線性代數(shù)練習(xí)題 2012

線性代數(shù)復(fù)習(xí)提綱第一部分：基本要求（計(jì)算方面）四階行列式的計(jì)算；N階特殊行列式的計(jì)算（如有行和、列和相等）；矩陣的運(yùn)算（包括加、減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、逆等的混合運(yùn)算）；求矩陣的秩、逆（兩種方法）；解矩陣方程；含參數(shù)的線性方程組解的情況的討論；齊次、非齊次線性方程組的求解（包括唯一、無窮多解）；討論一個(gè)向量能否用和向量組線性表示；討論或證明向量組的相關(guān)性；求向量組的極大無關(guān)組，并將多余向量用極大無關(guān)組線性表示；將無關(guān)組正交化、單位化；求方陣的特征值和特征向量；討論方陣能否對角化，如能，要能寫出相似變換的矩陣及對角陣；通過正交相似變換（正交矩陣）將對稱矩陣對角化；寫出二次型的矩陣，并將二次型標(biāo)準(zhǔn)化，寫出變換矩陣；判定二次型或?qū)ΨQ矩陣的正定性。第二部分：基本知識 一、行列式1行列式的定義用n2個(gè)元素aij組成的記號稱為n階行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n個(gè)元素乘積的代數(shù)和；（2）展開式共有n!項(xiàng)，其中符號正負(fù)各半；2行列式的計(jì)算一階|=行列式，二、三階行列式有對角線法則；N階（n>=3）行列式的計(jì)算：降階法定理：n階行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和。方法：選取比較簡單的一行（列），保保留一個(gè)非零元素，其余元素化為0，利用定理展開降階。特殊情況上、下三角形行列式、對角形行列式的值等于主對角線上元素的乘積；（2）行列式值為0的幾種情況：行列式某行（列）元素全為0；行列式某行（列）的對應(yīng)元素相同；行列式某行（列）的元素對應(yīng)成比例；奇數(shù)階的反對稱行列式。二矩陣1矩陣的基本概念（表示符號、一些特殊矩陣如單位矩陣、對角、對稱矩陣等）；2矩陣的運(yùn)算（1）加減、數(shù)乘、乘法運(yùn)算的條件、結(jié)果；（2）關(guān)于乘法的幾個(gè)結(jié)論：矩陣乘法一般不滿足交換律（若ABBA，稱A、B是可交換矩陣）；矩陣乘法一般不滿足消去律、零因式不存在；若A、B為同階方陣，則|AB|=|A|*|B|；|kA|=kn|A|3矩陣的秩（1）定義非零子式的最大階數(shù)稱為矩陣的秩；（2）秩的求法一般不用定義求，而用下面結(jié)論：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；階梯形矩陣的秩等于非零行的個(gè)數(shù)（每行的第一個(gè)非零元所在列，從此元開始往下全為0的矩陣稱為行階梯陣）。求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩。4逆矩陣（1）定義：A、B為n階方陣，若ABBAI，稱A可逆，B是A的逆矩陣（滿足半邊也成立）；（2）性質(zhì)：(AB)-1=(B-1)*(A-1)，(A')-1=(A-1)'；(A B的逆矩陣，你懂的)（注意順序）（3）可逆的條件： |A|0；r(A)=n; A->I;（4）逆的求解伴隨矩陣法A-1=(1/|A|)A*；(A* A的伴隨矩陣)初等變換法（A:I）->(施行初等變換)（I:A-1） 5用逆矩陣求解矩陣方程：AX=B，則X=（A-1）B；XB=A，則X=B(A-1)；AXB=C，則X=(A-1)C(B-1) 三、線性方程組1線性方程組解的判定定理：(1) r(A,b)r(A) 無解；(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)<n 有無窮多組解；特別地：對齊次線性方程組AX=0(1) r(A)=n 只有零解；(2) r(A)<n 有非零解；再特別，若為方陣，(1)|A|0 只有零解(2)|A|=0 有非零解2齊次線性方程組（1）解的情況：r(A)=n，（或系數(shù)行列式D0）只有零解；r(A)<n，（或系數(shù)行列式D0）有無窮多組非零解。（2）解的結(jié)構(gòu)：X=c11+c22+Cn-rn-r。