2020年高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題 空間直線 理

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1、2020年高考數(shù)學(xué)（理）一輪經(jīng)典例題——空間直線 典型例題一 例1 若，，則，的位置關(guān)系是（ ）． A．異面直線 B．相交直線 C．平行直線 D．相交直線或異面直線 分析：判斷兩條直線的位置關(guān)系，可以通過觀察滿足已知條件的模型或圖形而得出正確結(jié)論． 解：如圖所示，在正方體中，設(shè)，，則． 若設(shè)，則與相交．若設(shè)，則與異面． 故選D． 說明：利用具體模型或圖形解決問題的方法既直觀又易于理解．一般以正方體、四面體等為具體模型．例如，，相交，，相交，則，的位置關(guān)系是相交、平行或異面．類似地；，

2、異面，，異面，則，的位置關(guān)系是平行、相交或異面．這些都可以用正方體模型來判斷． 典型例題二 例2 已知直線和點(diǎn)，，求證：過點(diǎn)有且只有一條直線和平行． 分析：“有且只有”的含義表明既有又惟一，因而這里要證明的有兩個方面，即存在性和惟一性． 存在性，即證明滿足條件的對象是存在的，它常用構(gòu)造法（即找到滿足條件的對象來證明）；惟一性，即證明滿足條件的對象只有一個，換句話說，說是不存在第二個滿足條件的對象． 因此，這是否定性命題，常用反證法． 證明：（1）存在性． ∵ ，∴ 和可確定一個平面， 由平面幾何知識知，在內(nèi)存在著過點(diǎn)和平行的直線． （2）惟一性

3、假設(shè)在空間過點(diǎn)有兩條直線和滿足和．根據(jù)公理4，必有與矛盾， ∴ 過點(diǎn)有一條且只有一條直線和平行． 說明：對于證明“有且只有”這類問題，一定要注意證明它的存在性和惟一性． 典型例題三 例3 如圖所示，設(shè)，，，分別是空間四邊形的邊，，，上的點(diǎn)，且，，求證： （1）當(dāng)時，四邊形是平行四邊形； （2）當(dāng)時，四邊形是梯形． 分析：只需利用空間等角定理證明即可． 證明：連結(jié)， 在中，，∴ ，且． 在中，，∴ ，且． ∴ ， ∴ 頂點(diǎn)，，，在由和確定的平面內(nèi)． （1）當(dāng)時，，故四邊形為平行四邊形； （2）當(dāng)時，，故四邊形是梯形． 說明：顯然，課本第11頁的例題就是

4、本題（2）的特殊情況． 特別地，當(dāng)時，，，，是空間四邊形各邊中點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形是平行四邊形． 如果再加上條件，這時，平行四邊形是菱形． 典型例題四 例4 已知是兩條異面直線，直線上的兩點(diǎn)的距離為6，直線上的兩點(diǎn)的距離為8，的中點(diǎn)分別為且，求異面直線所成的角． 分析：解題的關(guān)鍵在于依據(jù)異面直線所成角的定義構(gòu)造成和異面直線平行的兩條相交直線，然后把它們歸納到某一三角形中求解． 解：如圖，連結(jié)，并取的中點(diǎn)，連結(jié)， ∵分別是和的中位線， ∴，，即 ，． ∴所成的銳角或直角是異面直線所成的角． 又∵ ，， ∴，． 在中，又∵， ∴， ∴． 故異面直線所

5、成的角是． 說明：在求兩條異面直線所成的角時，一般要依據(jù)已知條件，找出與兩條異面直線分別平行并且相交于一點(diǎn)的兩條直線．但是，異面直線所成角的定義中的點(diǎn)一般是在圖形中存在著的，需要認(rèn)真觀察分析圖形的性質(zhì)，從而找出這一點(diǎn)和過這一點(diǎn)與兩異面直線平行的直線，以得到兩條異面直線所成的角，在求這個角的大小時，一般是根據(jù)平面圖形中解三角形的知識求解的． 典型例題五 例5 已知四面體的所有棱長均為．求： （1）異面直線的公垂線段及的長； （2）異面直線和所成的角． 分析：依異面直線的公垂線的概念求作異面直線的公垂線段，進(jìn)而求出其距離；對于異面直線所成的角可采取平移構(gòu)造法求解． 解：（1）如

