2020年高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題 直線與平面的平行判定和性質(zhì) 理

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1、2020年高考數(shù)學(xué)（理）一輪經(jīng)典例題——直線與平面的平行判定和性質(zhì) 典型例題一 例1 簡述下列問題的結(jié)論，并畫圖說明： （1）直線平面，直線，則和的位置關(guān)系如何？ （2）直線，直線，則直線和的位置關(guān)系如何？ 分析：（1）由圖（1）可知：或； （2）由圖（2）可知：或． 說明：此題是考查直線與平面位置關(guān)系的例題，要注意各種位置關(guān)系的畫法與表示方法． 典型例題二 例2 是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求證：平面． 分析：要證明平面外的一條直線和該平面平行，只要在該平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平行就可以了． 證明：如圖所示，連結(jié)，交于點(diǎn)， ∵四

2、邊形是平行四邊形 ∴，連結(jié)，則在平面內(nèi)，且是的中位線， ∴． ∵在平面外， ∴平面． 說明：應(yīng)用線面平行的判定定理證明線面平行時(shí)，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行，怎樣找這一直線呢？ 由于兩條直線首先要保證共面，因此常常設(shè)法過已知直線作一平面與已知平面相交，如果能證明已知直線和交線平行，那么就能夠馬上得到結(jié)論．這一個(gè)證明線面平行的步驟可以總結(jié)為： 過直線作平面，得交線，若線線平行，則線面平行． 典型例題三 例3 經(jīng)過兩條異面直線，之外的一點(diǎn)，可以作幾個(gè)平面都與，平行？并證明你的結(jié)論． 分析：可考慮點(diǎn)的不同位置分兩種情況討論． 解：（1）當(dāng)點(diǎn)所在位置

3、使得，（或，）本身確定的平面平行于（或）時(shí)，過點(diǎn)再作不出與，都平行的平面； （2）當(dāng)點(diǎn)所在位置，（或，）本身確定的平面與（或）不平行時(shí)，可過點(diǎn)作，．由于，異面，則，不重合且相交于．由于，，確定的平面，則由線面平行判定定理知：，．可作一個(gè)平面都與，平行． 故應(yīng)作“0個(gè)或1個(gè)”平面． 說明：本題解答容易忽視對(duì)點(diǎn)的不同位置的討論，漏掉第（1）種情況而得出可作一個(gè)平面的錯(cuò)誤結(jié)論．可見，考慮問題必須全面，應(yīng)區(qū)別不同情形分別進(jìn)行分類討論． 典型例題四 例4 平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個(gè)平面，那么另一條直線也平行于這個(gè)平面． 已知：直線，平面，． 求證：． 證明：如圖所示，

4、過及平面內(nèi)一點(diǎn)作平面． 設(shè)， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵，， ∴． 說明：根據(jù)判定定理，只要在內(nèi)找一條直線，根據(jù)條件，為了利用直線和平面平行的性質(zhì)定理，可以過作平面與相交，我們常把平面稱為輔助平面，它可以起到橋梁作用，把空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化． 和平面幾何中添置輔助線一樣，在構(gòu)造輔助平面時(shí)，首先要確認(rèn)這個(gè)平面是存在的，例如，本例中就是以“直線及直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面”為依據(jù)來做出輔助平面的． 典型例題五 例5 已知四面體的所有棱長均為．求： （1）異面直線的公垂線段及的長； （2）異面直線和所成的角． 分析：依異面直線的公垂線的概念求作異面直線的公垂

5、線段，進(jìn)而求出其距離；對(duì)于異面直線所成的角可采取平移構(gòu)造法求解． 解：（1）如圖，分別取的中點(diǎn)，連結(jié)． 由已知，得≌． ∴，是的中點(diǎn)， ∴． 同理可證 ∴是的公垂線段． 在中，，． ∴ ． （2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則． ∴和所成的銳角或直角就是異面直線和所成的角． 連結(jié)，在中，，，． 由余弦定理，得 ． ∴． 故異面直線和所成的角為． 說明：對(duì)于立體幾何問題要注意轉(zhuǎn)化為平面問題來解決，同時(shí)要將轉(zhuǎn)化過程簡要地寫出來，然后再求值． 典型例題六 例6　如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過這個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)且與這條直線平行的直線必在這個(gè)平面

