江蘇省啟東市2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題強(qiáng)化訓(xùn)練1

專(zhuān)題強(qiáng)化訓(xùn)練11.如圖，某城市有一塊半徑為40 m的半圓形綠化區(qū)域(以O(shè) 為圓心，AB為直徑)，現(xiàn)計(jì)劃對(duì)其進(jìn)行改建在AB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D，OD80 m，在半圓上選定一點(diǎn)C，改建后的綠化區(qū)域由扇形區(qū)域AOC和三角形區(qū)域COD組成，其面積為S m2設(shè)AOCx rad(1)寫(xiě)出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式S(x)，并指出x的取值范圍； (2)試問(wèn)AOC多大時(shí)，改建后的綠化區(qū)域面積S取得最大值A(chǔ)BOCD(1)因?yàn)樯刃?#160;AOC的半徑為 40 m，AOCx rad，所以 扇形AOC的面積S扇形AOC800x，0x 2分在COD中，OD80，OC40，CODx，所以COD 的面積SCOD·OC·OD·sinCOD1600sin(x)1600sinx 5分從而 SSCODS扇形AOC1600sinx800x，0x 7分2. 如圖所示，某街道居委會(huì)擬在地段的居民樓正南方向的空白地段上建一個(gè)活動(dòng)中心，其中米活動(dòng)中心東西走向，與居民樓平行. 從東向西看活動(dòng)中心的截面圖的下部分是長(zhǎng)方形，上部分是以為直徑的半圓. 為了保證居民樓住戶(hù)的采光要求，活動(dòng)中心在與半圓相切的太陽(yáng)光線照射下落在居民樓上的影長(zhǎng)不超過(guò)米，其中該太陽(yáng)光線與水平線的夾角滿(mǎn)足.（1）若設(shè)計(jì)米，米，問(wèn)能否保證上述采光要求？FABEDGC南居民樓活動(dòng)中心（2）在保證上述采光要求的前提下，如何設(shè)計(jì)與的長(zhǎng)度，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大？（注：計(jì)算中取3） 解：如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系（1）因?yàn)?，所以半圓的圓心為，半徑設(shè)太陽(yáng)光線所在直線方程為，即， 則由，解得或（舍）.故太陽(yáng)光線所在直線方程為， 令，得米米.所以此時(shí)能保證上述采光要求. （2）設(shè)米，米，則半圓的圓心為，半徑為方法一：設(shè)太陽(yáng)光線所在直線方程為，即，由，解得或（舍）. 故太陽(yáng)光線所在直線方程為， 令，得，由，得. 所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 所以當(dāng)米且米時(shí)，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大. 方法二：欲使活動(dòng)中心內(nèi)部空間盡可能大，則影長(zhǎng)EG恰為米，則此時(shí)點(diǎn)為，設(shè)過(guò)點(diǎn)G的上述太陽(yáng)光線為，則所在直線方程為y(x30)，即 由直線與半圓H相切，得而點(diǎn)H(r，h)在直線的下方，則3r4h1000，即，從而 又.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)米且米時(shí)，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大. 3.已知PQ是半徑為1的圓A的直徑，B，C為不同于P，Q的兩點(diǎn)，如圖所示，記PAB=（1）若BC=，求四邊形PBCQ的面積的最大值；（2）若BC=1，求的最大值解：（1），BAC=；由PAB=得CAQ=；S四邊形PBCQ=SPAB+SABC+SCAQ=；，當(dāng)時(shí)，S四邊形PBCQ取得最大值；（2）當(dāng)BC=1時(shí)，BAC=，PAC=；=1=；時(shí)，取得最大值LABOMLLab4.