廣東省2020年高考數(shù)學第二輪復習 專題六 解析幾何第2講　橢圓、雙曲線、拋物線 文

專題六解析幾何第2講橢圓、雙曲線、拋物線真題試做1(2020·江西高考，文8)橢圓1(ab0)的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為()A. B.C. D.22(2020·湖南高考，文6)已知雙曲線C：1的焦距為10，點P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為()A.1 B.1C.1 D.13(2020·大綱全國高考，文10)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左、右焦點，點P在C上，|PF1|2|PF2|，則cosF1PF2()A. B.C. D.4(2020·廣東高考，文20)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1：1(ab0)的左焦點為F1(1,0)，且點P(0,1)在C1上(1)求橢圓C1的方程；(2)設直線l同時與橢圓C1和拋物線C2：y24x相切，求直線l的方程考向分析圓錐曲線是高考的重點和熱點，是高考中每年必考的內(nèi)容所占分數(shù)約在1218分主要考查圓錐曲線的標準方程、幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容其中對圓錐曲線方程與性質(zhì)的考查，多以選擇題、填空題為主，如2020年湖南高考文6,2020年江西高考文8等題；對直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查，常與其他知識結(jié)合，形成曲線中的存在性問題、曲線中的證明問題等，多以解答題的形式出現(xiàn)預計在今后高考中，解析幾何中的解答題仍將以直線與圓錐曲線為載體，繼續(xù)與函數(shù)、方程、不等式、向量等知識結(jié)合，考查最值問題、范圍問題、存在性問題以及有關(guān)的證明等，試題屬于中、高檔題，考查的思想方法主要有數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學思想方法熱點例析熱點一圓錐曲線的定義、性質(zhì)與標準方程【例1】若橢圓1與雙曲線1(m，n，p，q均為正數(shù))有共同的焦點F1，F(xiàn)2，P是兩曲線的一個公共點，則|PF1|·|PF2|等于()Ap2m2 BpmCmp Dm2p2規(guī)律方法 1.求圓錐曲線方程常用的方法有定義法、待定系數(shù)法、軌跡方程法而對于雙曲線和橢圓在不明確焦點坐標的情況下可以統(tǒng)一設成mx2ny21(mn0)，這樣可以避免對參數(shù)的討論2應特別重視圓錐曲線的定義在解題中的運用，若已知圓錐曲線上一點及焦點的相關(guān)信息，應首先要考慮使用圓錐曲線的定義來求解3在求解有關(guān)離心率的問題時，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點，建立關(guān)于參數(shù)c，a，b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍4在雙曲線中，由于e21，故雙曲線的漸近線與離心率密切相關(guān)5拋物線的幾何性質(zhì)的特點：有一個頂點、一個焦點、一條準線、一條對稱軸、無對稱中心、沒有漸近線，這里強調(diào)p的幾何意義是焦點到準線的距離變式訓練1 (1)(2020·廣東惠州一調(diào)，文5)已知實數(shù)4，m,9構(gòu)成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線y21的離心率為()A. B.C.或 D.或7(2)已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線方程是yx，它的一個焦點與拋物線y216x的焦點相同，則雙曲線的方程為_熱點二圓錐曲線的最值或定值問題【例2】(2020·廣東深圳第一次調(diào)研，文21)如圖，已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：(x2)2y2r2(r0)，設圓T與橢圓C交于點M與點N.(1)求橢圓C的方程；(2)求·的最小值，并求此時圓T的方程；(3)設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點，求證：|OR|·|OS|為定值規(guī)律方法 1.求最值的常用方法(1)函數(shù)法，如通過二次函數(shù)求最值；(2)三角代換法，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求最值；(3)不等式法，通過基本不等式求最值；(4)數(shù)形結(jié)合法等2定值問題的求解策略解這類問題常通過取參數(shù)和特殊值先確定“定值”是多少，再進行證明，或者將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再證明該式是與變量無關(guān)的常數(shù)特別提醒：解決定值問題一定要分清哪些量為變量，哪些量為常量變式訓練2 (2020·安徽安慶二模，20)已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，e，過F1的直線l交橢圓C于A，B兩點，|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列，且|AB|4.