2020年高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題 球 理

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1、2020年高考數(shù)學(xué)（理）一輪經(jīng)典例題——球 典型例題一 例1．已知地球的半徑為，球面上兩點(diǎn)都在北緯45圈上，它們的球面距離為，點(diǎn)在東經(jīng)30上，求點(diǎn)的位置及兩點(diǎn)所在其緯線圈上所對(duì)應(yīng)的劣弧的長(zhǎng)度． 分析：求點(diǎn)的位置，如圖就是求的大小，只需求出弦的長(zhǎng)度．對(duì)于應(yīng)把它放在中求解，根據(jù)球面距離概念計(jì)算即可． 解：如圖，設(shè)球心為，北緯45圈的中心為， 由兩點(diǎn)的球面距離為，所以=， 為等邊三角形．于是． 由， ．即=． 又點(diǎn)在東經(jīng)30上，故的位置在東經(jīng)120，北緯45或者西經(jīng)60，北緯45． 兩點(diǎn)在其緯線圈上所對(duì)應(yīng)的劣?。? 說(shuō)明：此題主要目的在于明確經(jīng)度和緯度概念，及利用球的

2、截面的性質(zhì)和圓的有關(guān)性質(zhì)設(shè)計(jì)計(jì)算方案． 典型例題二 例2．用兩個(gè)平行平面去截半徑為的球面，兩個(gè)截面圓的半徑為，．兩截面間的距離為，求球的表面積． 分析：此類(lèi)題目的求解是首先做出截面圖，再根據(jù)條件和截面性質(zhì)做出與球的半徑有關(guān)的三角形等圖形，利用方程思想計(jì)算可得． 解：設(shè)垂直于截面的大圓面交兩截面圓于，上述大圓的垂直于的直徑交于，如圖2． 設(shè)，則，解得． ． 說(shuō)明：通過(guò)此類(lèi)題目，明確球的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題需先將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，進(jìn)一步熟悉有關(guān)圓的基礎(chǔ)知識(shí)，熟練使用方程思想，合理設(shè)元，列式，求解． 典型例題三 例3．自半徑為的球面上一點(diǎn)，引球的三條兩兩垂直的弦，求的值．

3、 分析：此題欲計(jì)算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個(gè)封閉的圖形內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián)． 解：以為從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則另外四個(gè)頂點(diǎn)必在球面上，故長(zhǎng)方體是球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)是球的直徑． =． 說(shuō)明：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體幾何中體積計(jì)算． 典型例題四 例4．試比較等體積的球與正方體的表面積的大?。? 分析：首先抓好球與正方體的基本量半徑和棱長(zhǎng)，找出等量關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為其面積的大小關(guān)系． 解：設(shè)球的半徑為，正方體的棱長(zhǎng)為，它們的體積均為， 則由，

4、，由得． ． ． ，即． 說(shuō)明：突出相關(guān)的面積與體積公式的準(zhǔn)確使用，注意比較大小時(shí)運(yùn)算上的設(shè)計(jì)． 典型例題五 圖1 例5．如圖1所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)有兩個(gè)球相外切且又分別與正方體內(nèi)切．（1）求兩球半徑之和；（2）球的半徑為多少時(shí)，兩球體積之和最?。? 分析：此題的關(guān)鍵在于作截面，一個(gè)球在正方體內(nèi)，學(xué)生一般知道作對(duì)角面，而兩個(gè)球的球心連線也應(yīng)在正方體的體對(duì)角線上，故仍需作正方體的對(duì)角面 ，得如圖2的截面圖，在圖2中，觀察與和棱長(zhǎng)間的關(guān)系即可． 解：如圖2，球心和在上，過(guò)，分別作的垂線交于． 圖2 則由得． ， ． （1）設(shè)兩球體積之和為， 則

5、 = = 當(dāng)時(shí)，有最小值．當(dāng)時(shí)，體積之和有最小值． 典型例題六 例6．設(shè)正四面體中，第一個(gè)球是它的內(nèi)切球，第二個(gè)球是它的外接球，求這兩個(gè)球的表面積之比及體積之比． 分析：此題求解的第一個(gè)關(guān)鍵是搞清兩個(gè)球的半徑與正四面體的關(guān)系，第二個(gè)關(guān)鍵是兩個(gè)球的半徑之間的關(guān)系，依靠體積分割的方法來(lái)解決的． 解：如圖，正四面體的中心為，的中心為，則第一個(gè)球半徑為正四面體的中心到各面的距離，第二個(gè)球的半徑為正四面體中心到頂點(diǎn)的距離． 設(shè)，正四面體的一個(gè)面的面積為． 依題意得， 又 即． 所以．． 說(shuō)明：正四面體與球的接切問(wèn)題，可通過(guò)線面關(guān)系證出，內(nèi)切球和外接球的兩個(gè)球心是重合的，

