2020高考數(shù)學(xué)備考 真題+模擬新題分類匯編 數(shù)列

數(shù)列(真題+模擬新題)課標(biāo)文數(shù)17.D12020·浙江卷 若數(shù)列中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng)，則k_.課標(biāo)文數(shù)17.D12020·浙江卷 4【解析】 設(shè)最大項(xiàng)為第k項(xiàng)，則有 k4.課標(biāo)文數(shù)20.D2，A22020·北京卷 若數(shù)列An：a1，a2，an(n2)滿足|ak1ak|1(k1,2，n1)，則稱An為E數(shù)列記S(An)a1a2an.(1)寫出一個(gè)E數(shù)列A5滿足a1a30；(2)若a112，n2000，證明：E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是an2020；(3)在a14的E數(shù)列An中，求使得S(An)0成立的n的最小值課標(biāo)文數(shù)20.D2，A22020·北京卷 【解答】 (1)0,1,0,1,0是一個(gè)滿足條件的E數(shù)列A5.(答案不唯一，0，1,0,1,0；0，±1,0,1,2；0，±1,0，1，2；0，±1,0，1,0都是滿足條件的E數(shù)列A5)(2)必要性：因?yàn)镋數(shù)列An是遞增數(shù)列，所以ak1ak1(k1,2，1999)所以An是首項(xiàng)為12，公差為1的等差數(shù)列所以a200012(20001)×12020，充分性：由于a2000a19991.a1999a19981.a2a11.所以a2000a11999，即a2000a11999.又因?yàn)閍112，a20002020.所以a2000a11999.故ak1ak1>0(k1,2，1999)，即E數(shù)列An是遞增數(shù)列綜上，結(jié)論得證(3)對(duì)首項(xiàng)為4的E數(shù)列An，由于a2a113，a3a212，a8a713，所以a1a2ak>0(k2,3，8)所以對(duì)任意的首項(xiàng)為4的E數(shù)列An，若S(An)0，則必有n9.又a14的E數(shù)列A9：4,3,2,1,0，1，2，3，4滿足S(A9)0，所以n的最小值是9.大綱理數(shù)4.D22020·全國卷 設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，則k()A8 B7 C6 D5大綱理數(shù)4.D22020·全國卷 D【解析】 Sk2Skak1ak22a1(2k1)d4k4，4k424，可得k5，故選D.大綱理數(shù)20.D2，D42020·全國卷 設(shè)數(shù)列an滿足a10且1.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，記Snk，證明：Sn1.大綱理數(shù)20.D2，D42020·全國卷 【解答】 (1)由題設(shè)1，即是公差為1的等差數(shù)列又1，故n.所以an1.(2)證明：由(1)得bn，Snbk1<1.大綱文數(shù)6.D22020·全國卷 設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，則k()A8 B7 C6 D5大綱文數(shù)6.D22020·全國卷 D【解析】 Sk2Skak1ak22a1(2k1)d4k4，4k424，可得k5，故選D.課標(biāo)理數(shù)10.M1，D2，B112020·福建卷 已知函數(shù)f(x)exx.對(duì)于曲線yf(x)上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個(gè)點(diǎn)A、B、C，給出以下判斷：ABC一定是鈍角三角形；ABC可能是直角三角形；ABC可能是等腰三角形；ABC不可能是等腰三角形其中，正確的判斷是()A B C D課標(biāo)理數(shù)10.M1，D2，B112020·福建卷 B【解析】 解法一：(1)設(shè)A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3(x1<x2<x3), f(x)ex1>0， f(x)在(，)上是增函數(shù)， f(x1)<f(x2)<f(x3)，且f<， (x1x2，f(x1)f(x2)，(x3x2，f(x3)f(x2)， ·(x1x2)(x3x2)(f(x1)f(x2)(f(x3)f(x2)<0， ABC為鈍角，判斷正確，錯(cuò)；(2)若ABC為等腰三角形，則只需ABBC，即(x1x2)2(f(x1)f(x2)2(x3x2)2(f(x3)f(x2)2， x1，x2，x3成等差數(shù)列，即2x2x1x3，且f(x1)<f(x2)<f(x3)，只需 f(x2)f(x1)f(x3)f(x2)，即2f(x2)f(x1)f(x3)，即 f，這與f<相矛盾，ABC不可能是等腰三角形，判斷錯(cuò)誤，正確，故選B.解法二：(1)設(shè)A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2，x3(x1<x2<x3), 課標(biāo)文數(shù)17.D22020·福建卷 已知等差數(shù)列an中，a11，a33.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列an的前k項(xiàng)和Sk35，求k的值課標(biāo)文數(shù)17.D22020·福建卷 【解答】 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3.解得d2.從而，an1(n1)×(2)32n.(2)由(1)可知an32n.所以Sn2nn2.進(jìn)而由Sk35可得2kk235.即k22k350，解得k7或k5.又kN*，故k7為所求課標(biāo)理數(shù)11.D22020·廣東卷 等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和若a11，aka40，則k_.課標(biāo)理數(shù)11.D22020·廣東卷 10【解析】 由S9S4，所以a5a6a7a8a90，即5a70，所以a70，由a7a16d得d，又aka40，即a1(k1)a13×0，即(k1)×，所以k19，所以k10.