6、圖，分別取的中點(diǎn)，連結(jié)． 由已知，得≌． ∴，是的中點(diǎn)， ∴． 同理可證 ∴是的公垂線段． 在中，，． ∴ ． （2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則． ∴和所成的銳角或直角就是異面直線和所成的角． 連結(jié)，在中，，，． 由余弦定理，得 ． ∴． 故異面直線和所成的角為． 說明：對于立體幾何問題要注意轉(zhuǎn)化為平面問題來解決，同時要將轉(zhuǎn)化過程簡要地寫出來，然后再求值． 典型例題六 例6　如圖所示，兩個三角形和的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線、、交于同一點(diǎn)，且． (1)證明：，，； (2)求的值． 分析：證兩線平等當(dāng)然可用平面幾何的方法．而求面積之比則需證兩個三角

7、形相似，由于三角形是平面圖形，故也可用平面幾何的方法證明． 證明：(1)當(dāng)和在點(diǎn)兩側(cè)時，如圖甲 ∵與相交于點(diǎn)，且， ∴（因?yàn)?、共面）? 同理，． (2)∵，且，和，和的方向相反，∴，同理． 因此，∽． 又，∴． 當(dāng)和在點(diǎn)的同側(cè)時，如圖乙所示，同理可得(1)(2)． 說明：此題與是否共面并不重要，因?yàn)榈冉嵌ɡ韺Ω鞣N位置已作說明． 典型例題七 例7　是矩形所在平面外一點(diǎn)，，，與成角，與成角，，求： (1)直線與的距離； (2)求直線與的距離． 分析：要求出與、與的距離，必須找到它們的公垂線段，公垂線段的長度即為異面直線間的距離． 解：如圖所示，在矩形中，．

8、 ∵，∴． 又，∴是異面直線、的公垂線段， 其長度為異面直線、的距離． 在中，∵是與所成的角， ∴．又，∴． (2)在矩形中，，， ∴，又， ∴是直線、的公垂線段，其長度為異面直線、的距離． 在中，是異面直線與所成的角，∴． 又，∴， ∴直線與的距離為． 說明：(1)求異面直線之間距離的步驟是：①找（作）線段；②證線段是公垂線段；③求公垂線段的長度． (2)求異面直線間的距離的問題，高考中一般會給出公垂線段． 典型例題八 例8　、、是三條直線，若與異面，與異面，判斷與的位置關(guān)系，并畫圖說明． 分析：這是一道考查異面直線概念及空間直線位置關(guān)系的問題，同時也考查

9、了圖形語言的表達(dá)能力． 解：直線與的位置關(guān)系有以下三種情形如圖： ∴直線與的位置關(guān)系可能平行（圖中的(1)）；可能相交（如圖中的(2)）； 可能異面（圖中的(3)）． 說明：本題也考查了空間想象能力和邏輯劃分、分類討論的能力． 典型例題九 例9　如果兩條異面直線稱作“一對”，那么在正方體的十二條棱中，共有幾對異面直線（　　）． A．12對　　B．24對　　C．36對　　D．48對 分析：一般地，立體幾何中的計數(shù)問題，是由所數(shù)的量的性質(zhì)，確定一規(guī)律，然后按此規(guī)律進(jìn)行計數(shù)．正方體的各棱具有相同的位置關(guān)系．所以以一條棱為基量，考察與其異面的幾對，問題可解． 解：如圖，正方體

