2020高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)集中營(yíng) 熱點(diǎn)20 以橢圓和拋物線為背景的解析幾何大題 新課標(biāo)

【兩年真題重溫】【2020新課標(biāo)全國(guó)理，20】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)滿足，··，點(diǎn)的軌跡為曲線() 求的方程；() 為上的動(dòng)點(diǎn)，為在點(diǎn)處的切線，求點(diǎn)到距離的最小值點(diǎn)到的距離=，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，點(diǎn)到的距離的最小值為【2020新課標(biāo)全國(guó)理，20】設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過斜率為1的直線與相交于兩點(diǎn)，且成等差數(shù)列。則.【2020新課標(biāo)全國(guó)文，20】設(shè),分別是橢圓E：+=1（0b1）的左、右焦: , 化簡(jiǎn)得則因?yàn)橹本€AB的斜率為1，所以即 .則,解得. 【命題意圖猜想】【最新考綱解讀】1圓錐曲線(1)了解圓錐曲線的實(shí)際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用(2)掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)(3)了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(4)了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用(5)理解數(shù)形結(jié)合的思想2曲線與方程結(jié)合已學(xué)過的曲線及其方程的實(shí)例，了解曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想【回歸課本整合】（1）若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則。的距離分別為，焦點(diǎn)的面積為，設(shè),則在橢圓中，有以下結(jié)論： ,.（3） 在拋物線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率.（4）若OA、OB是過拋物線頂點(diǎn)O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過定點(diǎn),反之亦成立.5.求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下：步 驟含 義說 明1、“建”：建立坐標(biāo)系；“設(shè)”：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo).建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo).(1) 所研究的問題已給出坐標(biāo)系，即可直接設(shè)點(diǎn).(2) 沒有給出坐標(biāo)系，首先要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.2、現(xiàn)(限)：由限制條件，列出幾何等式.寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合P=M|P(M)這是求曲線方程的重要一步，應(yīng)仔細(xì)分析題意，使寫出的條件簡(jiǎn)明正確.3、“代”：代換用坐標(biāo)法表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式.4、“化”：化簡(jiǎn)化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式.要注意同解變形.5、證明證明化簡(jiǎn)以后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).化簡(jiǎn)的過程若是方程的同解變形，可以不要證明，變形過程中產(chǎn)生不增根或失根，應(yīng)在所得方程中刪去或補(bǔ)上(即要注意方程變量的取值范圍).注意：這五個(gè)步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”：建設(shè)現(xiàn)(限)代化.【方法技巧提煉】線的定義，然后直接利用定義便可確定拋物線的方程；（2）求最值問題：主要把握兩個(gè)轉(zhuǎn)化：一是把拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離可以轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離；二是把點(diǎn)到拋物線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離.在解題時(shí)要準(zhǔn)確把握題設(shè)的條件，進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化，探求最值問題.xFPyAM例2 已知P點(diǎn)為拋物線的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在軸上的射影是M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，則的最小值是（ ）A. B.4 C. D.5答案：C解析:利用拋物線定義，把可轉(zhuǎn)化為.因A在拋物線外，當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值.如圖3，焦點(diǎn)F,當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，此時(shí)故選C.ABC D答案：B解析一：采用向量問題坐標(biāo)化，設(shè)M,又，代入可得BxAOyMCD解析二：如圖，考慮幾何性質(zhì)：,因，可知三點(diǎn)共線,又，則四邊形OCMD為矩形.如圖所示可知：利用三角形相似可知又，可得例4 已知橢圓C：1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，離心率e.(1)求橢圓C的方程；(2)在橢圓C上任取不同兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A，當(dāng)A，B變化時(shí)，如果直線AB經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)(1,0)，問直線AB是否也經(jīng)過x軸上的一個(gè)定點(diǎn)？若是，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由【解答】 (1)依題意可得解得a2，b1.所以橢圓C的方程是y21.【解答】 (1)點(diǎn)A坐標(biāo)代入圓C方程，得(3m)215.m3，m1.圓C：(x1)2y25.設(shè)直線PF1的斜率為k，則PF1：yk(x4)4，即kxy4k40.