課標(biāo)理數(shù)13.D22020·湖北卷 九章算術(shù)“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為_升課標(biāo)理數(shù)13.D22020·湖北卷 【解析】 設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，由 得 解得 所以a5a14d.課標(biāo)理數(shù)19.D22020·湖北卷 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：a1a(a0)，an1rSn(nN*，rR，r1)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若存在kN*，使得Sk1，Sk，Sk2成等差數(shù)列，試判斷：對(duì)于任意的mN*，且m2，am1·am·am2是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論課標(biāo)理數(shù)19.D22020·湖北卷 【解答】 (1)由已知an1rSn，可得an2rSn1，兩式相減可得an2an1r(Sn1Sn)ran1，即an2(r1)an1，又a2ra1ra，所以當(dāng)r0時(shí)，數(shù)列an為：a,0，0，；當(dāng)r0，r1時(shí)，由已知a0，所以an0(nN*)，于是由an2(r1)an1，可得r1(nN*)，a2，a3，an，成等比數(shù)列，當(dāng)n2時(shí)，anr(r1)n2a.綜上，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(2)對(duì)于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差數(shù)列，證明如下：當(dāng)r0時(shí)，由(1)知，an對(duì)于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差數(shù)列；當(dāng)r0，r1時(shí)，Sk2Skak1ak2，Sk1Skak1，若存在kN*，使得Sk1，Sk，Sk2成等差數(shù)列，則Sk1Sk22Sk，2Sk2ak1ak22Sk，即ak22ak1，由(1)知，a2，a3，an，的公比r12，于是對(duì)于任意的mN*，且m2，am12am，從而am24am，am1am22am，即am1，am，am2成等差數(shù)列綜上，對(duì)于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差數(shù)列課標(biāo)文數(shù)9.D22020·湖北卷 九章算術(shù)“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為()A1升 B.升 C.升 D.升課標(biāo)文數(shù)9.D22020·湖北卷 B【解析】 設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，由 得 解得 所以a5a14d.課標(biāo)文數(shù)17.D2，D32020·湖北卷 成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列bn中的b3、b4、b5.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，求證：數(shù)列是等比數(shù)列課標(biāo)文數(shù)17.D2，D32020·湖北卷 【解答】 (1)設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為ad，a，ad.依題意，得adaad15.解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次為7d,10,18d.依題意，有(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)故bn的第3項(xiàng)為5，公比為2.由b3b1·22，即5b1·22，解得b1.所以bn是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為bn·2n15·2n3.(2)證明：由(1)得數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn5·2n2，即Sn5·2n2.所以S1，2.因此是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列課標(biāo)理數(shù)12.D22020·湖南卷 設(shè)Sn是等差數(shù)列an(nN*)的前n項(xiàng)和，且a11，a47，則S5_.課標(biāo)理數(shù)12.D22020·湖南卷 25【解析】 設(shè)數(shù)列an的公差為d，因?yàn)閍11，a47，所以a4a13dd2，故S55a110d25.課標(biāo)文數(shù)5.D22020·江西卷 設(shè)an為等差數(shù)列，公差d2，Sn為其前n項(xiàng)和若S10S11，則a1()A18 B20 C22 D24課標(biāo)文數(shù)5.D22020·江西卷 B【解析】 由S10S11，得a11S11S100，a1a11(111)d0(10)(2)20.故選B.課標(biāo)文數(shù)15.D22020·遼寧卷 Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S2S6，a41，則a5_.課標(biāo)文數(shù)15.D22020·遼寧卷 1【解析】 由S2S6，得2a1d6a1d解得4(a13d)2d0，即2a4d0，所以a4(a4d)0，即a5a41.課標(biāo)文數(shù)17.D2，D32020·課標(biāo)全國卷 已知等比數(shù)列an中，a1，公比q.(1)Sn為an的前n項(xiàng)和，證明：Sn；(2)設(shè)bnlog3a1log3a2log3an，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式課標(biāo)文數(shù)17.D2，D32020·課標(biāo)全國卷 【解答】 (1)因?yàn)閍n×n1，Sn，所以Sn.