（3）求解的方法和步驟：將增廣矩陣通過行初等變換化為最簡階梯陣；寫出對應(yīng)同解方程組；移項(xiàng)，利用自由未知數(shù)表示所有未知數(shù)；表示出基礎(chǔ)解系；寫出通解。3非齊次線性方程組（1）解的情況：利用判定定理。（2）解的結(jié)構(gòu)：X=u+c11+c22+Cn-rn-r。（3）無窮多組解的求解方法和步驟：與齊次線性方程組相同。（4）唯一解的解法：有克萊姆法則、逆矩陣法、消元法（初等變換法）。四、向量組1N維向量的定義注：向量實(shí)際上就是特殊的矩陣（行矩陣和列矩陣）。2向量的運(yùn)算：（1）加減、數(shù)乘運(yùn)算（與矩陣運(yùn)算相同）；（2）向量內(nèi)積'=a1b1+a2b2+anbn；（3）向量長度|='=(a12+a22+an2) ( 根號)（4）向量單位化(1/|)；（5）向量組的正交化（施密特方法）設(shè)1， 2，n線性無關(guān)，則1=1，2=2-（21/1）*1，3=3-（31/11）*1-（32/22）*2，。3線性組合（1）定義若=k11+k2 2+knn，則稱是向量組1， 2，n的一個(gè)線性組合，或稱可以用向量組1， 2，n的一個(gè)線性表示。（2）判別方法將向量組合成矩陣，記A(1， 2，n)，B=(1，2，n,)若r (A)=r (B)，則可以用向量組1， 2，n的一個(gè)線性表示；若r (A)r (B)，則不可以用向量組1， 2，n的一個(gè)線性表示。（3）求線性表示表達(dá)式的方法：將矩陣B施行行初等變換化為最簡階梯陣，則最后一列元素就是表示的系數(shù)。4向量組的線性相關(guān)性（1）線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義設(shè) k11+k22+knn=0，若k1,k2,，kn不全為0，稱線性相關(guān)；若k1,k2,，kn全為0，稱線性無關(guān)。（2）判別方法： r(1， 2，n)<n，線性相關(guān)；r(1， 2，n)=n，線性無關(guān)。若有n個(gè)n維向量，可用行列式判別：n階行列式aij0，線性相關(guān)（0無關(guān)） (行列式太不好打了)5極大無關(guān)組與向量組的秩（1）定義極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)稱為向量組的秩（2）求法設(shè)A(1， 2，n)，將A化為階梯陣，則A的秩即為向量組的秩，而每行的第一個(gè)非零元所在列的向量就構(gòu)成了極大無關(guān)組。五、矩陣的特征值和特征向量1定義對方陣A，若存在非零向量X和數(shù)使AXX，則稱是矩陣A的特征值，向量X稱為矩陣A的對應(yīng)于特征值的特征向量。2特征值和特征向量的求解：求出特征方程|I-A|=0的根即為特征值，將特征值代入對應(yīng)齊次線性方程組(I-A)X0中求出方程組的所有非零解即為特征向量。3重要結(jié)論：（1）A可逆的充要條件是A的特征值不等于0；（2）A與A的轉(zhuǎn)置矩陣A'有相同的特征值；（3）不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)。六、矩陣的相似1定義對同階方陣A、B，若存在可逆矩陣P，使P-1AP=B，則稱A與B相似。2求A與對角矩陣相似的方法與步驟（求P和）：求出所有特征值；求出所有特征向量；若所得線性無關(guān)特征向量個(gè)數(shù)與矩陣階數(shù)相同，則A可對角化（否則不能對角化），將這n個(gè)線性無關(guān)特征向量組成矩陣即為相似變換的矩陣P，依次將對應(yīng)特征值構(gòu)成對角陣即為。3求通過正交變換Q與實(shí)對稱矩陣A相似的對角陣：方法與步驟和一般矩陣相同，只是第三歩要將所得特征向量正交化且單位化。七、二次型n1定義n元二次多項(xiàng)式f(x1,x2,，xn)= aijxixj稱為二次型,若aij=0(ij)，則稱為二交型的標(biāo)準(zhǔn)型。i,j=12二次型標(biāo)準(zhǔn)化：配方法和正交變換法。正交變換法步驟與上面對角化完全相同，這是由于對正交矩陣Q，Q-1=Q'，即正交變換既是相似變換又是合同變換。