廣東省2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題四 數(shù)列第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 文

專題四數(shù)列第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列真題試做1(2020·遼寧高考，文4)在等差數(shù)列an中，已知a4a816，則a2a10()A12 B16C20 D242(2020·安徽高考，文5)公比為2的等比數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a3a1116，則a5()A1 B2C4 D83(2020·北京高考，文6)已知an為等比數(shù)列下面結(jié)論中正確的是()Aa1a32a2Ba12a322a22C若a1a3，則a1a2D若a3a1，則a4a24(2020·廣東高考，文12)若等比數(shù)列an滿足a2a4，則a1aa5_.5(2020·廣東高考，文19)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和為Tn，滿足Tn2Snn2，nN*.(1)求a1的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式考向分析高考中對(duì)等差(等比)數(shù)列的考查主、客觀題型均有所體現(xiàn)，一般以等差、等比數(shù)列的定義或以通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式為基礎(chǔ)考點(diǎn)，常結(jié)合數(shù)列遞推公式進(jìn)行命題，主要考查學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力以及計(jì)算能力等，中低檔題占多數(shù)考查的熱點(diǎn)主要有三個(gè)方面：(1)對(duì)于等差、等比數(shù)列基本量的考查，常以客觀題的形式出現(xiàn)，考查利用通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式建立方程組求解，屬于低檔題；(2)對(duì)于等差、等比數(shù)列性質(zhì)的考查主要以客觀題出現(xiàn)，具有“新、巧、活”的特點(diǎn)，考查利用性質(zhì)解決有關(guān)計(jì)算問題，屬中低檔題；(3)對(duì)于等差、等比數(shù)列的判斷與證明，主要出現(xiàn)在解答題的第一問，是為求數(shù)列的通項(xiàng)公式而準(zhǔn)備的，因此是解決問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)熱點(diǎn)例析熱點(diǎn)一等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算【例2】(2020·福建莆田質(zhì)檢，20)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a11，等式anan22an1對(duì)任意nN*均成立(1)若a410，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若a21t，且存在m3(mN*)，使得amSm成立，求t的最小值規(guī)律方法 此類問題應(yīng)將重點(diǎn)放在通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的直接應(yīng)用上，注重五個(gè)基本量a1，an，Sn，n，d(q)之間的轉(zhuǎn)化，會(huì)用方程(組)的思想解決“知三求二”問題我們重在認(rèn)真觀察已知條件，在選擇a1，d(q)兩個(gè)基本量解決問題的同時(shí)，看能否利用等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件，否則可能會(huì)導(dǎo)致列出的方程或方程組較為復(fù)雜，無形中增大運(yùn)算量同時(shí)在運(yùn)算過程中注意消元法及整體代換的應(yīng)用，這樣可減少計(jì)算量特別提醒：(1)解決等差數(shù)列an前n項(xiàng)和問題常用的有三個(gè)公式Sn；Snna1d；SnAn2Bn(A，B為常數(shù))，靈活地選用公式，解決問題更便捷；(2)利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和時(shí)，不可忽視對(duì)公比q是否為1的討論變式訓(xùn)練1 (2020·山東青島質(zhì)檢，20)已知等差數(shù)列an的公差大于零，且a2，a4是方程x218x650的兩個(gè)根；各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足b3a3，S313.(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列cn滿足cn求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.熱點(diǎn)二等差、等比數(shù)列的性質(zhì)【例2】(1)在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a2，a48是方程2x27x60的兩個(gè)根，則a1·a2·a25·a48·a49的值為()A. B9 C±9 D35(2)正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比q1，且a2，a3，a1成等差數(shù)列，則的值為()A.或 B.C. D.