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).所以bn的通項(xiàng)公式為bn.大綱理數(shù)8.D22020·四川卷 數(shù)列an的首項(xiàng)為3，bn為等差數(shù)列且bnan1an(nN*)，若b32，b1012，則a8()A0 B3 C8 D11大綱理數(shù)8.D22020·四川卷 B【解析】 由數(shù)列bn為等差數(shù)列，且b32，b1012可知數(shù)列公差d2，所以通項(xiàng)bn2(n3)×22n8an1an，所以a8a12×(1237)8×70，所以a8a13.課標(biāo)理數(shù)4.D22020·天津卷 已知an為等差數(shù)列，其公差為2，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，Sn為an的前n項(xiàng)和，nN*，則S10的值為()A110 B90 C90 D110課標(biāo)理數(shù)4.D22020·天津卷 D【解析】 由aa3·a9，d2，得(a112)2(a14)(a116)，解之得a120，S1010×20(2)110.課標(biāo)文數(shù)11.D22020·天津卷 已知an是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，nN*.若a316，S2020，則S10的值為_課標(biāo)文數(shù)11.D22020·天津卷 110【解析】 設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，由題意得，解之得a120，d2，S1010×20×(2)110.課標(biāo)理數(shù)19.D22020·浙江卷 已知公差不為0的等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1為a(aR)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且，成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及Sn；(2)記An，Bn.當(dāng)n2時(shí)，試比較An與Bn的大小課標(biāo)理數(shù)19.D22020·浙江卷 【解答】 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由2·，得(a1d)2a1(a13d)因?yàn)閐0，所以da1a，所以anna，Sn.(2)因?yàn)?，所以An.因?yàn)閍2n12n1a，所以Bn·.當(dāng)n2時(shí)，2nCCCCn1，即11，所以，當(dāng)a0時(shí)，AnBn；當(dāng)a0時(shí)，AnBn.大綱文數(shù)1.D22020·重慶卷 在等差數(shù)列an中，a22，a34，則a10()A12 B14 C16 D18大綱文數(shù)1.D22020·重慶卷 D【解析】 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a22，a34，得解得a10a1(101)×d9d18.故選D.課標(biāo)文數(shù)21.D3，D42020·安徽卷 在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn，再令anlgTn，n1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bntanan·tanan1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.課標(biāo)文數(shù)21.D3，D42020·安徽卷 本題考查等比和等差數(shù)列，指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算，兩角差的正切公式等基本知識(shí)，考查靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，綜合運(yùn)算能力和創(chuàng)新思維能力【解答】 (1)設(shè)t1，t2，tn2構(gòu)成等比數(shù)列，其中t11，tn2100，則Tnt1·t2··tn1·tn2，Tntn2·tn1··t2·t1.×并利用titn3it1tn2102(1in2)，得T(t1tn2)·(t2tn1)··(tn1t2)·(tn2t1)102(n2)，anlgTnn2，n1.(2)由題意和(1)中計(jì)算結(jié)果，知bntan(n2)·tan(n3)，n1.另一方面，利用tan1tan(k1)k.得tan(k1)·tank1.所以Snbktan(k1)·tank n.課標(biāo)理數(shù)18.D3，D42020·安徽卷 在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn，再令anlgTn，n1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bntanan·tanan1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.課標(biāo)理數(shù)18.D3，D42020·安徽卷 【解析】 本題考查等比和等差數(shù)列，對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算，兩角差的正切公式等基本知識(shí)，考查靈活運(yùn)用基本知識(shí)解決問題的能力，運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新思維能力【解答】 (1)設(shè)t1，t2，tn2構(gòu)成等比數(shù)列，其中t11，tn2100，則Tnt1·t2··tn1·tn2，Tntn2·tn1··t2·t1，×并利用titn3it1tn2102(1in2)，得T(t1tn2)·(t2tn1)··(tn1t2)·(tn2t1)102(n2)anlgTnn2，n1.(2)由題意和(1)中計(jì)算結(jié)果，知bntan(n2)·tan(n3)，n1，另一方面，利用tan1tan(k1)k，得tan(k1)·tank1.所以Snkan(k1)·tankn.