(1)求橢圓C的方程；(2)M，N是橢圓C上的兩點，若線段MN被直線x1平分，證明：線段MN的中垂線過定點熱點三求圓錐曲線中的參數(shù)范圍【例3】如圖，已知圓C：(x1)2y28，定點A(1,0)，M為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足2，·0，點N的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)若過定點F(0,2)的直線交曲線E于不同的兩點G，H(點G在點F，H之間)，且滿足，求的取值范圍規(guī)律方法 求圓錐曲線中參數(shù)范圍的常用方法(1)函數(shù)法，用其他變量表示該參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)值域的方法求解(2)不等式法，根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等關(guān)系，通過解不等式求參數(shù)的范圍(3)判別式法，建立關(guān)于某變量的一元二次方程，利用判別式0求參數(shù)的范圍(4)數(shù)形結(jié)合法，研究該參數(shù)所對應的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想求解特別提醒：直線與圓錐曲線相交(有兩個交點)，聯(lián)立方程消元后得方程ax2bxc0(a0)，則b24ac0，求字母范圍時易忽視此限制條件，從而產(chǎn)生增根變式訓練3 已知點P(4,4)，圓C：(xm)2y25(m3)與橢圓E：1(ab0)有一個公共點A(3,1)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，直線PF1與圓C相切(1)求m的值與橢圓E的方程；(2)設Q為橢圓E上的一個動點，求·的取值范圍熱點四開放性、探索性問題(存在性問題)【例4】在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個不同的交點P和Q.(1)求k的取值范圍；(2)設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由規(guī)律方法 1.解決探索性問題應注意以下幾點：存在性問題，先假設存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在(1)當條件和結(jié)論不唯一時，要分類討論；(2)當給出結(jié)論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件；(3)當條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要思維開放，采取另外的途徑2存在性問題的解題步驟：(1)先假設存在，引入?yún)⒆兞?，根?jù)題目條件列出關(guān)于參變量的方程(組)或不等式(組)；(2)解此方程(組)或不等式(組)，若有解則存在，若無解則不存在；(3)得出結(jié)論變式訓練4 (2020·廣東肇慶一模，文20)已知圓C與兩圓x2(y4)21，x2(y2)21外切，圓C的圓心軌跡方程為l，設l上的點與點M(x，y)的距離的最小值為m，點F(0,1)與點M(x，y)的距離為n.(1)求圓C的圓心軌跡l的方程；(2)求滿足條件mn的點M的軌跡Q的方程；(3)試探究軌跡Q上是否存在點B(x1，y1)，使得過點B的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于.若存在，請求出點B的坐標；若不存在，請說明理由思想滲透分類討論思想解析幾何中含參數(shù)的問題解析幾何中含參數(shù)的問題類型：(1)當直線過定點設直線方程時，應對直線分斜率存在與不存在兩種情況進行討論；(2)求有關(guān)直線與圓錐曲線交點個數(shù)問題時，對參數(shù)的討論；(3)求有關(guān)線段長度、圖形面積的最值問題時，對解析式中含有的參數(shù)進行討論；(4)對有關(guān)二元二次方程表示曲線類型的判定等求解時注意的問題：(1)求解有關(guān)含參數(shù)的問題時應結(jié)合參數(shù)的意義，對參數(shù)的不同取值或不同取值范圍進行分類討論，分類時應注意討論的時機、標準、原因，做到不重不漏；(2)對參數(shù)的分類討論，最后仍然分類寫出答案；如果是對所求的字母進行分類求解，最后一般要整理得出并集(2020·浙江高考，理21)如圖，橢圓C：1(ab0)的離心率為，其左焦點到點P(2,1)的距離為，不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分(1)求橢圓C的方程；(2)求ABP面積取最大值時直線l的方程解：(1)設橢圓左焦點為F(c,0)，則由題意得解得所以橢圓方程為1.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點為M.當直線AB與x軸垂直時，直線AB的方程為x0，與不過原點的條件不符，舍去故可設直線AB的方程為ykxm(m0)，由消去y，整理得(34k2)x28kmx4m2120，則64k2m24(34k2)(4m212)0，所以線段AB的中點M，因為M在直線OP上，所以，得m0(舍去)或k.此時方程為3x23mxm230，則3(12m2)0，所以|AB|·|x1x2|·.設點P到直線AB距離為d，則d.