10、中與異面有，，，， ∵各棱具有相同的位置關(guān)系，且正方體有12條棱，排除兩棱的重復(fù)計算成本， ∴異面直線共有對． 說明：分析清楚幾何體特點(diǎn)是避免重復(fù)計數(shù)的關(guān)鍵．計數(shù)問題必須避免盲目亂數(shù)，做到“不重不漏”． 典型例題十 例10　如圖，已知不共面的直線，，相交于點(diǎn)，、是直線上兩點(diǎn)，、分別是，上一點(diǎn)． 求證：和是異面直線． 證法1：假設(shè)和不是異面直線， 則與在同一平面內(nèi)，設(shè)為 ∵， ∴． 又，∴． ∵且，， ∴． 同理： ∴，，共面于，與已知，，不共面相矛盾， ∴、是異面直線． 證法2：∵，∴直線，確定一平面設(shè)為． ∵，，∴，， ∴且，． 又，，不共

11、面，，∴， ∴與為異面直線． 說明：證明兩條直線異面的方法有兩種． (1)用定義證明（即定義法）：此時需借反證法，假設(shè)兩條直線不異面，根據(jù)空間兩條直線的位置關(guān)系，這兩條直線一定共面，即這兩條直線可能相交也可能平行，然后，推導(dǎo)出矛盾即可． (2)用定理證明（即定理法）：用該法證明時，必須闡述出定理滿足的條件：，，，然后可以推導(dǎo)出直線與是異面直線． 典型例題十一 　例11　已知平面與平面相交于直線，，為直線上的兩點(diǎn)．在內(nèi)作直線，在內(nèi)作直線．求證和是異面直線． 已知：平面平面=，，，，，如圖． 求證：、是異面直線． 證明：假設(shè)，不是異面直線，則它們必共面． ∴、、、在同一

12、平面內(nèi)． 即、、所確定的平面與、、確定的平面重合 這與平面平面=矛盾 ∴、是異面直線． 說明：證明兩條直線為異面直線，用反證法往往比較簡單． 典型例題十二 例12　已知空間四邊形，求證它的對角線和是異面直線． 證法一：（反證法）如圖 假設(shè)和不是異面直線，則和在同一平面內(nèi)． ∴、、、在同一平面內(nèi)，即四邊形是平面四邊形， 這與已知條件矛盾，所以假設(shè)不成立． 因此和是異面直線． 證法二：（定理法） 過和作一平面，則對角線在平面內(nèi)． 對角線與平面交于外的一點(diǎn)，即點(diǎn)不在直線上， 且點(diǎn)在平面外． ∴根據(jù)異面直線判定定理知：和是異面直線． 說明：判定兩條直線是異面直

13、線的證明問題常用這兩種方法，即(1)反證法，(2)用判定定理． 典型例題十三 例13　已知空間四邊形，，是的邊上的高，是的邊上的中線，求證：和是異面直線． 證法一：（定理法）如圖 由題設(shè)條件可知點(diǎn)、不重合，設(shè)所在平面． ∴和是異面直線． 證法二：（反證法） 若和不是異面直線，則和共面，設(shè)過、的平面為． (1)若、重合，則是的中點(diǎn)，這與題設(shè)相矛盾． (2)若、不重合， ∵，，，∴． ∵，， ∴、、、四點(diǎn)共面，這與題設(shè)是空間四邊形相矛盾． 綜上，假設(shè)不成立． 故和是異面直線． 說明：反證法不僅應(yīng)用于有關(guān)數(shù)學(xué)問題的證明，在其他方面也有廣泛的應(yīng)用． 首先看一個有