課標(biāo)理數(shù)11.D32020·北京卷 在等比數(shù)列an中，若a1，a44，則公比q_；|a1|a2|an|_.課標(biāo)理數(shù)11.D32020·北京卷 22n1【解析】 由a4a1q3q34，可得q2；因此，數(shù)列|an|是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以|a1|a2|an|2n1.課標(biāo)文數(shù)12.D32020·北京卷 在等比數(shù)列an中，若a1，a44，則公比q_；a1a2an_.課標(biāo)文數(shù)12.D32020·北京卷 22n1【解析】 由題意可知a4a1q3q34，可得q2，所以a1a2an2n1.大綱文數(shù)17.D32020·全國卷 設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知a26,6a1a330，求an和Sn.大綱文數(shù)17.D32020·全國卷 【解答】 設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得解得或當(dāng)a13，q2時(shí)，an3×2n1，Sn3×(2n1)；當(dāng)a12，q3時(shí)，an2×3n1，Sn3n1.課標(biāo)理數(shù)16.D3，C42020·福建卷 已知等比數(shù)列an的公比q3，前3項(xiàng)和S3.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若函數(shù)f(x)Asin(2x)(A>0,0<<)在x處取得最大值，且最大值為a3，求函數(shù)f(x)的解析式 課標(biāo)數(shù)學(xué)16.D3，C42020·福建卷 【解答】 (1)由q3，S3得，解得a1.所以an×3n13n2.(2)由(1)可知an3n2，所以a33.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最大值為3，所以A3；因?yàn)楫?dāng)x時(shí)f(x)取得最大值，所以sin1.又0<<，故.所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)3sin.課標(biāo)文數(shù)16.D32020·福建卷 商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價(jià)格，即根據(jù)商品的最低銷售限價(jià)a，最高銷售限價(jià)b(b>a)以及實(shí)數(shù)x(0<x<1)確定實(shí)際銷售價(jià)格cax(ba)這里，x被稱為樂觀系數(shù)經(jīng)驗(yàn)表明，最佳樂觀系數(shù)x恰好使得(ca)是(bc)和(ba)的等比中項(xiàng)據(jù)此可得，最佳樂觀系數(shù)x的值等于_課標(biāo)文數(shù)16.D32020·福建卷 【解析】 由已知，有(ca)是(bc)和(ba)的等比中項(xiàng)，即(ca)2(bc)(ba)，把cax(ba)代入上式，得x2(ba)2bax(ba)(ba)，即x2(ba)2(1x)(ba)2，b>a，ba0，x21x，即x2x10，解得 x，因?yàn)?<x<1，所以最佳樂觀系數(shù)x的值等于.課標(biāo)文數(shù)11.D32020·廣東卷 已知an是遞增等比數(shù)列，a22，a4a34，則此數(shù)列的公比q_.課標(biāo)文數(shù)11.D32020·廣東卷 2【解析】 an為等比數(shù)列，所以a4a3a2q2a2q4，即2q22q4，所以q2q20，解得q1或q2，又an是遞增等比數(shù)列，所以q2.課標(biāo)文數(shù)17.D2，D32020·湖北卷 成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列bn中的b3、b4、b5.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，求證：數(shù)列是等比數(shù)列課標(biāo)文數(shù)17.D2，D32020·湖北卷 【解答】 (1)設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為ad，a，ad.依題意，得adaad15.解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次為7d,10,18d.依題意，有(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)故bn的第3項(xiàng)為5，公比為2.由b3b1·22，即5b1·22，解得b1.所以bn是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為bn·2n15·2n3.(2)證明：由(1)得數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn5·2n2，即Sn5·2n2.所以S1，2.因此是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列課標(biāo)理數(shù)18.D32020·江西卷 已知兩個(gè)等比數(shù)列an，bn，滿足a1a(a>0)，b1a11，b2a22，b3a33.(1)若a1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列an唯一，求a的值課標(biāo)理數(shù)18.D32020·江西卷 【解答】 (1)設(shè)an的公比為q，則b11a2，b22aq2q，b33aq23q2，由b1，b2，b3成等比數(shù)列得(2q)22(3q2)，即q24q20，解得q12，q22，所以an的通項(xiàng)公式為an(2)n1或an(2)n1.(2)設(shè)an的公比為q，則由(2aq)2(1a)(3aq2)，得aq24aq3a10，(*)由a0得4a24a0，故方程(*)有兩個(gè)不同的實(shí)根，由an唯一，知方程(*)必有一根為0，代入(*)得a.課標(biāo)文數(shù)5.D32020·遼寧卷 若等比數(shù)列an滿足anan116n，則公比為()A2 B4 C8 D16課標(biāo)文數(shù)5.D32020·遼寧卷 B【解析】 由于anan116n，又an1an16n1，所以q216，又由anan116n知an>0，所以q4.