6、內(nèi)． 已知：直線，，，． 求證：． 分析：由于過點(diǎn)與平行的直線是惟一存在的，因此，本題就是要證明，在平面外，不存在過與平行的直線，這是否定性命題，所以使用反證法． 證明：如圖所示，設(shè)，過直線和點(diǎn)作平面，且． ∵，∴． 這樣過點(diǎn)就有兩條直線和同時(shí)平行于直線，與平行公理矛盾． ∴必在內(nèi)． 說明：(1)本例的結(jié)論可以直接作為證明問題的依據(jù)． (2)本例還可以用同一法來證明，只要改變一下敘述方式． 如上圖，過直線及點(diǎn)作平面，設(shè)．∵，∴． 這樣，與都是過點(diǎn)平行于的直線，根據(jù)平行公理，這樣的直線只有一條， ∴與重合．∵，∴． 典型例題七 例7 下列命題正確的個(gè)數(shù)

7、是（　　）． (1)若直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則； (2)若直線平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則； (3)若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任一直線平行； (4)若直線在平面外，則． A．0個(gè)　　B．1個(gè)　　C．2個(gè)　　D．3個(gè) 分析：本題考查的是空間直線與平面的位置關(guān)系．對(duì)三種位置關(guān)系定義的準(zhǔn)確理解是解本題的關(guān)鍵．要注意直線和平面的位置關(guān)系除了按照直線和平面公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來分類，還可以按照直線是否在平面內(nèi)來分類． 解：(1)直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，并沒有說明是所在點(diǎn)都不在平面內(nèi)，因而直線可能與平面平行亦有可能與直線相交．解題時(shí)要注意“無數(shù)”并非“所有”．(2)直線雖與內(nèi)無數(shù)條直線

8、平行，但有可能在平面內(nèi)，所以直線不一定平行．(3)這是初學(xué)直線與平面平行的性質(zhì)時(shí)常見錯(cuò)誤，借助教具我們很容易看到．當(dāng)時(shí)，若且，則在平面內(nèi)，除了與平行的直線以外的每一條直線與都是異面直線．(4)直線在平面外，應(yīng)包括兩種情況：和與相交，所以與不一定平行． 故選A． 說明：如果題中判斷兩條直線與一平面之間的位置關(guān)系，解題時(shí)更要注意分類要完整，考慮要全面．如直線、都平行于，則與的位置關(guān)系可能平行，可能相交也有可能異面；再如直線、，則與的位置關(guān)系可能是平行，可能是在內(nèi)． 典型例題八 例8　如圖，求證：兩條平行線中的一條和已知平面相交，則另一條也與該平面相交． 已知：直線，．求證：直線與平面

9、相交． 分析：利用轉(zhuǎn)化為平面問題來解決，由可確定一輔助平面，這樣可以把題中相關(guān)元素集中使用，既創(chuàng)造了新的線面關(guān)系，又將三維降至二維，使得平幾知識(shí)能夠運(yùn)用． 解：∵， ∴和可確定平面． ∵， ∴平面和平面相交于過點(diǎn)的直線． ∵在平面內(nèi)與兩條平行直線、中一條直線相交， ∴必定與直線也相交，不妨設(shè)，又因?yàn)椴辉谄矫鎯?nèi)（若在平面內(nèi)，則和都過相交直線和，因此與重合，在內(nèi)，和已知矛盾）． 所以直線和平面相交． 說明：證明直線和平面相交的常用方法有：證明直線和平面只有一個(gè)公共點(diǎn)；否定直線在平面內(nèi)以及直線和平面平行；用此結(jié)論：一條直線如果經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)，又經(jīng)過平面外一點(diǎn)，則此直線必與平面相