6、為正四面體高的四等分點(diǎn)，即定有內(nèi)切球的半徑(為正四面體的高)，且外接球的半徑． 典型例題七 例7．把四個(gè)半徑都是1的球中的三個(gè)放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個(gè)球，使它與前三個(gè)都相切，求第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離． 分析：關(guān)鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應(yīng)的幾何體，由于四個(gè)球半徑相等，故四個(gè)球一定組成正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)且正四面體的棱長(zhǎng)為兩球半徑之和2． 解：由題意，四球心組成棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)， 則正四面體的高． 而第四個(gè)球的最高點(diǎn)到第四個(gè)球的球心距離為求的半徑1，且三個(gè)球心到桌面的距離都為1，故第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離為． 說(shuō)明：此類(lèi)型題目對(duì)培

7、養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，并根據(jù)題意構(gòu)造熟悉幾何體都非常有幫助，且還可以適當(dāng)增加一點(diǎn)實(shí)際背景，加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)． 典型例題八 例8　過(guò)球面上兩點(diǎn)作球的大圓，可能的個(gè)數(shù)是（　?。? A．有且只有一個(gè)　　　B．一個(gè)或無(wú)窮多個(gè) C．無(wú)數(shù)個(gè)　　　　　　D．以上均不正確 分析：對(duì)球面上兩點(diǎn)及球心這三點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行討論．當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，可以作一個(gè)大圓；當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，可作無(wú)數(shù)個(gè)大圓，故選B． 答案：B 說(shuō)明：解此易選出錯(cuò)誤判斷A．其原因是忽視球心的位置． 典型例題九 例9　球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的，經(jīng)過(guò)3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長(zhǎng)為，那么這個(gè)球的半徑為（　?。?

8、A．　　　B．　　　C．　　　D． 分析：利用球的概念性質(zhì)和球面距離的知識(shí)求解．設(shè)球的半徑為，小圓的半徑為，則，∴．如圖所示，設(shè)三點(diǎn)、、，為球心，．又∵，∴是等邊三角形，同樣，、都是等邊三角形，得為等邊三角形，邊長(zhǎng)等于球半徑．為的外接圓半徑，，． 答案：B 說(shuō)明：本題是近年來(lái)球這部分所出的最為綜合全面的一道題，除了考查常規(guī)的與多面體綜合外，還考查了球面距離，幾乎涵蓋了球這部分所有的主要知識(shí)點(diǎn)，是一道不可多得的好題． 典型例題十 例10　半徑為的球內(nèi)接一個(gè)各棱長(zhǎng)都相等的四棱錐．求該四棱錐的體積． 分析：四棱錐的體積由它的底面積和高確定，只需找到底面、高與球半徑的關(guān)系即可，

9、解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是如何選取截面，如圖所示． 解：∵棱錐底面各邊相等， ∴底面是菱形． ∵棱錐側(cè)棱都相等， ∴側(cè)棱在底面上射影都相等，即底面有外接圓． ∴底面是正方形，且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面中心，此棱錐是正棱錐． 過(guò)該棱錐對(duì)角面作截面，設(shè)棱長(zhǎng)為，則底面對(duì)角線， 故截面是等腰直角三角形． 又因?yàn)槭乔虻拇髨A的內(nèi)接三角形，所以，即． ∴高，體積． 說(shuō)明：在作四棱錐的截面時(shí)，容易誤認(rèn)為截面是正三角形，如果作平等于底面一邊的對(duì)稱(chēng)截面（過(guò)棱錐頂點(diǎn)，底面中心，且與底面一邊平行），可得一個(gè)腰長(zhǎng)為斜高、底為底面邊長(zhǎng)的等腰三角形，但這一等腰三角形并不是外接球大圓的內(nèi)接三角形．可見(jiàn)，解決

