安徽省2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題升級訓(xùn)練28 解答題專項(xiàng)訓(xùn)練立體幾何 理

專題升級訓(xùn)練28 解答題專項(xiàng)訓(xùn)練(立體幾何)1有一根長為3 cm，底面半徑為2 cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為多少？2已知正四面體ABCD(圖1)，沿AB，AC，AD剪開，展成的平面圖形正好是(圖2)所示的直角梯形A1A2A3D(梯形的頂點(diǎn)A1，A2，A3重合于四面體的頂點(diǎn)A)(1)證明：ABCD；(2)當(dāng)A1D10，A1A28時(shí)，求四面體ABCD的體積3一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M，G分別是AB，DF的中點(diǎn)(1)求證：CM平面FDM；(2)在線段AD上(含A，D端點(diǎn))確定一點(diǎn)P，使得GP平面FMC，并給出證明4. (2020·皖南八校三聯(lián)，理19)如圖，已知四棱錐P­ABCD的底面ABCD是直角梯形，ABCD，BAD=90°，PB=PC=CD=2AB=4，AC=2，平面BPC平面ABCD.(1)求四棱錐P­ABCD的體積；(2)求平面PAD與平面PBC所成二面角的正切值5.如圖所示，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱長都相等，D是A1C1的中點(diǎn)，則直線AD與平面B1DC所成的角的正弦值為多少？6.如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，ABCD，AB=AD=2，CD=4，M為CE的中點(diǎn)(1)求證：BM平面ADEF；(2)求證：平面BDE平面BEC；(3)求平面BEC與平面ADEF所成銳二面角的余弦值7. (2020·安徽師大附中五模，理18)如圖，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AB2AD2，BD，PD底面ABCD.(1)證明：平面PBC平面PBD；(2)若PD1，求AP與平面PBC所成角的正弦值8.如圖，已知在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段AB，BC的中點(diǎn)(1)證明：PFFD；(2)判斷并說明PA上是否存在點(diǎn)G，使得EG平面PFD；(3)若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A­PD­F的余弦值參考答案1解：把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD(如圖)，由題意知BC3 cm，AB4 cm，點(diǎn)A與點(diǎn)C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度AC5(cm)，故鐵絲的最短長度為5 cm.2(1)證明：在四面體ABCD中，AB平面ACDABCD.(2)解：在題圖2中作DEA2A3于E.A1A28，DE8.又A1DA3D10，EA36，A2A310616.又A2CA3C，A2C8.即題圖1中AC8，AD10，由A1A28，A1BA2B得圖1中AB4.SACDSA3CDDE·A3C×8×832.又AB面ACD，VB­ACD×32×4.3解：由三視圖可得直觀圖為直三棱柱且底面ADF中ADDF，DFADa.(1)證明：FD平面ABCD，CM平面ABCD，F(xiàn)DCM.在矩形ABCD中，CD2a，ADa，M為AB中點(diǎn)，DMCMa，CMDM.FD平面FDM，DM平面FDM，F(xiàn)DDMD，CM平面FDM.(2)點(diǎn)P在A點(diǎn)處證明：取DC中點(diǎn)S，連接AS，GS，GA，G是DF的中點(diǎn)，GSFC.又ASCM，ASAGA，平面GSA平面FMC.而GA平面GSA，GP平面FMC.4解：(1)在直角梯形ABCD中，由AC2及ADC90°可求得AD2，BCBD4，BPC為等邊三角形取BC的中點(diǎn)O，連接PO，則POBC.又平面BPC平面ABCD，平面BPC平面ABCDBC，PO平面ABCD，從而VP­ABCD×SABCD×PO××(24)×2×212.(2)連接OD，由(1)計(jì)算可知，BDC為等邊三角形，而O為BC的中點(diǎn)，ODBC.又平面BPC平面ABCD，OD平面BPC.延長CB與DA交于E，連接PE，過O作ONPE，連接DN，則DNO即為所求的二面角的平面角，可求得ON=PC=3，OD=2，所以tanDNO=.5.解：不妨設(shè)正三棱柱ABC­A1B1C1的棱長為2，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(，-1,0)，B1(,1,2)，D，則，=(,1,2)設(shè)平面B1DC的法向量為n=(x，y,1)，由解得n=(,1,1)又，sin =|cos，n|=.6(1)證明：取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN.在EDC中，M，N分別為EC，ED的中點(diǎn)，所以MNCD，且MNCD.由已知ABCD，ABCD，所以MNAB，且MNAB，所以四邊形ABMN為平行四邊形所以BMAN.又因?yàn)锳N平面ADEF，且BM平面ADEF，所以BM平面ADEF.(2)證明：在正方形ADEF中，EDAD.又因?yàn)槠矫鍭DEF平面ABCD，且平面ADEF平面ABCDAD，所以ED平面ABCD.所以EDBC.在直角梯形ABCD中，ABAD2，CD4，可得BC2.在BCD中，BDBC2，CD4.所以BCBD.所以BC平面BDE.又因?yàn)锽C平面BCE，所以平面BDE平面BEC.(3)解：由(2)知ED平面ABCD，且ADCD.以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，平面ADEF的一個(gè)法向量為m(0,1,0)設(shè)n(x，y，z)為平面BEC的一個(gè)法向量，因?yàn)?2,2,0)，(0，4,2)，所以令x1，得y1，z2.所以n(1,1,2)為平面BEC的一個(gè)法向量設(shè)平面BEC與平面ADEF所成銳二面角為，則cos .所以平面BEC與平面ADEF所成銳二面角的余弦值為.7解：(1)證明：AB2AD2BD2，ADBD.又PD底面ABCD，PDAD.又PDBDD，AD平面PBD.又BCAD，BC平面PBD.BC平面PBC，平面PBC平面PBD.(2)如圖，分別以DA，DB，DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(0，0)，P(0,0,1)，C(1，0)，(1,0,1)，(1,0,0)，(0，1)設(shè)平面PBC的法向量為n(x，y，z)，由可得令y1，則z，n(0,1，)sin .8(1)證明：PA平面ABCD，BAD90°，AB1，AD2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(xiàn)(1,1,0)，D(0,2,0)不妨令P(0,0，t)，(1,1，t)，(1，1,0)，1×11×(1)(t)×00，即PFFD.(2)解：設(shè)平面PFD的法向量為n=(x，y，z)，由令z=1，解得：x=y=.n=.設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0，m)，E，則，要使EG平面PFD，只需·n=0，即+1×m=0，得m=，從而滿足的點(diǎn)G即為所求(3)解：AB平面PAD，是平面PAD的法向量，易得=(1,0,0)，又PA平面ABCD，PBA是PB與平面ABCD所成的角，得PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量為n=.cos，n=.故所求二面角A­PD­F的余弦值為.