【第一方案】高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用練習(xí)
第3章 第2節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、選擇題(6×5分30分)1(2020·聊城模擬)函數(shù)yx32axa在(0,1)內(nèi)有極小值,則實數(shù)a的取值范圍是()A(0,3)B(0,)C(0,) D(,3)解析:令y3x22a0,得x± (a>0,否則函數(shù)y為單調(diào)增函數(shù))若函數(shù)yx32axa在(0,1)內(nèi)有極小值,則 <1,0<a<.答案:B2(2020·福州模擬)已知f(x)2x36x2m(m為常數(shù))在2,2上有最大值3,那么此函數(shù)在2,2上的最小值是()A37 B29C5 D以上都不對解析:f(x)6x212x6x(x2),f(x)在(2,0)上為增函數(shù),在(0,2)上為減函數(shù),當(dāng)x0時,f(x)m最大m3,從而f(2)37,f(2)5.最小值為37.答案:A3. 圖1如果函數(shù)yf(x)的圖象如圖1所示,那么導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象可能是圖2中的()圖2解析:由yf(x)的圖象可知其單調(diào)性從左向右依次為增減增減,所以其導(dǎo)數(shù)yf(x)的函數(shù)值依次為正負正負由此可排除B、C、D.答案:A4(2020·濰坊模擬)函數(shù)f(x)x3ax2bxa2在x1處有極值10,則()Aa11,b4 Ba4,b11Ca11,b4 Da4,b11解析:由f(x)x3ax2bxa2,得f(x)3x22axb,根據(jù)已知條件即解得或(經(jīng)檢驗應(yīng)舍去)答案:D5已知函數(shù)f(x)ax3bxc,其導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的極小值是()AabcB8a4bcC3a2bDc解析:由f(x)的圖象知:x0是f(x)的極小值點,f(x)極小值f(0)c.答案:D6已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc,x2,2表示的曲線過原點,且在x±1處的切線斜率均為1,給出以下結(jié)論:f(x)的解析式為f(x)x34x,x2,2;f(x)的極值點有且僅有一個;f(x)的最大值與最小值之和等于0.其中正確的結(jié)論有()A0個 B1個C2個 D3個解析:f(0)0,c0,f(x)3x22axb.即解得a0,b4,f(x)x34x,f(x)3x24.令f(x)0得x±2,2,極值點有兩個f(x)為奇函數(shù),f(x)maxf(x)min0.正確,故確C.答案:C二、填空題(3×5分15分)7(2020·江蘇高考)函數(shù)f(x)x315x233x6的單調(diào)減區(qū)間為_解析:f(x)3x230x333(x11)(x1),令f(x)<0得1<x<11,函數(shù)f(x)x315x233x6的單調(diào)減區(qū)間為(1,11)答案:(1,11)8(2020·湖州一模)已知函數(shù)f(x)x3ax在區(qū)間(1,1)上是增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是_解析:由題意應(yīng)有f(x)3x2a0在區(qū)間(1,1)上恒成立,則a3x2,x(1,1)恒成立,故a3.答案:a39若直線ym與y3xx3的圖象有三個不同的交點,則實數(shù)m的取值范圍為_解析:由已知得:m3xx3有三個不同實根,亦即函數(shù)f(x)x33xm有3個不同的零點f(x)3x233(x1)(x1),且當(dāng)x<1時,f(x)>0,當(dāng)1<x<1時,f(x)<0,當(dāng)x>1時,f(x)>0.當(dāng)x1時,f(x)有極大值,當(dāng)x1時,f(x)有極小值,要使f(x)有3個不同的零點,如圖所示:只需解得2<m<2.答案:(2,2)三、解答題(共37分)10(12分)(2020·廣州模擬)若存在過點(1,0)的直線與曲線yx3和yax2x9都相切,求a的值解析:設(shè)過(1,0)的直線與yx3相切于點(x0,x03),所以切線方程為yx033x02(xx0),即y3x02x2x03,又(1,0)在切線上,則x00或x0,當(dāng)x00時,由y0與yax2x9相切可得a,當(dāng)x0時,由yx與yax2x9相切可得a1,所以a1或.11(理)(12分)(2020·福建六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x·lnx.(1)求曲線yf(x)在點(e,e)處的切線方程;(2)若k是正常數(shù),設(shè)g(x)f(x)f(kx),求g(x)的最小值;(3)若關(guān)于x的不等式xlnx(4x)ln(4x)ln(m26m)對一切x(0,4)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍解析:(1)f(x)lnx1,f(e)lne12.所求的切線方程為:ye2(xe)即2xye0.(2)g(x)xlnx(kx)ln(kx)的定義域為(0,k),g(x)lnx1ln(kx)1ln.由g(x)>0得<x<k,g(x)<0得0<x<.函數(shù)g(x)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,k)上單調(diào)遞增g(x)的最小值為g()k·ln.(3)xlnx(4x)ln(4x)f(x)f(4x),由(2)知:當(dāng)x(0,4)時,xlnx(4x)ln(4x)的最小值為:4ln2ln16.由已知得ln(m26m)ln16.即解得m2,0)(6,8(文)(12分)已知a為實數(shù),f(x)(x24)(xa)(1)若f(1)0,求f(x)在4,4上的最大值和最小值;(2)若f(x)在(,2和2,)上都是遞增的,求a的取值范圍解析:(1)f(x)3x22ax4,f(1)2a10,a,f(x)(3x4)(x1)x(4,1)1(1,)(,4)f(x)00f(x)增極大減極小增f極大(x)f(1),f極小(x)f(),f(4)54,f(4)42,fmin(x)f(4)54,fmax(x)f(4)42.(2)f(x)0對一切x(,2及2,)均成立,或0,即2a2.12(理)(13分)(2020·廣州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)x3x2pxp(p是實常數(shù))(1)若f(x)在(0,)內(nèi)為單調(diào)函數(shù),求p的取值范圍;(2)當(dāng)p0時,過點(1,0)作曲線yf(x)的切線能作三條,求p的取值范圍解析:(1)f(x)px22xp,x(0,)p0時,f(x)2x<0,此時f(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞減p0.p>0時,f(x)的對稱軸為x(0,),f(x)minf()0p1或p1.p1.p<0時,f(x)的對稱軸為x<0,此時f(x)px22xp在(0,)內(nèi)遞減,要使f(x)在(0,)內(nèi)為單調(diào)函數(shù),只需f(0)0即可p<0.綜上所述:p0或p1即為所求(2)f(x)px22xp,顯然p0,點(1,0)不在曲線yf(x)上p 3.設(shè)過(1,0)作直線與曲線yf(x)相切的切點為(t,t3t2ptp),則pt22tppt3(p1)t22t0tpt2(p1)t20.t0或pt2(p1)t20.切線能作三條,(p1)2p>0.p<或p>3且p0.(文)(2020·茂名模擬)設(shè)函數(shù)f(x)x33axb(a0)(1)若曲線yf(x)在點(2,f(2)處與直線y8相切,求a,b的值;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點解析:(1)f(x)3x23a.因為曲線yf(x)在點(2,f(2)處與直線y8相切,所以即解得a4,b24.(2)f(x)3(x2a)(a0)當(dāng)a<0時,f(x)>0,函數(shù)f(x)在(,)上單調(diào)遞增;此時函數(shù)f(x)沒有極值點當(dāng)a>0時,由f(x)0得x±.當(dāng)x(,)時,f(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x(,)時,f(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x(,)時,f(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時x是f(x)的極大值點,x是f(x)的極小值點