10、有關(guān)幾何體接切的問(wèn)題，如何選取截面是個(gè)關(guān)鍵． 解決此類(lèi)問(wèn)題的方法通常是先確定多面體的棱長(zhǎng)（或高或某個(gè)截面內(nèi)的元素）與球半徑的關(guān)系，再進(jìn)一步求解． 典型例題十一 例11　在球面上有四個(gè)點(diǎn)、、、，如果、、兩兩互相垂直，且．求這個(gè)球的表面積． 分析：，因而求球的表面關(guān)鍵在于求出球的半徑． 解：設(shè)過(guò)、、三點(diǎn)的球的截面半徑為， 球心到該圓面的距離為， 則． 由題意知、、、四點(diǎn)不共面，因而是以這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐（如圖所示）．的外接圓是球的截面圓． 由、、互相垂直知，在面上的射影是的垂心，又， 所以也是的外心，所以為等邊三角形， 且邊長(zhǎng)為，是其中心， 從而也是截面圓的圓心

11、． 據(jù)球的截面的性質(zhì)，有垂直于⊙所在平面， 因此、、共線，三棱錐是高為的球內(nèi)接正三棱錐，從而．由已知得，，所以，可求得，∴． 說(shuō)明：涉及到球與圓柱、圓錐、圓臺(tái)切接問(wèn)題，一般作其軸截面；涉及到球與棱柱、棱錐、棱臺(tái)的切接問(wèn)題，一般過(guò)球心及多面體中特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問(wèn)題化為平面問(wèn)題，進(jìn)而利用平面幾何的知識(shí)尋找?guī)缀误w元素間的關(guān)系． 典型例題十二 例12　已知棱長(zhǎng)為3的正四面體，、是棱、上的點(diǎn)，且，．求四面體的內(nèi)切球半徑和外接球半徑． 分析：可用何種法求內(nèi)切球半徑，把分成4個(gè)小體積(如圖)． 解：設(shè)四面體內(nèi)切球半徑為，球心，外接球半徑，球心，連結(jié)、、、，則． 四面體各面的面

12、積為 ，，． 各邊邊長(zhǎng)分別為，， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 如圖， 是直角三角形，其個(gè)心是斜邊的中點(diǎn)． 設(shè)中心為，連結(jié)，過(guò)作平面的垂線，必在此垂線上， 連結(jié)、． ∵，， ∴，． 在直角梯形中，，， ，， 又∵，∴， 解得：． 綜上，四面體的內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為． 說(shuō)明：求四面體外接半徑的關(guān)鍵是確定其球心．對(duì)此多數(shù)同學(xué)束手無(wú)策，而這主要是因本題圖形的背景較復(fù)雜．若把該四面體單獨(dú)移出，則不參發(fā)現(xiàn)其球心在過(guò)各面三角形外心且與該三角形所在平面垂直的直線上，另還須注意其球心不一定在四面體內(nèi)部． 本題在求四面體內(nèi)切球半徑時(shí)，將該四面體分割為以球心為頂點(diǎn)，

13、各面為底面的四個(gè)三棱錐，通過(guò)其體積關(guān)系求得半徑．這樣分割的思想方法應(yīng)給予重視． 典型例題十三 例13　一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)注入水，并放入一個(gè)半徑為的鐵球，這時(shí)水面恰好和球面相切．問(wèn)將球從圓錐內(nèi)取出后，圓錐內(nèi)水平面的高是多少？ 分析：先作出軸截面，弄清楚圓錐和球相切時(shí)的位置特征，利用鐵球取出后，錐內(nèi)下降部分(圓臺(tái))的體積等于球的體積，列式求解． 解：如圖，作軸截面，設(shè)球未取出時(shí)，水面高，球取出后，水面高． ∵，， 則以為底面直徑的圓錐容積為 ， ． 球取出后，水面下降到，水的體積為 ． 又，則， 解得． 答：球取出后，圓錐內(nèi)水

14、平面高為． 說(shuō)明：抓住水的何種不變這個(gè)關(guān)鍵，本題迅速獲解． 典型例題十四 例14 球面上有三點(diǎn)、、組成這個(gè)球的一個(gè)截面的內(nèi)接三角形三個(gè)頂點(diǎn)，其中，、，球心到這個(gè)截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積． 分析：求球的表面積的關(guān)鍵是求球的半徑，本題的條件涉及球的截面，是截面的內(nèi)接三角形，由此可利用三角形求截面圓的半徑，球心到截面的距離為球半徑的一半，從而可由關(guān)系式求出球半徑． 解：∵，，， ∴，是以為斜邊的直角三角形． ∴的外接圓的半徑為，即截面圓的半徑， 又球心到截面的距離為， ∴，得． ∴球的表面積為． 說(shuō)明：涉及到球的截面的問(wèn)題，總是使用關(guān)系式解題，我們可以通過(guò)兩個(gè)