如圖，某城市有一條公路從正西方通過(guò)市中心后轉(zhuǎn)向東偏北角方向的位于該市的某大學(xué)與市中心的距離，且現(xiàn)要修筑一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站，在OB上設(shè)一站B，鐵路在部分為直線段，且經(jīng)過(guò)大學(xué)其中，（1）求大學(xué)與站的距離；（2）求鐵路段的長(zhǎng)（1）在中，且， 由余弦定理得， ，即大學(xué)與站的距離為； （2），且為銳角， 在中，由正弦定理得，, 即， ， ， 又， ， 在中， 由正弦定理得，即，即鐵路段的長(zhǎng)為 5.如圖是某設(shè)計(jì)師設(shè)計(jì)的Y型飾品的平面圖，其中支架OA，OB，OC兩兩成120°，OC=1，AB=OB+OC，且OAOB，現(xiàn)設(shè)計(jì)師在支架OB上裝點(diǎn)普通珠寶，普通珠寶的價(jià)值為M，且M與OB長(zhǎng)成正比，比例系數(shù)為k（k為正常數(shù)）：在AOC區(qū)域（陰影區(qū)域）內(nèi)鑲嵌名貴珠寶，名貴珠寶的價(jià)值為N，且N與AOC的面積成正比，比例系數(shù)為4k，設(shè)OA=x，OB=y（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；（2）求NM的最大值及相應(yīng)的x的值解：（1）OA=x，OB=y，AB=y+1，由余弦定理得x2+y22xycos120°=（y+1）2，解得y=，由x0，y0，得1x2，xy，x，得1x，OA的取值范圍是（1，）（2）M=kOB=ky，N=4kSAOC=3kx，則NM=k（3xy）=k（3x），設(shè)2x=t，則t（，1），則NM=k3（2t）=k10（4t+）k（102）=（104）k，當(dāng)且僅當(dāng)4t=，即t=，x=2時(shí)，NM的最大值是）=（104）k6.在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知=（1）求C；（2）如圖，設(shè)半徑為R的圓O過(guò)A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)P位于劣弧上，PAB=，求四邊形APCB面積S（）的解析式及最大值【考點(diǎn)】在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理可得sin2A=sin2B，再由角的范圍可得A+B=，從而求得C；（2）把三角形ABC的三邊用R表示，再由S（）=SABC+SAPC，代入三角形面積公式化簡(jiǎn)，然后由（）求得四邊形APCB面積S（）的最大值【解答】解：（1）由=，得=，sin2A=sin2B，2A，2B（0，2），2A=2B，或2A+2B=，即A=B或A+B=，A=B舍去，從而C=；（2）由條件得：c=2R，a=R，b=R，BAC=，CAP=，（），S（）=SABC+SAPC=，（），（），當(dāng)時(shí)，7.一個(gè)玩具盤(pán)由一個(gè)直徑為2米的半圓O和一個(gè)矩形ABCD構(gòu)成，AB=1米，如圖所示，小球從A點(diǎn)出發(fā)以大小為5v的速度沿半圓O軌道滾到某點(diǎn)E處，經(jīng)彈射器以6v的速度沿與點(diǎn)E切線垂直的方向彈射到落袋區(qū)BC內(nèi)，落點(diǎn)記為F，設(shè)AOE=弧度，小球從A到F所需時(shí)間為T(mén)（1）試將T表示為的函數(shù)T（），并寫(xiě)出定義域；（2）求時(shí)間T最短時(shí)的值解：（1）過(guò)點(diǎn)O作OGBC于G，則OG=1，OF=，EF=1+，AE=，T（）=+=+，；（2）由（1）可知T（）=，記cos0=，由0，可知：當(dāng)（，0）時(shí)T（）0，即T（）在區(qū)間（，0）上單調(diào)遞減，當(dāng)（0，）時(shí)T（）0，即T（）在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞增，當(dāng)=時(shí)時(shí)間T最短8.