設ABP的面積為S，則S|AB|·d·，其中m(2，0)(0,2)令u(m)(12m2)(m4)2，m2，2，u(m)4(m4)(m22m6)4(m4)·(m1)(m1)所以當且僅當m1時，u(m)取到最大值故當且僅當m1時，S取到最大值綜上，所求直線l方程為3x2y220.1(2020·廣東惠州一模，理7)已知雙曲線x21的焦點為F1，F(xiàn)2，點M在雙曲線上，且0，則點M到x軸的距離為()A. B. C. D.2(2020·廣東東莞一模，文8)已知拋物線C的頂點為原點，焦點在x軸上，直線yx與拋物線C交于A，B兩點，若P(2,2)為AB的中點，則拋物線C的方程為()Ay24x By24xCx24y Dy28x3以F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)為焦點且與直線xy30有公共點的橢圓中，離心率最大的橢圓方程是()A.1 B.1C.1 D.14(2020·山東濰坊3月模擬，13)雙曲線y21(a0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為_5(2020·北京豐臺3月模擬，10)已知拋物線y28x上一點P到焦點的距離是6，則點P的坐標是_6(2020·廣東茂名二模，文13)已知有公共焦點的橢圓與雙曲線中心在原點，焦點在x軸上，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且它們在第一象限的交點為P，PF1F2是以PF1為底邊為等腰三角形，若|PF1|10，雙曲線的離心率的值為2，則該橢圓的離心率的值為_7(2020·山東濟南模擬，22)已知中心在原點O，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上的橢圓E經(jīng)過點C(2,2)，且拋物線y24x的焦點為F1.(1)求橢圓E的方程；(2)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A，B兩點，當以AB為直徑的圓P與y軸相切時，求直線l的方程和圓P的方程參考答案命題調(diào)研·明晰考向真題試做1B解析：因為A，B為左，右頂點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左，右焦點，所以|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac.又因為|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，所以(ac)(ac)4c2，即a25c2.所以離心率e，故選B.2A解析：2c10，c5.點P(2,1)在直線yx上，1.又a2b225，a220，b25.故C的方程為：1.3C解析：設|PF2|m，則|PF1|2m，由雙曲線定義知：|PF1|PF2|2a，得2mm2，m2.又2c22×24，由余弦定理可得：cosF1PF2.4解：(1)因為橢圓C1的左焦點為F1(1,0)，所以c1.點P(0,1)代入橢圓1，得1，即b1，所以a2b2c22.所以橢圓C1的方程為y21.(2)直線l的斜率顯然存在，設直線l的方程為ykxm，由消去y并整理得(12k2)x24kmx2m220，因為直線l與橢圓C1相切，所以16k2m24(12k2)(2m22)0，整理得2k2m210.由消去y并整理得k2x2(2km4)xm20.因為直線l與拋物線C2相切，所以(2km4)24k2m20，整理得km1.綜合，解得或所以直線l的方程為yx或yx.精要例析·聚焦熱點熱點例析【例1】 C解析：根據(jù)題意可知mn，由于點P是橢圓上的點，據(jù)橢圓定義有|PF1|PF2|2.又點P在雙曲線上，再據(jù)雙曲線定義有|PF1|PF2|±2，將上述兩式分別平方再相減得|PF1|·|PF2|mp.【變式訓練1】 (1)C解析：因4，m,9成等比，則m236，m±6.當m6時，圓錐曲線為橢圓y21，其離心率為；當m6時，圓錐曲線為雙曲線y21，其離心率為，故選C.(2)1解析：由雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線方程為yx得，ba.拋物線y216x的焦點為F(4,0)，c4.又c2a2b2，16a2(a)2.a24，b212.所求雙曲線的方程為1.【例2】 解：(1)依題意，得a2，e，c，b1.故橢圓C的方程為y21.(2)方法一：點M與點N關(guān)于x軸對稱，設M(x1，y1)，N(x1，y1)，不妨設y10.由于點M在橢圓C上，所以y121.(*)由已知T(2,0)，則(x12，y1)，(x12，y1)，(x12，y1)·(x12，y1)(x12)2y12(x12)2x124x132.由于2x12，故當x1時，取得最小值為.由(*)式，y1，故M，又點M在圓T上，代入圓的方程得到r2.故圓T的方程為：(x2)2y2.方法二：點M與點N關(guān)于x軸對稱，故設M(2cos ，sin )，N(2cos ，sin )，由已知T(2,0)，則1cos 1，(2cos 2，sin )·(2cos 2，sin )(2cos 2)2sin25cos28cos 352.故當cos 時，取得最小值為，此時M，又點M在圓T上，代入圓的方程得到r2.故圓T的方程為：(x2)2y2.(3)方法一：設P(x0，y0)，由題意知：x0x1，y0±y1.則直線MP的方程為：yy0(xx0)，令y0，得xR.同理，xS，故xR·xS.(*)又點M與點P在橢圓上，故x024(1y02)，x124(1y12)，代入(*)式，得xR·xS4.所以|OR|·|OS|xR|·|xS|xR·xS|4為定值方法二：設M(2cos ，sin )，N(2cos ，sin )，P(2cos ，sin )，其中cos cos ，sin ±sin .則直線MP的方程為：ysin (x2cos )，令y0，得xR.同理，xS.故xR·xS4.