規(guī)律方法 (1)解決此類問題的關(guān)鍵是抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解；(2)應(yīng)牢固掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，特別是等差數(shù)列中“若mnpq，則amanapaq”這一性質(zhì)與求和公式Sn的綜合應(yīng)用變式訓(xùn)練2 (1)(2020·江西玉山期末，3)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S1525，則tan a8的值是()A. B C± D(2)(2020·廣西桂林調(diào)研，7)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若公比q2，S41，則S8()A17 B16 C15 D256熱點(diǎn)三等差、等比數(shù)列的判定與證明【例3】(2020·廣東韶關(guān)第一次調(diào)研，文19)已知函數(shù)f(x)logx，且數(shù)列f(an)是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列(1)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)設(shè)bnan·f(an)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn的最小值規(guī)律方法 證明數(shù)列an為等差或等比數(shù)列有兩種基本方法：(1)定義法an1and(d為常數(shù))an為等差數(shù)列；q(q為常數(shù))an為等比數(shù)列(2)等差、等比中項(xiàng)法2anan1an1(n2，nN*)an為等差數(shù)列；aan1an1(an0，n2，nN*)an為等比數(shù)列我們要根據(jù)題目條件靈活選擇使用，一般首選定義法利用定義法一種思路是直奔主題，例如本題方法；另一種思路是根據(jù)已知條件變換出要解決的目標(biāo)，如本題還可這樣去做：由an2an12n1，得an12an122n，所以an12(an11)2n，上式兩邊除以2n，從而可得1，由此證得結(jié)論特別提醒：(1)判斷一個(gè)數(shù)列是等差(等比)數(shù)列，還有通項(xiàng)公式法及前n項(xiàng)和公式法，但不作為證明方法；(2)若要判斷一個(gè)數(shù)列不是等差(等比)數(shù)列，只需判斷存在連續(xù)三項(xiàng)不成等差(等比)數(shù)列即可；(3)aan1an1(n2，nN*)是an為等比數(shù)列的必要而不充分條件，也就是要注意判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，要注意各項(xiàng)不為0.變式訓(xùn)練3 (2020·廣東兩校聯(lián)考，文19)已知數(shù)列an滿足a15，a25，an1an6an1(n2)(1)求證：an12an是等比數(shù)列；(2)求證：an3n是等比數(shù)列并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式思想滲透1函數(shù)方程思想等差(比)數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的計(jì)算問題：(1)已知等差(比)數(shù)列有關(guān)條件求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，及由通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求首項(xiàng)、公差(比)、項(xiàng)數(shù)及項(xiàng)，即主要指所謂的“知三求二”問題；(2)由前n項(xiàng)和求通項(xiàng)；(3)解決與數(shù)列通項(xiàng)、前n項(xiàng)和有關(guān)的不等式最值問題2求解時(shí)主要思路方法為：(1)運(yùn)用等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中的5個(gè)基本量，建立方程(組)，進(jìn)行運(yùn)算時(shí)要注意消元的方法及整體代換的運(yùn)用；(2)數(shù)列的本質(zhì)是定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集的函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式即為相應(yīng)的函數(shù)解析式，因此在解決數(shù)列問題時(shí)，應(yīng)用函數(shù)的思想求解【典型例題】在等比數(shù)列an中，an0(nN*)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，a3與a5的等比中項(xiàng)為2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlog2an，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)最大時(shí)，求n的值解：(1)a1a52a3a5a2a825，a2a3a5a25.又an0，a3a55.又a3與a5的等比中項(xiàng)為2，a3a54.而q(0,1)，a3a5.a34，a51，q，a116.an16×n125n.(2)bnlog2an5n，bn1bn1，bn是以4為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列Sn，當(dāng)n8時(shí)，0；當(dāng)n9時(shí)，0；當(dāng)n9時(shí)，0.當(dāng)n8或9時(shí)，最大1(2020·河北冀州一模，5)在等差數(shù)列an中，a9a126，則數(shù)列an前11項(xiàng)的和S11等于()A24 B48 C66 D1322在等比數(shù)列an中，an0，若a1·a516，a48，則a5()A16 B8 C4 D323(2020·廣東汕頭質(zhì)檢，2)已知等比數(shù)列an的公比q為正數(shù)，且2a3a4a5，則q的值為()A. B2 C. D34(2020·河北衡水調(diào)研，6)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S20S40，則下列結(jié)論中正確的是()AS30是Sn中的最大值BS30是Sn中的最小值CS300DS6005已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足a7a62a5，若存在兩項(xiàng)am，an，使得4a1，則的最小值為_6已知數(shù)列an為等差數(shù)列，數(shù)列bn為等比數(shù)列，且滿足a1 000a1 013，b1b132，則tan_.7若數(shù)列an滿足a11，an1pSnr(nN*)，p，rR，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和(1)當(dāng)p2，r0時(shí)，求a2，a3，a4的值；(2)是否存在實(shí)數(shù)p，r，使得數(shù)列an為等比數(shù)列？