課標(biāo)文數(shù)17.D2，D32020·課標(biāo)全國卷 已知等比數(shù)列an中，a1，公比q.(1)Sn為an的前n項(xiàng)和，證明：Sn；(2)設(shè)bnlog3a1log3a2log3an，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式課標(biāo)文數(shù)17.D2，D32020·課標(biāo)全國卷 【解答】 (1)因?yàn)閍n×n1，Sn，所以Sn.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).所以bn的通項(xiàng)公式為bn.大綱文數(shù)9.D32020·四川卷 數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a11，an13Sn(n1)，則a6()A3×44 B3×441C44 D441大綱文數(shù)9.D32020·四川卷 A【解析】 由an13SnSn1Sn3SnSn14Sn，所以數(shù)列Sn是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，所以Sn4n1，所以a6S6S545443×44，所以選擇A.大綱理數(shù)11.D22020·重慶卷 在等差數(shù)列an中，a3a737，則a2a4a6a8_.大綱理數(shù)11.D22020·重慶卷 74【解析】 由a3a737，得(a12d)(a16d)37，即2a18d37.a2a4a6a8(a1d)(a13d)(a15d)(a17d)2(2a18d)74.課標(biāo)文數(shù)7.D42020·安徽卷 若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an(1)n(3n2)，則a1a2a10()A15 B12C12 D15課標(biāo)文數(shù)7.D42020·安徽卷 A【解析】 a1a2a1014710(1)10·(3×102)(14)(710)(1)9·(3×92)(1)10·(3×102)3×515.課標(biāo)文數(shù)21.D3，D42020·安徽卷 在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn，再令anlgTn，n1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bntanan·tanan1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.課標(biāo)文數(shù)21.D3，D42020·安徽卷 本題考查等比和等差數(shù)列，指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算，兩角差的正切公式等基本知識(shí)，考查靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，綜合運(yùn)算能力和創(chuàng)新思維能力【解答】 (1)設(shè)t1，t2，tn2構(gòu)成等比數(shù)列，其中t11，tn2100，則Tnt1·t2··tn1·tn2，Tntn2·tn1··t2·t1.×并利用titn3it1tn2102(1in2)，得T(t1tn2)·(t2tn1)··(tn1t2)·(tn2t1)102(n2)，anlgTnn2，n1.(2)由題意和(1)中計(jì)算結(jié)果，知bntan(n2)·tan(n3)，n1.另一方面，利用tan1tan(k1)k.得tan(k1)·tank1.所以Snbktan(k1)·tank n.課標(biāo)理數(shù)18.D3，D42020·安徽卷 在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn，再令anlgTn，n1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bntanan·tanan1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.課標(biāo)理數(shù)18.D3，D42020·安徽卷 【解析】 本題考查等比和等差數(shù)列，對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算，兩角差的正切公式等基本知識(shí)，考查靈活運(yùn)用基本知識(shí)解決問題的能力，運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新思維能力【解答】 (1)設(shè)t1，t2，tn2構(gòu)成等比數(shù)列，其中t11，tn2100，則Tnt1·t2··tn1·tn2，Tntn2·tn1··t2·t1，×并利用titn3it1tn2102(1in2)，得T(t1tn2)·(t2tn1)··(tn1t2)·(tn2t1)102(n2)anlgTnn2，n1.(2)由題意和(1)中計(jì)算結(jié)果，知bntan(n2)·tan(n3)，n1，另一方面，利用tan1tan(k1)k，得tan(k1)·tank1.所以Snkan(k1)·tankn.大綱理數(shù)20.D2，D42020·全國卷 設(shè)數(shù)列an滿足a10且1.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，記Snk，證明：Sn1.大綱理數(shù)20.D2，D42020·全國卷 【解答】 (1)由題設(shè)1，即是公差為1的等差數(shù)列又1，故n.所以an1.(2)證明：由(1)得bn，Snbk1<1.課標(biāo)文數(shù)20.D42020·湖南卷 某企業(yè)在第1年初購買一臺(tái)價(jià)值為120萬元的設(shè)備M，M的價(jià)值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初M的價(jià)值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價(jià)值為上年初的75%.