2020高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 二次函數(shù)2 理

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1、二次函數(shù)專(zhuān)題講解暨二次不等式解法探究 引言：歷年數(shù)學(xué)高考考題中都或多或少的出現(xiàn)了二次函數(shù)題，所考查的內(nèi)容涉及許多重要的數(shù)學(xué)思想及方法，如分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程思想；配方法、換元法、賦值法等。要求學(xué)生掌握二次函數(shù)的概念，掌握其圖象、性質(zhì)及圖象與性質(zhì)的關(guān)系，能靈活地運(yùn)用“三個(gè)二次”的相關(guān)知識(shí)解題。充分體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)函數(shù)內(nèi)容的把握程度，是數(shù)學(xué)高考中一個(gè)永恒的話(huà)題，真可謂“考你千遍也不厭倦”。形如的函數(shù)叫做關(guān)于的一元二次函數(shù)，其定義域?yàn)椋瑘D象是一條拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸方程，頂點(diǎn)坐標(biāo)。學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)重點(diǎn)掌握下列內(nèi)容： ⑴合理選擇二次函數(shù)的解析式。 *三種常用表達(dá)式：①（定義式）；②（頂點(diǎn)式）；③（

2、兩根式）。 【例題1】已知是二次函數(shù)，且滿(mǎn)足，則 。 〖解答〗 【例題2】設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)是，與軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為6，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。 〖解答〗 【例題3】設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿(mǎn)足 ，當(dāng)時(shí)，證明： 〖解答〗 ⑵熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。 二次函數(shù) y=ax2+bx+c, (a>0) y=ax2+bx+c, (a<0) 定義域 x∈R 值 域 （最 值） 圖 象 拋物線(xiàn)（略），精確度要求不高時(shí)作二次函數(shù)圖象先考慮二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，確定圖象的延伸方向；然后考慮對(duì)稱(chēng)軸方程，確定圖象的左右位置；再考慮頂點(diǎn)坐標(biāo)，確定圖象的上

3、下位置；最后考慮與軸的交點(diǎn)，確定圖象的開(kāi)口大小。 頂 點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)軸 開(kāi)口方向 開(kāi)口向上 開(kāi)口向下 奇偶性 b=0時(shí)，是偶函數(shù)；b≠0，是非奇非偶函數(shù)。 單調(diào)性 遞增區(qū)間 遞減區(qū)間 遞減區(qū)間 遞增區(qū)間 【例題1】函數(shù)是單調(diào)函數(shù)的充要條件是（ ） A．b≥0 B．b≤0 C．b>0 D．b<0 〖分析〗二次函數(shù)的單調(diào)性受二次項(xiàng)系數(shù)（決定左增右減還是左減右增）和對(duì)稱(chēng)軸方程（決定單調(diào)性分界位置）共同制約。因函數(shù)的圖象開(kāi)口方向向上，對(duì)稱(chēng)軸方程為，則區(qū)間應(yīng)是的子區(qū)間，，故選A。 【例題2】已知函數(shù)，如果a>b>c，且a+b+c=0

4、，則它的圖象可能是（ ） 〖分析〗即圖象開(kāi)口向上，與軸交點(diǎn)在原點(diǎn)下方，故應(yīng)選D。 【例題3】集合={}，={}，，求實(shí)數(shù)的取值集合。 〖解答〗 ⑶深刻理解二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題。 〖探究〗最值問(wèn)題常與函數(shù)求值域問(wèn)題相聯(lián)系，則我們先求函數(shù)分別在區(qū)間上所對(duì)應(yīng)的值域，由配方法化成頂點(diǎn)式，確定圖象開(kāi)口方向及對(duì)稱(chēng)軸方程，再結(jié)合圖象、性質(zhì)（單調(diào)性）作答，如能取到最值，應(yīng)分別在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得，特別對(duì)含參數(shù)的二次函數(shù)，要討論區(qū)間與對(duì)稱(chēng)軸的變化情況。 〖解答〗 【注意】二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題應(yīng)主要考查函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系，若在區(qū)間內(nèi)則該點(diǎn)處必取一個(gè)最值，如有另一個(gè)最值

5、應(yīng)在離對(duì)稱(chēng)軸最遠(yuǎn)的區(qū)間端點(diǎn)處取得；若在區(qū)間外，如有最值應(yīng)取在區(qū)間端點(diǎn)處，最值是最大值還是最小值要結(jié)合圖象的開(kāi)口方向及單調(diào)性判斷。高中階段我們主要研究：①二次函數(shù)在閉區(qū)間［m，n］上的最值；②二次函數(shù)在區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱(chēng)軸動(dòng)（定）時(shí)的最值。 【思考】（以a>0為例）對(duì)于二次函數(shù)，設(shè)令結(jié)合函數(shù)圖象則相應(yīng)值域（最值）為： 觀察值域中最大值、最小值的變化情況易得：求閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值應(yīng)先看二次項(xiàng)系數(shù)，含參數(shù)時(shí)要討論，再把對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間端點(diǎn)及區(qū)間中點(diǎn)進(jìn)行比較分類(lèi)，如當(dāng)時(shí)，求最小值分3種情況，即在區(qū)間端點(diǎn)處討論；求最大值分2種情況，即在區(qū)間中點(diǎn)處討論。當(dāng)時(shí)規(guī)律相反。 【例題1】求函數(shù)在區(qū)間上的最值