14、趣的實(shí)際問題： “三十六口缸，九條船來裝，只準(zhǔn)裝單，不準(zhǔn)裝雙，你說怎么裝？” 對于這個問題，同學(xué)們可試驗(yàn)做一做． 也許你在試驗(yàn)幾次后卻無法成功時，覺得這種裝法的可能性是不存在的．那么你怎樣才能清楚地從理論上解釋這種裝法是不可能呢？ 用反證法可以輕易地解決這個問題．假設(shè)這種裝法是可行的，每條船裝缸數(shù)為單數(shù)，則9個單數(shù)之和仍為單數(shù)，與36這個雙數(shù)矛盾．只須兩句話就解決了這個問題． 典型例題十四 例14　已知、分別是正方體的棱、的中點(diǎn)． 求證：． 分析：欲證兩個角相等，可通過等角定理或其推論來實(shí)現(xiàn)． 證明：如圖，連結(jié) ∵，分別為，中點(diǎn)， ∴， ∴為平行四邊形． ∴．

15、 又∵，∴， ∴四邊形是平行四邊形． ∴．同理．又與方向相同． ∴． 說明：有關(guān)證明角相等問題，一般采用下面三種途徑：(1)利用等角定理及其推論；(2)利用證三角形相似；(3)利用證三角形全等． 本例是通過第一種途徑來實(shí)現(xiàn)．請同學(xué)們再利用第三種途徑給予證明． 典型例題十五 例15　由四個全等的等邊三角形的封面幾何體稱為正四面體，如圖，正四面體中，、分別是棱、的中點(diǎn)，與是一對異面直線，在圖形中適當(dāng)?shù)倪x取一點(diǎn)作出異面直線、的平行線，找出異面直線與成的角． 分析1：選取平面，該平面有以下兩個特點(diǎn)，(1)該平面包含直線，(2)該平面與相交于點(diǎn)，伸展平面，在該平面中，過點(diǎn)作交的

16、延長線于，連結(jié)．可以看出：與所成的角，即為異面直線與所成的角．如圖． 分析2：選取平面，該平面有以下兩個特點(diǎn)：(1)該平面包含直線，(2)該平面與相交于點(diǎn)．在平面中，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，連結(jié)，可以看出：與所成的角，即為異面直線與所成的角．如圖． 分析3：選取平面，該平面有如下兩個特點(diǎn)：(1)該平面包含直線，(2)該平面與相交于點(diǎn)．在平面中，過點(diǎn)作，與相交于點(diǎn)，連結(jié)，可以看出：與所成的角，即為異面直線與所成的角． 分析4：選取平面，該平面有如下特點(diǎn)：(1)該平面包含直線，(2)該平面與相交于點(diǎn)，伸展平面，在該平面內(nèi)過點(diǎn)作與的延長線交于點(diǎn)，且，連結(jié)，則與所成的角，即為異面直線與

17、所成的角．如圖． 說明：(1)兩條異面直線所成的角是非常重要的知識點(diǎn)，是每年高考的必考內(nèi)容，要求牢固掌握兩條異面直線所成的角的定義和兩條異面直線互相垂直的概念，兩條異面直線所成的角是刻劃兩條異面直線相對位置的一個量，是通過轉(zhuǎn)化為相交直線成角來解決的，這里我們要注意：兩條異面直線所成的角的范圍是，當(dāng)時，這兩條異面直線互相垂直．求兩條異面直線所成角的關(guān)鍵是作出這兩條異面直線所成的角，作兩條異面直線所成的角的方法是：將其中一條平移到某個位置使其與另一條相交或是將兩條異面直線同時平移到某個位置使它們相交，然后在同一平面內(nèi)求相交直線所成的角．值得注意的是：平移后相交所得的角必須容易算出，因此平移時

18、要求選擇恰當(dāng)位置．一般提倡像思考2，那樣作角，因?yàn)榇私窃趲缀误w內(nèi)部，易求． (2)本例題多方位、多角度思考問題，思路開闊、運(yùn)用知識靈活，對我們解決異面直線所成角問題大有裨益，要認(rèn)真理解． 典型例題十六 例16　如圖，等腰直角三角形中，，，，，若，且為的中點(diǎn)． 求異面直線與所成角的余弦值． 分析：根據(jù)異面直線所成角的定義，我們可以選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，分別引與的平行線，換句話說，平移（或）．設(shè)想平移，沿著的方向，使移向，則移向的中點(diǎn)，這樣與所成的角即為或其補(bǔ)角，解即可獲解． 解：取的中點(diǎn)，連結(jié)，在中，、分別是、的中點(diǎn)， ∴， ∴即為所求的異面直線與所成的角或其補(bǔ)角． 在中，，，