(1)求第n年初M的價(jià)值an的表達(dá)式；(2)設(shè)An.若An大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對(duì)M更新證明：須在第9年初對(duì)M更新課標(biāo)文數(shù)20.D42020·湖南卷 【解答】 (1)當(dāng)n6時(shí)，數(shù)列an是首項(xiàng)為120，公差為10的等差數(shù)列an12010(n1)13010n；當(dāng)n6時(shí)，數(shù)列an是以a6為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，又a670，所以an70×n6.因此，第n年初，M的價(jià)值an的表達(dá)式為an(2)設(shè)Sn表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得當(dāng)1n6時(shí)，Sn120n5n(n1)，An1205(n1)1255n；當(dāng)n7時(shí)，由于S6570，故SnS6(a7a8an)57070××4×780210×n6，An，因?yàn)閍n是遞減數(shù)列，所以An是遞減數(shù)列又A882>80，A976<80，所以須在第9年初對(duì)M更新課標(biāo)理數(shù)5.D42020·江西卷 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：SnSmSnm，且a11.那么a10()A1 B9C10 D55課標(biāo)理數(shù)5.D42020·江西卷 A【解析】 方法一：由SnSmSnm，得S1S9S10，a10S10S9S1a11，故選A.方法二：S2a1a22S1，a21，S3S1S23，a31，S4S1S34，a41，由此歸納a101，故選A.課標(biāo)理數(shù)17.D42020·遼寧卷 已知等差數(shù)列an滿足a20，a6a810.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和課標(biāo)理數(shù)17.D42020·遼寧卷 【解答】 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由已知條件可得解得故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n.(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，即Sna1，故S11，.所以，當(dāng)n1時(shí)，a111，所以Sn.綜上，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.課標(biāo)理數(shù)14.D42020·陜西卷 植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個(gè)最小值為_(米)課標(biāo)理數(shù)14.D42020·陜西卷 2000【解析】 樹苗放在10或11號(hào)坑，則其余的十九人一次走過的路程為90,80,70,60，80,90,100，則和為s×22000，若放在11號(hào)坑，結(jié)果一樣課標(biāo)理數(shù)19.B11，D42020·陜西卷 圖111如圖111，從點(diǎn)P1(0,0)作x軸的垂線交曲線yex于點(diǎn)Q1(0,1)，曲線在Q1點(diǎn)處的切線與x軸交于點(diǎn)P2.現(xiàn)從P2作x軸的垂線交曲線于點(diǎn)Q2，依次重復(fù)上述過程得到一系列點(diǎn)：P1，Q1；P2，Q2；Pn，Qn，記Pk點(diǎn)的坐標(biāo)為(xk,0)(k1,2，n)(1)試求xk與xk1的關(guān)系(2kn)；(2)求|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|.課標(biāo)理數(shù)19.B11，D42020·陜西卷 【解答】 (1)設(shè)Pk1(xk1,0)，由yex得Qk1(xk1，exk1)點(diǎn)處切線方程為yexk1exk1(xxk1)，由y0得xkxk11(2kn)(2)由x10，xkxk11，得xk(k1)，所以|PkQk|exke(k1)，于是Sn|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|1e1e2e(n1).課標(biāo)文數(shù)10.D42020·陜西卷 植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，現(xiàn)將樹坑從1到20依次編號(hào)，為使各位同學(xué)從各自樹坑前來領(lǐng)取樹苗所走的路程總和最小，樹苗可以放置的兩個(gè)最佳坑位的編號(hào)為()A和 B和C和 D和 課標(biāo)文數(shù)10.D42020·陜西卷 D【解析】 從實(shí)際問題中考慮將樹苗放在最中間的坑旁邊，則每個(gè)人所走的路程和最小，一共20個(gè)坑，為偶數(shù)，在中間的有兩個(gè)坑為10和11號(hào)坑，故答案選D.課標(biāo)文數(shù)19.B11，D42020·陜西卷 【解答】 (1)設(shè)Pk1(xk1,0)，由yex得Qk1(xk1，exk1)點(diǎn)處切線方程為yexk1exk1(xxk1)，由y0得xkxk11(2kn)(2)由x10，xkxk11，得xk(k1)，所以|PkQk|exke(k1)，于是Sn|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|1e1e2e(n1).大綱文數(shù)16.D42020·重慶卷 設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a12，a3a24.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Sn.大綱文數(shù)16.D42020·重慶卷 【解答】 (1)設(shè)q為等比數(shù)列an的公比，則由a12，a3a24得2q22q4，即q2q20，解得q2或q1(舍去)，因此q2.所以an的通項(xiàng)為an2·2n12n(nN*)(2)Snn×1×22n1n22.