6、，并求此時(shí)的的值。 〖解答〗函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上。 【例題2】已知函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的最大值是2，求實(shí)數(shù)的值。 〖解答〗 【例題3】求函數(shù)在區(qū)間上的最大值。 〖解答〗 ⑷透徹領(lǐng)悟“三個(gè)二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的內(nèi)在聯(lián)系。 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 函數(shù)y=ax2+bx+c, (a>0)的圖象 方程ax2+bx+c=0 的根 無(wú)實(shí)根 不等式ax2+bx+c>0的解集 xx2 x≠x1,2 R 不等式ax2+bx+c<0的解集 x1

7、條規(guī)律：①二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即二次方程的根，且對(duì)稱(chēng)軸方程為；②不等式（或）的解集為圖象上方（或下方）的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合。 【注意】當(dāng)時(shí)要轉(zhuǎn)化、化歸成時(shí)的情況求解。 【例題】已知關(guān)于的不等式的解集是，求不等式的解集。 〖解答〗 *一種應(yīng)用：不等式恒成立的條件，令。 【例題1】若關(guān)于的不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 〖解答〗 【例題2】已知函數(shù)對(duì)任意，恒成立，求滿(mǎn)足的條件。 〖解答〗由已知只需 【例題3】設(shè)，當(dāng)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 〖解答〗 *二次不等式解法探究： 一、一元二次不等式解法有（1）圖象法（穿線(xiàn)法、標(biāo)根法）；（2）三

8、個(gè)二次關(guān)系法——①先化標(biāo)準(zhǔn)型；②驗(yàn)證判別式，求方程的根；③結(jié)合圖象寫(xiě)集合；（3）化一元一次不等式組法（符號(hào)法則）。 【例題】1. 不等式(x+2)(1-x)>0的解集是（ ） A．{x|x<-2或x>1} B．{x|-22} D．{x|-13} C．{x|-1

9、x+4;（3）x2>2x-3;（4）x2>2x-1;（5）3x2+5≤3x。 2.解下列不等式：（1）（2） 二、關(guān)于分式不等式，一般是化為一邊為零，另一邊進(jìn)行通分，轉(zhuǎn)化為等價(jià)的一元二次不等式或不等式組來(lái)解（注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性），在明確分母的符號(hào)的情況下，也可考慮去分母，轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）。 【例題】4.不等式的解集為（ ） A．{x|x>1} B．{x|x<1} C．{x|0

10、.關(guān)于x的不等式的解集是 。 三、二次性不等式解集的逆向思維： 題型1：關(guān)于x的不等式的解集為R（或?qū)懽鲗?duì)任意x∈R恒成立）時(shí)的條件是？解集為Ф時(shí)的條件是？ 〖討論〗解集為R解集為Ф 〖思考〗時(shí)上述情況應(yīng)滿(mǎn)足的條件…… 【例題】6.問(wèn)a為何值時(shí)，不等式的解是一切實(shí)數(shù)？ 【練習(xí)】5.不等式對(duì)任意x∈R恒成立，求a與m之間的關(guān)系。 題型2：已知不等式及其解集利用根與系數(shù)的關(guān)系求解。 首先明確兩個(gè)方面的內(nèi)容，一是根據(jù)不等號(hào)方向及解集確定二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)；二是根據(jù)解集的端點(diǎn)值確定對(duì)應(yīng)方程的根。 【例題】7.若不等式的解集為，則a+b等于

11、 。 【練習(xí)】6.已知關(guān)于x的不等式的解集是，求不等式的解集。 四、含參數(shù)的不等式的解法 在對(duì)一元二次不等式及簡(jiǎn)單分式不等式解法的研究中，我們最關(guān)心的問(wèn)題是二次項(xiàng)系數(shù)的情況（a>0、a=0、a<0）、判別式的情況（△>0、△=0、△<0）及對(duì)應(yīng)方程根的情況（根的個(gè)數(shù)、根的正負(fù)、根的大小等），所以在解決含參數(shù)的不等式的求解問(wèn)題時(shí)，也要從這幾個(gè)方面入手，進(jìn)行分層討論。同時(shí)等價(jià)轉(zhuǎn)化、分解因式、求根公式、韋達(dá)定理、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程等數(shù)學(xué)思想、公式、定理的運(yùn)用也很關(guān)鍵。 【例題】8.關(guān)于x的方程有兩異號(hào)實(shí)根，則a的取值范圍是 。 提示：方程根的正負(fù)主要