如圖，O為總信號(hào)源點(diǎn)，A，B，C是三個(gè)居民區(qū)，已知A，B都在O的正東方向上，OA = 10 ，OB = 20 ，C在O的北偏西45° 方向上，CO =（1）求居民區(qū)A與C的距離；（2）現(xiàn)要經(jīng)過(guò)點(diǎn)O鋪設(shè)一條總光纜直線EF（E在直線OA的上方），并從A，B，C分別鋪設(shè)三條最短分光纜連接到總光纜EF假設(shè)鋪設(shè)每條分光纜的費(fèi)用與其長(zhǎng)度的平方成正比，比例系數(shù)為m（m為常數(shù)）設(shè)AOE = （0 <），鋪設(shè)三條分光纜的總費(fèi)用為w（元） 求w關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式； 求w的最小值及此時(shí)的值11.如圖，摩天輪的半徑為，點(diǎn)距地面的高度為，摩天輪作逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)的起始位置在最低點(diǎn)處.（1）試確定在時(shí)刻（）時(shí)點(diǎn)距離地面的高度；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)距離地面超過(guò)？（1）以為原點(diǎn)建系，在內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角為，以為始邊，為終邊的角為，故點(diǎn)縱坐標(biāo)為，距地面高度為；（2）令即，.答：一圈內(nèi)有2分鐘超過(guò).12.如圖，有一塊矩形空地，現(xiàn)規(guī)劃在該空地四邊形建一個(gè)商業(yè)區(qū)，其中頂點(diǎn)為商業(yè)區(qū)四個(gè)入口，且入口在邊上（不包含頂點(diǎn)），入口分別在邊上，矩形內(nèi)其余區(qū)域均為綠化區(qū)。（1）設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示。 求直線的方程 求的取值范圍。（2）設(shè)商業(yè)區(qū)域的面積為，綠化區(qū)域的面積為，問(wèn)入口如何選址，即為何值時(shí)，可使得該商業(yè)區(qū)域的環(huán)境舒適度指數(shù)最大？13.圖1是某種稱(chēng)為“凹槽”的機(jī)械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫截面（陰影部分）示意圖，其中四邊形是矩形，弧是半圓，凹槽的橫截面的周長(zhǎng)為若凹槽的強(qiáng)度等于橫截面的面積與邊的乘積，設(shè)，（1）寫(xiě)出關(guān)于函數(shù)表達(dá)式，并指出的取值范圍；（2）求當(dāng)取何值時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大【解】（）易知半圓的半徑為，故半圓的弧長(zhǎng)為所以，得2分依題意知：得所以，（）6分（）依題意，設(shè)凹槽的強(qiáng)度為，橫截面的面積為，則有，9分因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)，凹槽的強(qiáng)度最大13分答：所以當(dāng)，凹槽的強(qiáng)度最大14分14.如圖，OM，ON是兩條海岸線，Q為大海中一個(gè)小島，A為海岸線OM上的一個(gè)碼頭已知，Q到海岸線OM，ON的距離分別為3 km， km現(xiàn)要在海岸線ON上再建一個(gè)碼頭B，使得水上旅游線路AB（直線）經(jīng)過(guò)小島Q （1）求水上旅游線路AB的長(zhǎng)；（2）若小島正北方向距離小島6 km處的海中有一個(gè)圓形強(qiáng)水波P，水波生成t h時(shí)的半徑為（其中，R）強(qiáng)水波開(kāi)始生成時(shí)，一游輪以 km/h的速度自碼頭A開(kāi)往碼頭B，問(wèn)強(qiáng)水波是否會(huì)波及游輪的航行，并說(shuō)明理由解：（1）以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OM為軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示則由題設(shè)得：，直線ON的方程為 由，解得，所以2分故直線AQ的方程為，由得即，故， 5分答：水上旅游線的長(zhǎng)為km 6分（2）設(shè)試驗(yàn)產(chǎn)生的強(qiáng)水波圓P，由題意可得P（3，9），生成小時(shí)時(shí)，游輪在線段AB上的點(diǎn)C處，則，所以若強(qiáng)水波不會(huì)波及游輪的航行即 即， 10分當(dāng)時(shí)恒成立，當(dāng). ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)恒成立，即強(qiáng)水波不會(huì)波及游輪的航行14分答：在時(shí)，強(qiáng)水波不會(huì)波及游輪的航行 15分15.如圖所示，某市準(zhǔn)備在一個(gè)湖泊的一側(cè)修建一條直路OC；另一側(cè)修建一條觀光大道，它的前一段OD是以O(shè)為頂點(diǎn)，x軸為對(duì)稱(chēng)軸，開(kāi)口向右的拋物線的一部分，后一段DBC是函數(shù)y=Asin（x+）（A0，0，|），x4，8時(shí)的圖象，圖象的最高點(diǎn)為B（5，），DFOC，垂足為F（I）求函數(shù)y=Asin（x+）的解析式；（II）若在湖泊內(nèi)修建如圖所示的矩形水上樂(lè)園PMFE，問(wèn)點(diǎn)P落在曲線OD上何處時(shí)，水上樂(lè)園的面積最大？解：（）對(duì)于函數(shù)y=Asin（x+）由圖象可知，A=，=，將（5，），代入y=sin（x+）得：，|，所以=，所以函數(shù)的解析式為y=sin（x）（）在y=sin（x）中，令x=4，得D（4，4）從而得曲線OD的方程為y2=4x，（0x4）設(shè)點(diǎn)P（）（0t4），則矩形PMFE的面積為S=，0t4因?yàn)镾=4，由S=0得t=，且t時(shí)S0，S遞增，t時(shí)S0，S遞減，所以當(dāng)t=，S最大，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)16.某企業(yè)投入81萬(wàn)元經(jīng)銷(xiāo)某產(chǎn)品，經(jīng)銷(xiāo)時(shí)間共60個(gè)月，市場(chǎng)調(diào)研表明，該企業(yè)在經(jīng)銷(xiāo)這個(gè)產(chǎn)品期間第x個(gè)月的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元），為了獲得更多的利潤(rùn)，企業(yè)將每月獲得的利潤(rùn)投入到次月的經(jīng)營(yíng)中，記第x個(gè)月的當(dāng)月利潤(rùn)率，例如：（1）求g（10）；（2）求第x個(gè)月的當(dāng)月利潤(rùn)率g（x）；（3）該企業(yè)經(jīng)銷(xiāo)此產(chǎn)品期間，哪個(gè)月的當(dāng)月利潤(rùn)率最大，并求該月的當(dāng)月利潤(rùn)率解：（1）由題意得：f（1）=f（2）=f（3）=f（9）=f（10）=1g（x）=（2）當(dāng)1x20時(shí)，f（1）=f（2）f（x1）=f（x）=1g（x）=當(dāng)21x60時(shí)，g（x）=當(dāng)?shù)趚個(gè)月的當(dāng)月利潤(rùn)率；（3）當(dāng)1x20時(shí)，是減函數(shù)，此時(shí)g（x）的最大值為當(dāng)21x60時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即x=40時(shí)，又，當(dāng)x=40時(shí)，17.如圖，太湖一個(gè)角形湖灣（ 常數(shù)為銳角）. 擬用長(zhǎng)度為（為常數(shù)）的圍網(wǎng)圍成一個(gè)養(yǎng)殖區(qū)，有以下兩種方案可供選擇：方案一 如圖1，圍成扇形養(yǎng)殖區(qū)，其中；方案二 如圖2，圍成三角形養(yǎng)殖區(qū)，其中；（1）求方案一中養(yǎng)殖區(qū)的面積；（2）求方案二中養(yǎng)殖區(qū)的最大面積；（3）為使養(yǎng)殖區(qū)的面積最大，應(yīng)選擇何種方案？并說(shuō)明理由.（1）設(shè)，則，即，所以 .（2）設(shè).由余弦定理，得,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立.所以 ,即.答:為使養(yǎng)殖區(qū)的面積最大.應(yīng)選擇方案一.