若存在，求出p，r滿足的條件；若不存在，說明理由8設(shè)an是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S37，且a13,3a2，a34構(gòu)成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bnln a3n1，n1,2，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.參考答案命題調(diào)研·明晰考向真題試做1B解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)知，a2a10a4a816，故選B.2A解析：由題意可得，a3·a11a2716，a74.a51.3B解析：A中當(dāng)a1，a3為負(fù)數(shù)，a2為正數(shù)時(shí)，a1a32a2不成立；B中根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及均值不等式得，a12a3222a22；C中取a1a31，a21，顯然a1a2；D中取a11，a22，a34，a48，可知a4a2不成立綜上可知，僅有B正確4.解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)得a2·a4a1·a5a，a1·a·a5.5解：(1)當(dāng)n1時(shí)，T12S11.因?yàn)門1S1a1，所以a12a11，求得a11.(2)當(dāng)n2時(shí)，SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22Sn2Sn12n1，所以Sn2Sn12n1.所以Sn12Sn2n1.，得an12an2，所以an122(an2)，即2(n2)，求得a123，a226，則2.所以an2是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列所以an23·2n1.所以an3·2n12，nN*.精要例析·聚焦熱點(diǎn)熱點(diǎn)例析【例1】 解：(1)anan22an1對(duì)nN*都成立，數(shù)列an為等差數(shù)列設(shè)數(shù)列an公差為d，a11，a410，a4a13d10.d3.ana1(n1)d3n2.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n2.(2)a21t，公差da2a1t.ana1(n1)d1(n1)t.Snna1dnt.由amSm得1(m1)tmt，(m1)t(m1)t.t1t.t.m3，2t0.t的最小值為2.【變式訓(xùn)練1】 解：(1)設(shè)an的公差為d(d0)，bn的公比為q(q0)，則由x218x650，解得x5或x13.因?yàn)閐0，所以a2a4，則a25，a413.則解得a11，d4，所以an14(n1)4n3.因?yàn)榻獾胋11，q3.所以bn3n1.(2)當(dāng)n5時(shí)， Tna1a2a3ann×42n2n；當(dāng)n5時(shí)，TnT5(b6b7b8bn)(2×525)，所以Tn【例2】 (1)B解析：依題意知a2·a483.又a1·a49a2·a48a3，a250，a1·a2·a25·a48·a49a2559.(2)C解析：因?yàn)閍2，a3，a1成等差數(shù)列，所以a3a1a2.q21q.又q0，解得q，故.【變式訓(xùn)練2】 (1)B解析：S1515a825，a8.tan a8tan tantan.(2)A解析：S8S4(a5a6a7a8)S4q4S417.【例3】 解：(1)證明：由題意f(an)2(n1)×22n，即logan2n，an2n2n.2.數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列(2)由(1)知，bnan·f(an)n·2n1.Sn1·222·233·24n·2n1，2Sn1·232·243·25n·2n2，得Sn2223242n1n·2n2n·2n2，Sn(n1)2n24.因?yàn)镾n是遞增數(shù)列，所以Sn的最小值等于S14.【變式訓(xùn)練3】 解：(1)由an1an6an1，an12an3(an2an1)(n2)，a15，a25，a22a115.故數(shù)列an12an是以15為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列(2)由(1)得an12an5×3n，(an13n1)2(an3n)故數(shù)列an3n是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，an3n2(2)n1，即an3n2(2)n13n(2)n.創(chuàng)新模擬·預(yù)測(cè)演練1D解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由a9a126得a18d(a111d)6，整理得a15d12，即a612，S1111a6132.2A解析：a1·a5a2·a416，a22.q24.又an0，q2.a5a2q32×2316.3B解析：由2a3a4a5得2a3a3qa3q2，q2q20，解得q2，q1(舍去)4D解析：由S20S40得a21a22a23a400，a21a400.S60(a1a60)×60(a21a40)×600.5.解析：由a7a62a5，得q2q20，解得q2或q1(舍去)，amana1qm1·a1qn116a.qmn22mn224.mn24.mn6.··(mn)×(54)(當(dāng)且僅當(dāng)4m2n2時(shí)，“”成立)6解析：因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，數(shù)列bn為等比數(shù)列，所以由它們的性質(zhì)可得a1 000a1 013a1a2 012，b1b13b722，則tantan.7解：(1)由a11，an1pSnr，當(dāng)p2，r0時(shí)，an12Sn，a22a12，a32S22(a1a2)2×(12)6，a42S32(a1a2a3)2×(126)18.(2)an1pSnr，anpSn1r(n2)an1an(pSnr)(pSn1r)pan，即an1(p1)an，其中n2.若數(shù)列an為等比數(shù)列，則公比qp10.p1.又a2pra1qa1(p1)p1，故r1.當(dāng)p1，r1時(shí)，數(shù)列an為等比數(shù)列8解：(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q(q1)由已知得即即解得a11，q2或a14，q(舍去)an2n1.(2)由(1)得a3n123n，bnln a3n1ln 23n3nln 2，bn1bn3ln 2.bn是以b13ln 2為首項(xiàng)，公差為3ln 2的等差數(shù)列Tnb1b2bn，即Tn.