12、由判別式及韋達(dá)定理內(nèi)容來(lái)決定，即 方程有兩個(gè)正（負(fù)）實(shí)根；方程有兩異號(hào)實(shí)根 【例題】9.解不等式 【練習(xí)】7.解關(guān)于x的不等式 【練習(xí)】8.解不等式 ⑸正確應(yīng)用一元二次方程（實(shí)系數(shù)）的實(shí)根分布。 【例題】試討論方程的根的情況。 （1）根的個(gè)數(shù)：b，c滿(mǎn)足什么條件時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根？相等實(shí)根？無(wú)實(shí)根？ （2）根的大小：b，c滿(mǎn)足什么條件時(shí)，方程有兩個(gè)正根？?jī)蓚€(gè)負(fù)根？?jī)蓚€(gè)異號(hào)根？一根為0？ （3）根的范圍：b，c滿(mǎn)足什么條件時(shí)，方程兩根都大于1？都小于1？一根大于1，一根小于1？ 〖分析〗對(duì)于一元二次方程的根的研究，主要分

13、四個(gè)方面。（A）根的虛、實(shí)；（B）根的相等與不等；（C）根的正負(fù)；（D）根的范圍。利用根的判別式，可以解決（A）（B），利用韋達(dá)定理，可以解決（C）。對(duì)于（D）現(xiàn)結(jié)合問(wèn)題（3），予以討論。 〖解答〗（方法一：方程思想）若令，方程化為：?jiǎn)栴}（3）轉(zhuǎn)化為方程（*）有兩個(gè)正根，兩個(gè)負(fù)根，兩個(gè)異號(hào)根。 （*）有兩個(gè)正根的條件是 （*）有兩個(gè)負(fù)根的條件是 （*）有兩異號(hào)根的條件是 〖解答〗（方法二：函數(shù)思想）設(shè)，結(jié)合函數(shù)圖象如下， 則方程f(x)=0的兩根都大于1的條件是 方程f(x)=0的兩根都小于1的條件是 方程f(x)=0的兩根一個(gè)大于1，一個(gè)小于1的條件是 〖分析〗兩種不同

14、思路，從不同角度（一個(gè)是代數(shù)法考慮方程判別式與韋達(dá)定理，一個(gè)是幾何法結(jié)合圖象），對(duì)根的分布給予討論，有異曲同工之妙。 【例題】已知關(guān)于x的方程分別在下列條件下，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。（1）有一個(gè)根小于-1，有一個(gè)根大于1；（2）兩根均在內(nèi)。 〖分析〗此題若用方程變換，則很吃力，若用函數(shù)思想，則問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、直觀。 〖解答〗設(shè)如圖： 為使f(x)=0有一個(gè)根小于-1，一個(gè)根大于1只需即為所求； 為使f(x)=0的兩根均在區(qū)間內(nèi)，只需。 【思考】（1）中為什么不考慮Δ>0？（2）中為什么考慮四個(gè)條件，缺一個(gè)行嗎？ 〖結(jié)論〗一般地，用函數(shù)思想結(jié)合圖象來(lái)分析方程ax2+bx+c=0(a≠0

15、)的實(shí)根分布情況要考慮四個(gè)必要條件。①二次項(xiàng)系數(shù)a，決定圖象開(kāi)口（延伸）方向；②判別式Δ=b2-4ac，決定與x軸的位置；③對(duì)稱(chēng)軸x=-b/2a，決定圖象左右平移；④特殊點(diǎn)（區(qū)間端點(diǎn)）所對(duì)函數(shù)值f(x0)的正負(fù)，決定圖象開(kāi)口大小。原則上四者缺一不可，但是如果圖象開(kāi)口向上且有下方部分，則判別式可以省略，例（1）；如果兩根的位置已經(jīng)確定，則對(duì)稱(chēng)軸可以不考慮。上述結(jié)論切勿死記硬背，要結(jié)合圖象具體分析。例（2）條件如果缺少就會(huì)出現(xiàn)如下情況： 〖拓展〗對(duì)于只需利用變換即可化歸為前面討論過(guò)的問(wèn)題，由于與同號(hào)，故我們有若相應(yīng)的方程的兩個(gè)實(shí)根為，實(shí)數(shù)，則方程的根的分布情況可總結(jié)如下： 根的范圍 圖象顯示 充要條件 都大于n 都小于m 都在n，m之間 n在之間 只有一根在n，m之間 n，m在之間 【注意】以上結(jié)論，一定要結(jié)合圖象推導(dǎo)，萬(wàn)不可死記硬背。 【例題】分別求使方程的兩根滿(mǎn)足下列條件的值的集合。 （1）一根小于0，另一根大于2；（2）一根在0與1之間，一根在1與2之間； （3）兩根都在-4與0之間；（4）兩根都大于-5。