課標(biāo)理數(shù)20.D5，A32020·北京卷 若數(shù)列An：a1，a2，an(n2)滿足|ak1ak|1(k1,2，n1)，則稱An為E數(shù)列記S(An)a1a2an.(1)寫出一個(gè)滿足a1a50，且S(A5)0的E數(shù)列A5；(2)若a112，n2000.證明：E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是an2020；(3)對(duì)任意給定的整數(shù)n(n2)，是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列An，使得S(An)0？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列An；如果不存在，說明理由課標(biāo)理數(shù)20.D5，A32020·北京卷 【解答】 (1)0,1,2,1,0是一個(gè)滿足條件的E數(shù)列A5.(答案不唯一，0,1,0,1,0也是一個(gè)滿足條件的E數(shù)列A5)(2)必要性：因?yàn)镋數(shù)列An是遞增數(shù)列，所以ak1ak1(k1,2，1999)所以An是首項(xiàng)為12，公差為1的等差數(shù)列所以a200012(20001)×12020.充分性：由于a2000a19991，a1999a19981，a2a11，所以a2000a11999，即a2000a11999.又因?yàn)閍112，a20002020，所以a2000a11999，故ak1ak10(k1,2，1999)，即E數(shù)列An是遞增數(shù)列綜上，結(jié)論得證(3)令ckak1ak(k1,2，n1)，則ck±1，因?yàn)閍2a1c1，a3a1c1c2，ana1c1c2cn1，所以S(An)na1(n1)c1(n2)c2(n3)c3cn1(n1)(n2)1(1c1)(n1)(1c2)·(n2)(1cn1)(1c1)(n1)(1c2)(n2)(1cn1)因?yàn)閏k±1，所以1ck為偶數(shù)(k1,2，n1)，所以(1c1)(n1)(1c2)(n2)(1cn1)為偶數(shù)，所以要使S(An)0，必須使為偶數(shù)，即4整除n(n1)，亦即n4m或n4m1(mN*)當(dāng)n4m(mN*)時(shí)，E數(shù)列An的項(xiàng)滿足a4k1a4k30，a4k21，a4k1(k1,2，m)時(shí)，有a10，S(An)0；當(dāng)n4m1(mN*)時(shí)，E數(shù)列An的項(xiàng)滿足a4k1a4k30，a4k21，a4k1(k1,2，m)，a4m10時(shí)，有a10，S(An)0；當(dāng)n4m2或n4m3(mN*)時(shí)，n(n1)不能被4整除，此時(shí)不存在E數(shù)列An，使得a10，S(An)0.課標(biāo)理數(shù)20.D52020·廣東卷 設(shè)b>0，數(shù)列an滿足a1b，an(n2)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，an1.課標(biāo)理數(shù)20.D52020·廣東卷 【解答】 (1)由a1b>0，知an>0，·.令A(yù)n，A1，當(dāng)n2時(shí)，AnAn1A1.當(dāng)b2時(shí)，An；當(dāng)b2時(shí)，An.an(2)證明：當(dāng)b2時(shí)，欲證an1，只需證nbn，即證(2n1bn1)n·2n1bn.而(2n1bn1)(2n1bn1)(bn12bn22n1)2n1bn12n2bn222nb2n2b2n12n1bn12nbn>2nbn(222)2n·2nbnn·2n1bn，an<1.當(dāng)b2時(shí)，an21.綜上所述，an1.課標(biāo)文數(shù)20.D5，E72020·廣東卷 設(shè)b0，數(shù)列an滿足a1b，an(n2)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)證明：對(duì)于一切正整數(shù)n,2anbn11.課標(biāo)文數(shù)20.D5，E72020·廣東卷 【解答】 (1)由a1b>0，知an>0，·.令A(yù)n，A1，當(dāng)n2時(shí)，AnAn1A1.當(dāng)b1時(shí)，An，當(dāng)b1時(shí)，Ann.an(2)證明：當(dāng)b1時(shí)，欲證2anbn11，只需證2nbn(bn11).(bn11)b2nb2n1bn1bn1bn21bn>bn(222)2nbn，2an<1bn1.當(dāng)b1時(shí)，2an2bn11.綜上所述2anbn11.課標(biāo)文數(shù)21.D52020·江西卷 (1)已知兩個(gè)等比數(shù)列an，bn，滿足a1a(a>0)，b1a11，b2a22，b3a33，若數(shù)列an唯一，求a的值；(2)是否存在兩個(gè)等比數(shù)列an，bn，使得b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不為0的等差數(shù)列？若存在，求an，bn的通項(xiàng)公式；若不存在，說明理由課標(biāo)文數(shù)21.D52020·江西卷 【解答】 (1)設(shè)an的公比為q，則b11a，b22aq，b33aq2，由b1，b2，b3成等比數(shù)列得(2aq)2(1a)(3aq2)，即aq24aq3a10.由a>0得4a24a>0，故方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，再由an唯一，知方程必有一根為0，將q0代入方程得a.(2)假設(shè)存在兩個(gè)等比數(shù)列an，bn使b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不為0的等差數(shù)列，設(shè)an的公比為q1，bn的公比為q2，則b2a2b1q2a1q1，b3a3b1qa1q，b4a4b1qa1q，由b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成等差數(shù)列得即×q2得a1(q1q2)(q11)20.