19、∴． 在中，，，∴． 在中，，，∴． 在等腰三角形中，， ∴異面直線與所成角的余弦值為． 說明：求角或求角的三角函數(shù)值的一般步驟是：①找（或作出）角，適合題意，②求角或求角的三角函數(shù)值，往往是化歸成一個三角形的內(nèi)角，通過解三角形求得． 典型例題十七 例17　在正四面體中，已知是棱的中點(diǎn)，求異面直線和所成角的余弦值． 分析：可在平面內(nèi)過作平行線，可在中求得所成角的余弦值． 解：如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)，， ∵為的中點(diǎn)， ∴為的中位線，∴， ∴與所成的銳角或直角就是異面直線和所成的角． 設(shè)正四面體的棱長為，由正三角形的性質(zhì)知， ，．在中， ，即異面直線和所成角的余

20、弦值為． 說明：本題是利用三角形中位線達(dá)到平移的目的．這種作異面直線所成角的方法稱為中位線平移法． 典型例題十八 例18　在正方體中，求正方體對角線和面對角線所成角的大小． 解：如圖． 取上中點(diǎn)，則有：， 連結(jié)．令，則， 連結(jié)，， ∵，分別為，的中點(diǎn)， ∴， ∴(或)是異面直線和所成的角． 在及中， ∵，， ∴≌， ∴， ∴為等腰三角形． 又為中點(diǎn)， ∴， ∴異面直線和所成角為． 說明：(1)由于異面直線所成角最大為直角，所以，在把異面直線平移得到的兩個夾角中，必須選取其中較小的角為異面直線的所成角． (2)實(shí)際上，正方體的體對角線與任意一條

21、面對角線所成角均為直角． 典型例題十九 例19　在正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，求、所成角的余弦值． 分析1：可平移至，可得到角，再解三角形即可．但要注意到為鈍角． 解法1：如圖， 連結(jié)，則， 由與所成的銳角或直角，就是與所成的角， 連，令正方體的棱長為， 有， 在中，， ∴的補(bǔ)角為異面直線與所成角． ∴、所成角的余弦值是． 分析2：連結(jié)、，可得即為異面直線和所成的角．進(jìn)而求其余弦值． 解法2：連結(jié)、，可證得．(∵) (或其補(bǔ)角)即為異面直線、所成的角． ，． 由余弦定理，有 ， ∴、所成角的余弦值是． 說明：異面直線所成角的范圍是，當(dāng)求得某角的余弦

22、值為負(fù)值時，則此角的補(bǔ)角是異面直線所成角． 典型例題二十 例20　在空間四邊形中：，，，分別是，的中點(diǎn)．求證：線段是異面直線，的公垂線． 證明：如圖． 連結(jié)、、、． 在和中， ，，公用 ∴≌． 又是中點(diǎn)， ∴． 在中，是的中點(diǎn)， ∴． 同理， ∴是異面直線、的公垂線． 說明：證明某一條直線是兩條異面直線的公垂線，須證明以下兩點(diǎn)：(1)與兩條異面直線都垂直；(2)與兩條異面直線都相交． 典型例題二十一 例21　如圖，空間四邊形中，四邊、、、和對角線、都等于，、分別為、的中點(diǎn)． (1)求證：是異面直線、的公垂線． (2)求異面直線和的距離． 分