3二次型或?qū)ΨQ矩陣的正定性：（1）定義（略）；（2）正定的充要條件：A為正定的充要條件是A的所有特征值都大于0；A為正定的充要條件是A的所有順序主子式都大于0；線性代數(shù)復(fù)習(xí)提綱第一部分：基本要求（計(jì)算方面）四階行列式的計(jì)算；N階特殊行列式的計(jì)算（如有行和、列和相等）；矩陣的運(yùn)算（包括加、減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、逆等的混合運(yùn)算）；求矩陣的秩、逆（兩種方法）；解矩陣方程；含參數(shù)的線性方程組解的情況的討論；齊次、非齊次線性方程組的求解（包括唯一、無窮多解）；討論一個(gè)向量能否用和向量組線性表示；討論或證明向量組的相關(guān)性；求向量組的極大無關(guān)組，并將多余向量用極大無關(guān)組線性表示；將無關(guān)組正交化、單位化；求方陣的特征值和特征向量；討論方陣能否對角化，如能，要能寫出相似變換的矩陣及對角陣；通過正交相似變換（正交矩陣）將對稱矩陣對角化；寫出二次型的矩陣，并將二次型標(biāo)準(zhǔn)化，寫出變換矩陣；判定二次型或?qū)ΨQ矩陣的正定性。第二部分：基本知識一、行列式1行列式的定義用n2個(gè)元素aij組成的記號稱為n階行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n個(gè)元素乘積的代數(shù)和；（2）展開式共有n!項(xiàng)，其中符號正負(fù)各半；2行列式的計(jì)算一階|=行列式，二、三階行列式有對角線法則；N階（n>=3）行列式的計(jì)算：降階法定理：n階行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和。方法：選取比較簡單的一行（列），保保留一個(gè)非零元素，其余元素化為0，利用定理展開降階。特殊情況上、下三角形行列式、對角形行列式的值等于主對角線上元素的乘積；（2）行列式值為0的幾種情況：行列式某行（列）元素全為0；行列式某行（列）的對應(yīng)元素相同；行列式某行（列）的元素對應(yīng)成比例；奇數(shù)階的反對稱行列式。二矩陣1矩陣的基本概念（表示符號、一些特殊矩陣如單位矩陣、對角、對稱矩陣等）；2矩陣的運(yùn)算（1）加減、數(shù)乘、乘法運(yùn)算的條件、結(jié)果；（2）關(guān)于乘法的幾個(gè)結(jié)論：矩陣乘法一般不滿足交換律（若ABBA，稱A、B是可交換矩陣）；矩陣乘法一般不滿足消去律、零因式不存在；若A、B為同階方陣，則|AB|=|A|*|B|；|kA|=kn|A|3矩陣的秩（1）定義非零子式的最大階數(shù)稱為矩陣的秩；（2）秩的求法一般不用定義求，而用下面結(jié)論：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；階梯形矩陣的秩等于非零行的個(gè)數(shù)（每行的第一個(gè)非零元所在列，從此元開始往下全為0的矩陣稱為行階梯陣）。求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩。4逆矩陣（1）定義：A、B為n階方陣，若ABBAI，稱A可逆，B是A的逆矩陣（滿足半邊也成立）；（2）性質(zhì)：(AB)-1=(B-1)*(A-1)，(A')-1=(A-1)'；(A B的逆矩陣，你懂的)（注意順序）（3）可逆的條件： |A|0；r(A)=n; A->I;（4）逆的求解伴隨矩陣法A-1=(1/|A|)A*；(A* A的伴隨矩陣)初等變換法（A:I）->(施行初等變換)（I:A-1） 5用逆矩陣求解矩陣方程：AX=B，則X=（A-1）B；XB=A，則X=B(A-1)；AXB=C，則X=(A-1)C(B-1)三、線性方程組1線性方程組解的判定定理：(1) r(A,b)r(A) 無解；(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)<n 有無窮多組解；特別地：對齊次線性方程組AX=0(1) r(A)=n 只有零解；(2) r(A)<n 有非零解；再特別，若為方陣，(1)|A|0 只有零解(2)|A|=0 有非零解2齊次線性方程組（1）解的情況：r(A)=n，（或系數(shù)行列式D0）只有零解；r(A)<n，（或系數(shù)行列式D0）有無窮多組非零解。（2）解的結(jié)構(gòu)：X=c11+c22+Cn-rn-r。