15、量求第三個(gè)量，也可能是抓三個(gè)量之間的其它關(guān)系，求三個(gè)量．例如，過(guò)球表面上一點(diǎn)引三條長(zhǎng)度相等的弦、、，且兩兩夾角都為，若球半徑為，求弦的長(zhǎng)度．由條件可抓住是正四面體，、、、為球上四點(diǎn)，則球心在正四面體中心，設(shè)，則截面與球心的距離，過(guò)點(diǎn)、、的截面圓半徑，所以得． 典型例題十五 例15　、是半徑為的球的球面上兩點(diǎn)，它們的球面距離為，求過(guò)、的平面中，與球心的最大距離是多少？ 分析：、是球面上兩點(diǎn)，球面距離為，轉(zhuǎn)化為球心角，從而，由關(guān)系式，越小，越大，是過(guò)、的球的截面圓的半徑，所以為圓的直徑，最?。? 解：∵球面上、兩點(diǎn)的球面的距離為． ∴，∴． 當(dāng)成為圓的直徑時(shí)，取最小值，此時(shí)，取最大值

16、， ， 即球心與過(guò)、的截面圓距離最大值為． 說(shuō)明：利用關(guān)系式不僅可以知二求一，而且可以借此分析截面的半徑與球心到截面的距離之間的變化規(guī)律．此外本題還涉及到球面距離的使用，球面距離直接與兩點(diǎn)的球心角有關(guān)，而球心角又直接與長(zhǎng)度發(fā)生聯(lián)系，這是使用或者求球面距離的一條基本線索，繼續(xù)看下面的例子． 典型例題十六 例16　正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為，正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切．求球的表面積與體積． 分析：球與正三棱錐四個(gè)面相切，實(shí)際上，球是正三棱錐的內(nèi)切球，球心到正三棱錐的四個(gè)面的距離相等，都為球半徑．這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，而點(diǎn)面距離?？梢杂玫润w積法解決．

17、 解：如圖，球是正三棱錐的內(nèi)切球，到正三棱錐四個(gè)面的距離都是球的半徑． 是正三棱錐的高，即． 是邊中點(diǎn)，在上， 的邊長(zhǎng)為，∴． ∴ 可以得到． 由等體積法， ∴ 得：， ∴． ∴． 說(shuō)明：球心是決定球的位置關(guān)鍵點(diǎn)，本題利用球心到正三棱錐四個(gè)面的距離相等且為球半徑來(lái)求出，以球心的位置特點(diǎn)來(lái)抓球的基本量，這是解決球有關(guān)問(wèn)題常用的方法．比如：四個(gè)半徑為的球兩兩外切，其中三個(gè)放在桌面上，第四個(gè)球放在這三個(gè)球之上，則第四個(gè)球離開(kāi)桌面的高度為多少？這里，四個(gè)球的球心這間的距離都是，四個(gè)球心構(gòu)成一個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體，可以計(jì)算正四面體的高為，從而上面球離開(kāi)桌面的高度為． 典型例

18、題十七 例17　求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比． 分析：首先畫(huà)出球及它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公共的軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體之間元素的關(guān)系． 解：如圖，等邊為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形，截球面得球的大圓圓． 設(shè)球的半徑，則它的外切圓柱的高為，底面半徑為； ， ， ∴，， ， ∴． 典型例題十八 例18　正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，兩側(cè)棱的夾角為，求它的外接球的體積． 分析：求球半徑，是解本題的關(guān)鍵． 解：如圖，作底面于，則為正的中心． ∵底面，∴、、三點(diǎn)共線． ∵，． ∴． ∴， 設(shè)，作于，在中， ∵， 又，∴．

19、 在中，∵， ∴． 說(shuō)明：解決與球有關(guān)的接、切問(wèn)題時(shí)，一般作一個(gè)適當(dāng)?shù)慕孛妫瑢?wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解決，這類(lèi)截面通常指圓錐的軸截面、球的大圓、多面體的對(duì)角面等，在這個(gè)截面中應(yīng)包括每個(gè)幾何體的主要元素，且這個(gè)截面必須能反映出體和體之間的主要位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系． 典型例題十九 例19 在球心同側(cè)有相距的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為和．求球的表面積． 分析：可畫(huà)出球的軸截面，利用球的截面性質(zhì)，求球的半徑． 解：如圖為球的軸截面，由球的截面性質(zhì)知，，且若、分別為兩截面圓的圓心，則，．設(shè)球的半徑為． ∵，∴ 同理，∴ 設(shè)，則． 在中，；在中，， ∴，解得， ∴，∴ ∴． ∴球的表面積為．