23、析：要證明是異面直線與的公垂線，必須說明兩個方面的問題，一個方面與、都相交，另一個方面、與都垂直． (1)證明：連結(jié)、，由已知和均為正三角形，、分別為、的中點(diǎn)，∴，． 同理，又與、都相交， ∴為異面直線、的公垂線． (2)解：∵空間四邊形各邊及對角線、的長均為， ∴，而， ∴在中，． ∴異面直線和之間的距離為． 說明：(1)求線段的長度一般地要把該線段放到一個三角形中去求解，尤其是放到特殊三角形中去求解，如直角三角形、等腰三角形等． (2)滿足條件的該空間四邊形其實(shí)質(zhì)是空間正四面體，該問題實(shí)質(zhì)上是求正四面體對棱之間的距離． 典型例題二十二 例22　已知、是異面直線，直

24、線直線，那么與（　　）． A．一定是異面直線　　　B．一定是相交直線 C．不可能是平行直線　　D．不可能是相交直線 解：由已知、是異面直線，直線直線，所以直線直線，否則若，則有與已知矛盾．所以． ∴應(yīng)選C． 說明：本題考察兩直線位置關(guān)系和公理4的應(yīng)用及異面直線定義． 典型例題二十三 例23　兩條異面直線指的是（　?。? A．在空間內(nèi)不相交的兩條直線 B．分別位于兩個不同平面內(nèi)的兩條直線 C．某平面內(nèi)的一條直線和這個平面外的一條直線 D．不在同一平面內(nèi)的兩條直線 解：對于A,在空間內(nèi)不相交的兩條直線也可能是平行，應(yīng)排除A． 對于B，分別位于兩個不同平面內(nèi)的兩條直

25、線可能是異面直線， 也可能是相交直線或平行直線，應(yīng)排除B． 對于C，某平面內(nèi)的一條直線和這個平面外的一條直線可能是異面直線， 也可能是平行直線，應(yīng)排除C． ∴應(yīng)選D． 說明：本題主要考查對異面直線定義的掌握，特別是對“不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線”含義的理解． 典型例題二十四 例24　如圖，在棱長為1的正方體中，、分別為和的中點(diǎn)，那么直線與所成的角的余弦值是（　　）． A．　　B．　　C．　　D． 解：在平面中，過點(diǎn)作，交于，連結(jié)，如圖， (或其補(bǔ)角)就是與所成的角． 設(shè)的中點(diǎn)為，則是中點(diǎn)． 可求得，，． 在中，由余弦定理得 ． ∴應(yīng)選D． 說明：作出

26、平行線，進(jìn)而在中利用余弦定理求出直線與所成角的余弦值． 典型例題二十五 例25　如圖，是正方體，，則與所成的角的余弦值是（　　）． A．　　　B．　　　C．　　　D． 解：過點(diǎn)在平面內(nèi)作，再過在平面內(nèi)作， 則(或其補(bǔ)角)即是與所成的角． 由已知， 是正方體，所以可求得(為正方體的棱長)， 又，而， ∴，顯然． 在中，由余弦定理，得 ． ∴應(yīng)選A． 說明：(1)解答本題的關(guān)鍵是作平行線、．進(jìn)而在中解出的余弦值；(2)考查歷屆高考試題，求異面直線所成角的題常以正方體和正四面體為載體，在正方體和正四面體中命題． 典型例題二十六 例26　在棱長都相等的四面體中，、分別是棱、的中點(diǎn)，連結(jié)、，如圖所示，求異面直線、所成角的余弦值． 解：連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，， 又是的中點(diǎn)，故，所以是異面直線、所成角． ∵是正三角形的高， ∴，∴． 在中，，，則 ． 在中，，，， 用余弦定理可得． ∴異面直線、所成角的余弦值是． 說明：求兩條異面直線所成角或求所成角的函數(shù)值，關(guān)鍵是作出異面直線所成的角． 作兩條異面直線所成角的方法一般是：將其中一條平移到某個位置使其也另一條相交也或者將兩條異面直線同時平移到某個位置使它們相交，使得這個角在某一個平面的三角形內(nèi)，進(jìn)而求出．但要注意：平移后相交所得的角必須容易算出，因此平移時應(yīng)選擇恰當(dāng)?shù)奈恢茫?