10、交（此結(jié)論可用反證法證明）． 典型例題九 例9　如圖，求證：經(jīng)過兩條異面直線中的一條，有且僅有一個(gè)平面與另一條直線平行． 已知：與是異面直線．求證：過且與平行的平面有且只有一個(gè)． 分析：本題考查存在性與唯一性命題的證明方法．解題時(shí)要理解“有且只有”的含義．“有”就是要證明過直線存在一個(gè)平面，且，“只有”就是要證滿足這樣條件的平面是唯一的．存在性常用構(gòu)造法找出（或作出）平面，唯一性常借助于反證法或其它唯一性的結(jié)論． 證明：(1)在直線上任取一點(diǎn)，由點(diǎn)和直線可確定平面． 在平面內(nèi)過點(diǎn)作直線，使，則和為兩相交直線， 所以過和可確定一平面． ∵，與為異面直線， ∴． 又∵，

11、， ∴． 故經(jīng)過存在一個(gè)平面與平行． (2)如果平面也是經(jīng)過且與平行的另一個(gè)平面， 由上面的推導(dǎo)過程可知也是經(jīng)過相交直線和的． 由經(jīng)過兩相交直線有且僅有一個(gè)平面的性質(zhì)可知，平面與重合， 即滿足條件的平面是唯一的． 說明：對(duì)于兩異面直線和，過存在一平面且與平行，同樣過也存在一平面且與平行．而且這兩個(gè)平面也是平行的（以后可證）．對(duì)于異面直線和的距離，也可轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，這也是求異面直線的距離的一種方法． 典型例題十 例10　如圖，求證：如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行． 已知：，，，求證：． 分析：本題考查綜合運(yùn)用線面平行的判定定理和

12、性質(zhì)定理的能力．利用線面平行的性質(zhì)定理，可以先證明直線分別和兩平面的某些直線平行，即線面平行可得線線平行．然后再用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理來證明與平行． 證明：在平面內(nèi)取點(diǎn)，使，過和直線作平面交于． ∵，，， ∴． 同理過作平面交于． ∵，，， ∴． ∴． ∵，， ∴． 又∵，， ∴． 又∵， ∴． 另證：如圖，在直線上取點(diǎn)， 過點(diǎn)和直線作平面和相交于直線，和相交于直線． ∵，∴， ∵，∴， 但過一點(diǎn)只能作一條直線與另一直線平行． ∴直線和重合． 又∵，， ∴直線、都重合于直線， ∴． 說明：“線線平行”與“線面平行”在一定條件下是可以

13、相互轉(zhuǎn)化的，這種轉(zhuǎn)化的思想在立體幾何中非常重要． 典型例題十一 例11　正方形與正方形所在平面相交于，在、上各取一點(diǎn)、，且．求證：面． 分析：要證線面平行，可以根據(jù)判定定理，轉(zhuǎn)化為證明線線平行．關(guān)鍵是在平面中如何找一直線與平行．可考察過的平面與平面的交線，這樣的平面位置不同，所找的交線也不同． 證明一：如圖，在平面內(nèi)過作交于， 在平面內(nèi)過作交于，連結(jié)． ∵，∴． 又∵， ∴，即． ∵正方形與有公共邊， ∴． ∵，∴． ∴． 又∵，， ∴． ∴四邊形為平行四邊形． ∴． 又∵面， ∴面． 證明二：如圖，連結(jié)并延長交于，連結(jié)． ∵，∴． 又

14、∵正方形與正方形有公共邊， ∴， ∵，∴． ∴． ∴， 又∵面， ∴面． 說明：從本題中我們可以看出，證線面平行的根本問題是要在平面內(nèi)找一直線與已知直線平行，此時(shí)常用中位線定理、成比例線段、射影法、平行移動(dòng)、補(bǔ)形等方法，具體用何種方法要視條件而定．此題中我們可以把“兩個(gè)有公共邊的正方形”這一條件改為“兩個(gè)全等的矩形”，那么題中的結(jié)論是否仍然成立？ 典型例題十二 例12　三個(gè)平面兩兩相交于三條交線，證明這三條交線或平行、或相交于一點(diǎn)． 已知：，，． 求證：、、互相平行或相交于一點(diǎn)． 分析：本題考查的是空間三直線的位置關(guān)系，我們可以先從熟悉的兩條交線的位置關(guān)系入手，根據(jù)

