xiàn)了數(shù)、形的結(jié)合． 【例18】? 設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為3的奇函數(shù)，且f(1)=2，則f(5)=____ 解：∵f(x)是奇函數(shù)，且f(1)=2，∴f(-1)=-2 又∵f(x)是周期為3的函數(shù)．? ∴f(3+x)=f(x) ∴f(-1+3)=f(-1)=-2? 即f(2)=-2 f(2+3)=f(2)

15、=-2? 即f(5)=-2 【例19】? 有一塊扇形鐵板，半徑為R，圓心角為60°，從這個扇形中切割下一個內(nèi)接矩形，即矩形的各個頂點都在扇形的半徑或弧上，求這個內(nèi)接矩形的最大面積． 【分析】? 本題入手要解決好兩個問題． (1)內(nèi)接矩形的放置有兩種情況，如圖2-19所示，應(yīng)該分別予以處理． (2)求最大值問題這里應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，怎么選擇便于以此表達矩形面積的自變量． 解：如圖2-19(1)設(shè)∠FOA=θ，則FG＝Rsinθ 又設(shè)矩形EFGH的面積為S，那么 又∵0°＜θ＜60°，故當cos(2θ－60°)＝1，即θ=30′時， 如圖2-19 (2)，設(shè)∠FOA＝θ，則EF＝2Rsin(30°-θ)，在△OFG中，∠OGF＝150° 設(shè)矩形的面積為S． 那么S＝EFFG＝4R2sinθsin(30°-θ) ＝2R2［cos(2θ-30°)－cos30°] 又∵0＜θ＜30°，故當cos(2θ-30°)＝1