由a10得q1q2或q11，i)當(dāng)q1q2時(shí)，由得b1a1或q1q21，這時(shí)(b2a2)(b1a1)0，與公差不為0矛盾；ii)當(dāng)q11時(shí)，由得b10或q21，這時(shí)(b2a2)(b1a1)0，與公差不為0矛盾綜上所述，不存在兩個(gè)等比數(shù)列an，bn使b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不為0的等差數(shù)列課標(biāo)理數(shù)17.D52020·課標(biāo)全國卷 等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a13a21，a9a2a6.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlog3a1log3a2log3an，求數(shù)列的前n項(xiàng)和課標(biāo)理數(shù)17.D52020·課標(biāo)全國卷 【解答】 (1)設(shè)數(shù)列an的公比為q，由a9a2a6得a9a，所以q2.由條件可知q0，故q.由2a13a21得2a13a1q1，所以a1.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).故2，2.所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.課標(biāo)理數(shù)20.D52020·山東卷 等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nlnan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.課標(biāo)理數(shù)20.D52020·山東卷 【解答】 (1)當(dāng)a13時(shí)，不合題意；當(dāng)a12時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a26，a318時(shí)，符合題意；當(dāng)a110時(shí)，不合題意因此a12，a26，a318，所以公比q3，故an2·3n1.(2)因?yàn)閎nan(1)nlnan2·3n1(1)nln(2·3n1)2·3n1(1)nln2(n1)ln32·3n1(1)n(ln2ln3)(1)nnln3，所以Sn2(133n1)111(1)n·(ln2ln3)123(1)nnln3.所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn2·ln33nln31；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn2×(ln2ln3)ln33nln3ln21.綜上所述，Sn課標(biāo)文數(shù)20.D52020·山東卷 等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nlnan，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和S2n.課標(biāo)文數(shù)20.D52020·山東卷 【解答】 (1)當(dāng)a13時(shí)，不合題意；當(dāng)a12時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a26，a318時(shí)，符合題意；當(dāng)a110時(shí)，不合題意因此a12，a26，a318，所以公比q3.故an2·3n1.(2)因?yàn)閎nan(1)nlnan2·3n1(1)nln(2·3n1)2·3n1(1)nln2(n1)ln32·3n1(1)n(ln2ln3)(1)nnln3，所以S2nb1b2b2n2(1332n1)111(1)2n(ln2ln3)123(1)2n2nln32×nln332nnln31.課標(biāo)數(shù)學(xué)13.D52020·江蘇卷 設(shè)1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是_課標(biāo)數(shù)學(xué)13.D52020·江蘇卷 【解析】 記a2m，則1mqm1q2m2q3，要q取最小值，則m必定為1，于是有1q2,2q23,3q3，所以q.課標(biāo)數(shù)學(xué)20.D52020·江蘇卷 設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列an的首項(xiàng)a11，前n項(xiàng)的和為Sn，已知對(duì)任意的整數(shù)kM，當(dāng)整數(shù)n>k時(shí)，SnkSnk2(SnSk)都成立(1)設(shè)M1，a22，求a5的值；(2)設(shè)M3,4，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式課標(biāo)數(shù)學(xué)20.D52020·江蘇卷 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系、等差數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考生分析探究及邏輯推理的能力【解答】 (1)由題設(shè)知，當(dāng)n2時(shí)，Sn1Sn12(SnS1)，即(Sn1Sn)(SnSn1)2S1.從而an1an2a12.又a22，故當(dāng)n2時(shí)，ana22(n2)2n2.所以a5的值為8.(2)由題設(shè)知，當(dāng)kM3,4且n>k時(shí)，SnkSnk2Sn2Sk且Sn1kSn1k2Sn12Sk，兩式相減得an1kan1k2an1，即an1kan1an1an1k.所以當(dāng)n8時(shí)，an6，an3，an，an3，an6成等差數(shù)列，且an6，an2，an2，an6也成等差數(shù)列從而當(dāng)n8時(shí)，2anan3an3an6an6，(*)且an6an6an2an2，所以當(dāng)n8時(shí)，2anan2an2，即an2ananan2，于是當(dāng)n9時(shí)，an3，an1，an1，an3成等差數(shù)列，從而an3an3an1an1，故由(*)式知2anan1an1，即an1ananan1.當(dāng)n9時(shí)，設(shè)danan1.當(dāng)2m8時(shí)，m68，從而由(*)式知2am6amam12，故2am7am1am13.從而2(am7