15、共面的兩條直線平行或相交來推論三條交線的位置關(guān)系． 證明：∵，， ∴． ∴與平行或相交． ①若，如圖 ∵，，∴． 又∵，，∴． ∴． ②若與相交，如圖，設(shè)， ∴，． 又∵，． ∴， 又∵，∴． ∴直線、、交于同一點(diǎn)． 說明：這一結(jié)論常用于求一個(gè)幾何體的截面與各面交線問題，如正方體中， 、分別是、的中點(diǎn)，畫出點(diǎn)、、的平面與正方體各面的交線，并說明截面多邊形是幾邊形？ 典型例題十三 例13　已知空間四邊形，，是的邊上的高，是的邊上的中線，求證：和是異面直線． 證法一：（定理法）如圖 由題設(shè)條件可知點(diǎn)、不重合，設(shè)所在平面． ∴和是異面直線．

16、證法二：（反證法） 若和不是異面直線，則和共面，設(shè)過、的平面為． (1)若、重合，則是的中點(diǎn)，這與題設(shè)相矛盾． (2)若、不重合， ∵，，，∴． ∵，， ∴、、、四點(diǎn)共面，這與題設(shè)是空間四邊形相矛盾． 綜上，假設(shè)不成立． 故和是異面直線． 說明：反證法不僅應(yīng)用于有關(guān)數(shù)學(xué)問題的證明，在其他方面也有廣泛的應(yīng)用． 首先看一個(gè)有趣的實(shí)際問題： “三十六口缸，九條船來裝，只準(zhǔn)裝單，不準(zhǔn)裝雙，你說怎么裝？” 對(duì)于這個(gè)問題，同學(xué)們可試驗(yàn)做一做． 也許你在試驗(yàn)幾次后卻無法成功時(shí)，覺得這種裝法的可能性是不存在的．那么你怎樣才能清楚地從理論上解釋這種裝法是不可能呢？ 用反證法可以輕易地

17、解決這個(gè)問題．假設(shè)這種裝法是可行的，每條船裝缸數(shù)為單數(shù)，則9個(gè)單數(shù)之和仍為單數(shù)，與36這個(gè)雙數(shù)矛盾．只須兩句話就解決了這個(gè)問題． 典型例題十四 例14　已知、、是不在同一平面內(nèi)的三條線段，、、分別是、、的中點(diǎn)，求證：平面和平行，也和平行． 分析：欲證明平面，根據(jù)直線和平面平等的判定定理只須證明平行平面內(nèi)的一條直線，由圖可知，只須證明． 證明：如圖，連結(jié)、、、． 在中，、分別是、的中點(diǎn)． ∴．于是平面． 同理可證，平面． 說明：到目前為止，判定直線和平面平行有以下兩種方法：(1)根據(jù)直線和平面平行定義；(2)根據(jù)直線和平面平行的判定定理． 典型例題十五 例15　已

18、知空間四邊形，、分別是和的重心， 求證：． 分析：欲證線面平行，須證線線平行，即要證明與平面中的某條直線平行，根據(jù)條件，此直線為，如圖． 證明：取的中點(diǎn)． ∵是的重心，連結(jié)， 則，連結(jié)， ∵為的重心， ∴， ∴在中，． 又，， ∴． 說明：(1)本例中構(gòu)造直線與平行，是充分借助于題目的條件：、分別是和的重心，借助于比例的性質(zhì)證明，該種方法經(jīng)常使用，望注意把握． (2)“欲證線面平行，只須證線線平行”．判定定理給我們提供了一種證明線面平等的方法．根據(jù)問題具體情況要熟練運(yùn)用． 典型例題十六 例16　正方體中，、分別是、的中點(diǎn)如下圖． 求證：． 分析：要證