（3）求解的方法和步驟：將增廣矩陣通過行初等變換化為最簡階梯陣；寫出對應(yīng)同解方程組；移項(xiàng)，利用自由未知數(shù)表示所有未知數(shù)；表示出基礎(chǔ)解系；寫出通解。3非齊次線性方程組（1）解的情況：利用判定定理。（2）解的結(jié)構(gòu)：X=u+c11+c22+Cn-rn-r。（3）無窮多組解的求解方法和步驟：與齊次線性方程組相同。（4）唯一解的解法：有克萊姆法則、逆矩陣法、消元法（初等變換法）。四、向量組1N維向量的定義注：向量實(shí)際上就是特殊的矩陣（行矩陣和列矩陣）。2向量的運(yùn)算：（1）加減、數(shù)乘運(yùn)算（與矩陣運(yùn)算相同）；（2）向量內(nèi)積'=a1b1+a2b2+anbn；（3）向量長度|='=(a12+a22+an2) ( 根號)（4）向量單位化(1/|)；（5）向量組的正交化（施密特方法）設(shè)1， 2，n線性無關(guān)，則1=1，2=2-（21/1）*1，3=3-（31/11）*1-（32/22）*2，。3線性組合（1）定義若=k11+k2 2+knn，則稱是向量組1， 2，n的一個(gè)線性組合，或稱可以用向量組1， 2，n的一個(gè)線性表示。（2）判別方法將向量組合成矩陣，記A(1， 2，n)，B=(1，2，n,)若r (A)=r (B)，則可以用向量組1， 2，n的一個(gè)線性表示；若r (A)r (B)，則不可以用向量組1， 2，n的一個(gè)線性表示。（3）求線性表示表達(dá)式的方法：將矩陣B施行行初等變換化為最簡階梯陣，則最后一列元素就是表示的系數(shù)。4向量組的線性相關(guān)性（1）線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義設(shè) k11+k22+knn=0，若k1,k2,，kn不全為0，稱線性相關(guān)；若k1,k2,，kn全為0，稱線性無關(guān)。（2）判別方法： r(1， 2，n)<n，線性相關(guān)；r(1， 2，n)=n，線性無關(guān)。若有n個(gè)n維向量，可用行列式判別：n階行列式aij0，線性相關(guān)（0無關(guān)） (行列式太不好打了)5極大無關(guān)組與向量組的秩（1）定義極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)稱為向量組的秩（2）求法設(shè)A(1， 2，n)，將A化為階梯陣，則A的秩即為向量組的秩，而每行的第一個(gè)非零元所在列的向量就構(gòu)成了極大無關(guān)組。五、矩陣的特征值和特征向量1定義對方陣A，若存在非零向量X和數(shù)使AXX，則稱是矩陣A的特征值，向量X稱為矩陣A的對應(yīng)于特征值的特征向量。2特征值和特征向量的求解：求出特征方程|I-A|=0的根即為特征值，將特征值代入對應(yīng)齊次線性方程組(I-A)X0中求出方程組的所有非零解即為特征向量。3重要結(jié)論：（1）A可逆的充要條件是A的特征值不等于0；（2）A與A的轉(zhuǎn)置矩陣A'有相同的特征值；（3）不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)。六、矩陣的相似1定義對同階方陣A、B，若存在可逆矩陣P，使P-1AP=B，則稱A與B相似。2求A與對角矩陣相似的方法與步驟（求P和）：求出所有特征值；求出所有特征向量；若所得線性無關(guān)特征向量個(gè)數(shù)與矩陣階數(shù)相同，則A可對角化（否則不能對角化），將這n個(gè)線性無關(guān)特征向量組成矩陣即為相似變換的矩陣P，依次將對應(yīng)特征值構(gòu)成對角陣即為。3求通過正交變換Q與實(shí)對稱矩陣A相似的對角陣：方法與步驟和一般矩陣相同，只是第三歩要將所得特征向量正交化且單位化。七、二次型n1定義n元二次多項(xiàng)式f(x1,x2,，xn)= aijxixj稱為二次型,若aij=0(ij)，則稱為二交型的標(biāo)準(zhǔn)型。i,j=12二次型標(biāo)準(zhǔn)化：配方法和正交變換法。正交變換法步驟與上面對角化完全相同，這是由于對正交矩陣Q，Q-1=Q'，即正交變換既是相似變換又是合同變換。3二次型或?qū)ΨQ矩陣的正定性：（1）定義（略）；（2）正定的充要條件：A為正定的充要條件是A的所有特征值都大于0；A為正定的充要條件是A的所有順序主子式都大于0；