直線PF1與圓C相切，.4直線和拋物線若有一個(gè)公共點(diǎn)，并不能說明直線和拋物線相切，還有可能直線與拋物線的對(duì)稱軸平行5曲線與方程(1)“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解”，闡明曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)，也就是說曲線上所有點(diǎn)適合這個(gè)條件而毫無例外(純粹性)(2)“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”，闡明適合條件的所有點(diǎn)都在曲線上而毫無遺漏(完備性)(3)由(1)(2)兩個(gè)條件可知，曲線的點(diǎn)集與方程的解集之間是一一對(duì)應(yīng)的6在求得軌跡方程之后，要深入地思考一下：(1)是否還遺漏了一些點(diǎn)？是否還有另一個(gè)滿足條件的軌跡方程存在？(2)在所求得的軌跡方程中，x，y的取值范圍是否有什么限制？確保軌跡上的點(diǎn)“不多不少”【新題預(yù)測(cè)演練】1.【2020年河北省普通高考模擬考試】已知圓C的方程為，過點(diǎn)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B， =當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則面積的最大值為1. .12分依題意，直線與橢圓必相交于兩點(diǎn)，設(shè)，則，. 7分又，所以 8分解：（1）由題意可設(shè)拋物線的方程為，則由拋物線的定義可得，即，所以拋物線的方程為 . 4分 （I）求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程;（II）過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為(不重合)，求證：直線過定點(diǎn).解一：（1）由題知： 2分 化簡(jiǎn)得：4分解三：由對(duì)稱性可知，若過定點(diǎn)，則定點(diǎn)一定在軸上，設(shè)，:， 代入整理得6分,，8分 （II）設(shè)直線：，由得.6分所以，. 8分 而，10分三點(diǎn)共線 12分 ，又.8分（）設(shè)的坐標(biāo)分別為、則直線的方程為：6分令得，同理得8分在橢圓上，所以10分所以所以為定值0. 12分而11分由代入化簡(jiǎn)得： 即；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值。13分，由韋達(dá)定理，代入上式，化簡(jiǎn)整理得，即，故所求范圍是.2分（）依題意可知，直線MA、MB的斜率存在，分別記為，.由，. 2分而. 所以 , 故直線MA、MB的傾斜角互補(bǔ)，故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形 3分8.【唐山市2020學(xué)年度高三年級(jí)第一次模擬考試】中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)F1、F2在x軸上的橢圓E經(jīng)過點(diǎn)C(2, 2),且·2(I )求橢圓E的方程；(II)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時(shí)，求直線l的方程和圓P的方程.解：9.【2020年河南鄭州高中畢業(yè)年級(jí)第一次質(zhì)量預(yù)測(cè)】在ABC中，頂點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)D，E滿足：；，共線. （）求ABC頂點(diǎn)C的軌跡方程；（）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，只要該圓的切線與頂點(diǎn)C的軌跡有兩個(gè)不同交點(diǎn)M，N，就一定有，若存在，求該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：(I)設(shè)C（x,y）,由得，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為；由得，動(dòng)點(diǎn)E在y軸上，再結(jié)合與共線，得，動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為; 2分由的，整理得，.當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，可得，滿足.綜上所述：存在圓滿足題意. 12分10.【2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(二)】，求的取值范圍.（）解：設(shè)橢圓的半焦距是.依題意，得 . 1分 因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，. 3分故橢圓的方程為 . 4分（）解：當(dāng)軸時(shí)，顯然. 5分12.【北京市東城區(qū)2020學(xué)年度高三數(shù)第一學(xué)期期末檢測(cè)】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為橢圓的上頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且是等腰直角三角形（）求橢圓的方程；（）是否存在直線交橢圓于，兩點(diǎn)， 且使點(diǎn)為的垂心（垂心：三角形三邊高線的交點(diǎn)）？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（）由是等腰直角三角形，得，故橢圓方程為 5分13.【河北省石家莊市2020屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(一)】已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓C1：=1經(jīng)過A(1，0)點(diǎn)，且離心率為 (I)求橢圓C1的方程； ()過拋物線C2：(hR)上P點(diǎn)的切線與橢圓C1交于兩點(diǎn)M、N，記線段MN與PA的中點(diǎn)分別為G、H，當(dāng)GH與軸平行時(shí)，求h的最小值解：（）由題意可得，2分解得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)，滿足式。綜上，的最小值為1.12分14.【唐山市2020學(xué)年度高三年級(jí)第一學(xué)期期末考試】解：（）由橢圓方程，a，b1，c1，則點(diǎn)F為(1，0)直線AB方程為yk(x1)，代入橢圓方程，得(2k21)x24k2x2k220設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則x0，y0k(x01)，由點(diǎn)M在直線x2y0上，知2k22k0，k0，k16分（）將k1代入式，得3x24x0，不妨設(shè)x1x2，則x10，x2，8分記ACF，BCF，則tan，tan，tanACBtan212分15.【山東省德州市2020屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題】而故恒成立（）時(shí),曲線方程為，假設(shè)存在直線與直線垂直,設(shè)直線的方程為 8分設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)解析：（）因?yàn)闈M足， ，2分