19、明，根據(jù)線面平等的判定定理，需要在平面內(nèi)找到與平行的直線，要充分借助于、為中點(diǎn)這一條件． 證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)、． ∵為的中點(diǎn)， ∴為的中位線，則，且． ∵為的中點(diǎn)， ∴且， ∴且， ∴四邊形為平行四邊形， ∴，而，， ∴． 典型例題十七 例17　如果直線，那么直線與平面內(nèi)的（　?。? A．一條直線不相交　　　　B．兩條相交直線不相交 　　C．無數(shù)條直線不相交　　　D．任意一條直線都不相交 解：根據(jù)直線和平面平行定義，易知排除A、B．對(duì)于C，無數(shù)條直線可能是一組平行線，也可能是共點(diǎn)線，∴C也不正確，應(yīng)排除C． 與平面內(nèi)任意一條直線都不相交，才能保證直線與平面平

20、行，∴D正確． ∴應(yīng)選D． 說明：本題主要考查直線與平面平行的定義． 典型例題十八 例18　分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關(guān)系是（　?。? A．一定平行　　　　　　B．一定相交 C．一定異面　　　　　　D．相交或異面 解：如圖中的甲圖，分別與異面直線、平行的兩條直線、是相交關(guān)系； 如圖中的乙圖，分別與異面直線、平行的兩條直線、是相交關(guān)系． 綜上，可知應(yīng)選D． 說明：本題主要考查有關(guān)平面、線面平行等基礎(chǔ)知識(shí)以及空間想象能力． 典型例題十九 例19　、是兩條異面直線，下列結(jié)論正確的是（　　）． 　　A．過不在、上的任一點(diǎn)，可作一個(gè)平面與、平行 B．過

21、不在、上的任一點(diǎn)，可作一個(gè)直線與、相交 C．過不在、上的任一點(diǎn)，可作一個(gè)直線與、都平行 D．過可以并且只可以作一平面與平行 解：A錯(cuò)，若點(diǎn)與所確定的平面與平行時(shí)，就不能使這個(gè)平面與平行了． B錯(cuò)，若點(diǎn)與所確定的平面與平等時(shí)，就不能作一條直線與，相交． C錯(cuò)，假如這樣的直線存在，根據(jù)公理4就可有，這與，異面矛盾． D正確，在上任取一點(diǎn)A，過A點(diǎn)做直線， 則與確定一個(gè)平面與平行，這個(gè)平面是惟一的． ∴應(yīng)選Ｄ． 說明：本題主要考查異面直線、線線平行、線面平行等基本概念． 典型例題二十 例20　(1)直線，，則與平面的位置關(guān)系是_____________． (2)是兩異面直

22、線、外的一點(diǎn)，過最多可作___________個(gè)平面同時(shí)與、平行． 解：(1)當(dāng)直線在平面外時(shí)，；當(dāng)直線在平面內(nèi)時(shí)，． ∴應(yīng)填：或． (2)因?yàn)檫^點(diǎn)分別作，的平行線只能作一條， （分別稱，）經(jīng)過，的平面也是惟一的．所以只能作一個(gè)平面； 還有不能作的可能，當(dāng)這個(gè)平面經(jīng)過或時(shí)，這個(gè)平面就不滿足條件了． ∴應(yīng)填：1． 說明：考慮問題要全面，各種可能性都要想到，是解答本題的關(guān)鍵． 典型例題二十一 例21　如圖，，是的另一側(cè)的點(diǎn)，，線段，，交于，，，若，，，則=___________． 解：∵，． ∴，即， ∴． 則． ∴應(yīng)填：． 說明：本題是一道綜合題，考查知識(shí)主要有：直線與平面平行性質(zhì)定理、相似三角形、比例性質(zhì)等．同時(shí)也考查了綜合運(yùn)用知識(shí)，分析和解決問題的能力．