所以|OR|·|OS|xR|·|xS|xR·xS|4為定值【變式訓練2】 (1)解：|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列，|AF2|BF2|2|AB|.4a|AF2|AF1|BF2|BF1|AF2|BF2|AB|3|AB|12.a3.又e，c1，b2.所求的橢圓方程為1.(2)證明：設M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點為(1，y0)，由題意知1，1.兩式相減，得0，kMN.線段MN的中垂線方程為yy0(x1)，易證，此直線過定點.【例3】 解：(1)2，·0，NP為AM的垂直平分線，|NA|NM|.又|CN|NM|2，|CN|AN|22，點N的軌跡是以點C(1,0)，A(1,0)為焦點的橢圓且橢圓長軸長為2a2，焦距2c2，a，c1，b21，曲線E的方程為y21.(2)當直線GH的斜率存在時，設直線GH的方程為ykx2，代入橢圓方程y21，得x24kx30.由0得k2.設G(x1，y1)，H(x2，y2)，則x1x2，x1x2.又，(x1，y12)(x2，y22)，x1x2，x1x2(1)x2，x1x2x2，2x2.2·2·，整理得.k2，4.42，3.又01，1.又當直線GH的斜率不存在，即其方程為x0時，.1，即所求的取值范圍是.【變式訓練3】 解：(1)點A坐標代入圓C方程，得(3m)215.m3，m1.圓C：(x1)2y25.設直線PF1的斜率為k，則PF1：yk(x4)4，即kxy4k40.直線PF1與圓C相切，.解得k或k.當k時，直線PF1與x軸的交點橫坐標為，不合題意，舍去當k時，直線PF1與x軸的交點橫坐標為4，c4.F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)2aAF1AF256，a3，a218，b22.橢圓E的方程為1.(2)(1,3)，設Q(x，y)，(x3，y1)，(x3)3(y1)x3y6.1，即x2(3y)218，而x2(3y)22|x|·|3y|，186xy18.則(x3y)2x2(3y)26xy186xy的取值范圍是0,36x3y的取值范圍是6,6x3y6的取值范圍是12,0【例4】 解：(1)由已知條件知直線l的方程為ykx，代入橢圓方程得(kx)21.整理得x22kx10.直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于8k244k220，解得k或k.即k的取值范圍為.(2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則(x1x2，y1y2)，由方程得x1x2.又y1y2k(x1x2)2，而A(，0)，B(0,1)，(2,1)，所以與共線等價于x1x2(y1y2)將代入上式，解得k.由(1)知k或k，故沒有符合題意的常數(shù)k.【變式訓練4】 解：(1)兩圓半徑都為1，兩圓心分別為C1(0，4)，C2(0,2)，由題意得CC1CC2，可知圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線，C1C2的中點為(0，1)，直線C1C2的斜率不存在，故圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線方程為y1，即圓C的圓心軌跡L的方程為y1.(2)因為mn，所以M(x，y)到直線y1的距離與到點F(0,1)的距離相等，故點M的軌跡Q是以y1為準線，點F(0,1)為焦點，頂點在原點的拋物線，1，即p2，所以，軌跡Q的方程是x24y.(3)由(2)得yx2，yx，所以過點B的切線的斜率為kx1，切線方程為yy1x1(xx1)，令x0得yx21y1，令y0得xx1，因為點B在x24y上，所以y1x12.故yx12，xx1.所以切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為S|x|y|x13|.令S，即|x13|得|x1|2，所以x1±2.當x12時，y11，當x12時，y11.所以點B的坐標為(2,1)或(2,1)創(chuàng)新模擬·預測演練1B解析：設|m，|n，由得m·n4，由SF1MF2m·n|F1F2|·d，解得d，故選B.2A解析：由題意不妨設A點為(0,0)AB的中點為P(2,2)，B點的坐標為(4,4)設拋物線方程為y22px，易得p2.y24x，故選A.3C解析：c1，故若使橢圓的離心率最大，則a最小，即在直線xy30上求一點M使|MF1|MF2|最小，易求點F1關(guān)于直線xy30的對稱點N為(3,2)，|NF2|2.2a2，故所求橢圓方程是1.故選C.4y±x解析：c2a21，由4得a.故漸近線方程為y±x±x.5(4，±4)解析：利用拋物線定義先求出P點的橫坐標6.解析：設橢圓的長軸為2a1，雙曲線的實軸為2a2，焦距為2c.則在雙曲線中，有|PF1|PF2|102c2a2，又e22，a2，c.在橢圓中，有|PF1|PF2|102×2a1，a1.橢圓的離心率為e1.7解：(1)設橢圓E的方程為1(ab0)，則1，拋物線y24x的焦點為F1，c.又a2b2c2，由得a212，b26.橢圓E的方程為1.(2)依題意，直線OC斜率為1，由此設直線l的方程為yxm，代入橢圓E的方程，得3x24mx2m2120.由16m212(2m212)8(18m2)0，得m218.A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.圓P的圓心為，半徑r|x1x2|.當圓P與y軸相切時，r，則2x1x2，即，m2918，m±3.當m3時，直線l方程為yx3，此時，x1x24，圓心為(2,1)，半徑為2，圓P的方程為(x2)2(y1)24；同理，當m3時，直線l方程為yx3，圓P的方程為(x2)2(y1)24.