福建省2020屆高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題 兩平面垂直的判定和性質(zhì) 理

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1、典型例題一 例1．根據(jù)敘述作圖，指出二面角的平面角并證明． （１）如圖1，已知．在內(nèi)作于，在內(nèi)作于． （２）如圖２，已知．作于，在內(nèi)作于，連結(jié)． （３）已知．作于，于，平面，連結(jié)、． 作圖與證明在此省略． 說(shuō)明：本題介紹了作二面角的平面角的三種常用方法，其中用三垂線(xiàn)定理及逆定理的方法最常用，還需補(bǔ)充這種方法的其他典型圖形． 典型例題二 例2. 如圖，在立體圖形中，若是的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是（ ）. （A）平面⊥平面 （B）平面⊥平面 （C）平面⊥平面，且平面⊥平面 （D）平面⊥平面，且平面⊥平面 分析：要判斷兩個(gè)平面的垂直關(guān)系，就

2、需固定其中一個(gè)平面，找另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)與第一個(gè)平面垂直. 解：因?yàn)榍沂堑闹悬c(diǎn)，所以同理有，于是平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?又由于平面,所以平面平面.所以選C. 說(shuō)明：本題意圖是訓(xùn)練學(xué)生觀(guān)察圖形，發(fā)現(xiàn)低級(jí)位置關(guān)系以便得到高級(jí)位置關(guān)系.在某一個(gè)平面內(nèi),得到線(xiàn)線(xiàn)垂直的重要途徑是出現(xiàn)等腰三角形底邊的中線(xiàn),由線(xiàn)線(xiàn)垂直得到線(xiàn)面垂直,由線(xiàn)面垂直可得到面面垂直. 典型例題三 例３．如圖，是所在平面外的一點(diǎn)，且平面，平面平面．求證． 分析：已知條件是線(xiàn)面垂直和面面垂直，要證明兩條直線(xiàn)垂直，應(yīng)將兩條直線(xiàn)中的一條納入一個(gè)平面中，使另一條直線(xiàn)與該平面垂直，即從線(xiàn)面垂直得到線(xiàn)線(xiàn)垂直．．

3、 證明：在平面內(nèi)作，交于．因?yàn)槠矫嫫矫嬗冢矫?，且，所以．又因?yàn)槠矫?，于是有①．另外平面，平面，所以．由①②及，可知平面．因?yàn)槠矫?，所以? 說(shuō)明：在空間圖形中，高一級(jí)的垂直關(guān)系中蘊(yùn)含著低一級(jí)的垂直關(guān)系，通過(guò)本題可以看到，面面垂直線(xiàn)面垂直線(xiàn)線(xiàn)垂直． 典型例題四 例４．如圖，是⊙的直徑，垂直于⊙所在的平面，是圓周上異于、的任意一點(diǎn)，求證：平面平面． 分析：證明面面垂直的有兩個(gè)依據(jù)，一是證明二面角的平面角為直角，二是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理．由于點(diǎn)的任意性，用方法一的可能性不大，所以要尋求線(xiàn)面垂直． 證明：因?yàn)槭恰训闹睆?，是圓周上的點(diǎn)，所以有①． 因?yàn)槠矫?，平面，則②．

4、 由①②及，得平面． 因?yàn)槠矫?，有平面平面? 說(shuō)明：低一級(jí)的垂直關(guān)系是判定高一級(jí)垂直關(guān)系的依據(jù)，根據(jù)條件，由線(xiàn)線(xiàn)垂直線(xiàn)面垂直面面垂直．通過(guò)這個(gè)例題展示了空間直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)共同構(gòu)成了一個(gè)完整的知識(shí)體系． 典型例題五 例５．如圖，點(diǎn)在銳二面角的棱上，在面內(nèi)引射線(xiàn)，使與所成的角為，與面所成的角大小為，求二面角的大?。? 分析：首先根據(jù)條件作出二面角的平面角，然后將平面角放入一個(gè)可解的三角形中（最好是直角三角形），通過(guò)解三角形使問(wèn)題得解． 解：在射線(xiàn)上取一點(diǎn)，作于，連結(jié)，則為射線(xiàn)與平面所成的角，．再作，交于，連結(jié)，則為在平面內(nèi)的射影．由三垂線(xiàn)

5、定理的逆定理，，為二面角的平面角． 設(shè)，在中，,在△中， , 是銳角，,即二面角等于． 說(shuō)明：本題綜合性較強(qiáng)，在一個(gè)圖形中出現(xiàn)了兩條直線(xiàn)所稱(chēng)的角，斜線(xiàn)與平面所稱(chēng)的角，二面角等空間角，這些空間角都要轉(zhuǎn)化為平面角，而且還要彼此聯(lián)系相互依存，要根據(jù)各個(gè)平面角的定義添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)． 典型例題六 例６．如圖，將邊長(zhǎng)為的正三角形以它的高為折痕折成一個(gè)二面角． （１）指出這個(gè)二面角的面、棱、平面角； （２）若二面角是直二面角，求的長(zhǎng)； （３）求與平面所成的角； （４）若二面角的平面角為，求二面角的平面角的正切值． 分析：根據(jù)問(wèn)題及圖形依次解決． 解：（１）二面角的面為和

6、面，棱為，二面角的平面角為． （２）若，． （３）平面，為與平面所成的角．在直角三角形中，，于是． （４）取的中點(diǎn)，連結(jié)、， ， 為二面角的平面角． 在直角三角形中，． 說(shuō)明：這是一個(gè)折疊問(wèn)題，要不斷地將折疊前后的圖形加以比較，抓住折疊前后的變與不變量． 典型例題七 例7　正方體的棱長(zhǎng)為1，是的中點(diǎn)．求二面角的大小． 分析：求二面角關(guān)鍵是確定它的平面角，按定義在二面角的棱上任取了點(diǎn)，在二個(gè)半平面上分別作棱的垂線(xiàn)，方法雖簡(jiǎn)便，但因與其他條件沒(méi)有聯(lián)系，要求這個(gè)平面角一般是很不容易的，所以在解題中不大應(yīng)用．在解題中應(yīng)用得較多的是“三垂線(xiàn)定理”的方法，如圖考慮到垂直于平

7、面，在平面上的射影就是．再過(guò)作的垂線(xiàn)，則面，過(guò)作的垂線(xiàn)，即為所求二面角的平面角了． 解：過(guò)作及的垂線(xiàn)，垂足分別是、，連結(jié)． ∵面，面， ∴， 又，∴面． 又∵，∴， ∴為所求二面角的平面角． ∵∽，∴． 而，，，∴． 在中，． ∵，∴． 在中，， 在中，， ∴． 典型例題八 例8　在所在平面外有一點(diǎn)，已知，與底面所成角為，二面角的大小為，且．求二面角的大?。? 分析：由題設(shè)易證，由已知得平面，顯然所求的二面角是直二面角，此時(shí)只需證明二面有的兩個(gè)面垂直即可．在解這種類(lèi)型題時(shí)，如果去作二面角的平面角，那么可能會(huì)走彎路． 解：如圖所示，作平面于，連結(jié)并延長(zhǎng)

8、交于，連結(jié)． ∵平面， ∴是與平面所成角，． ∵平面，， ∴，． ∴是二面角的平面角，． ∵，∴． 又∵，∴平面， ∴平面平面， ∴二面角的大小為． 說(shuō)明：二面角的平面角滿(mǎn)足三個(gè)條件：(1)頂點(diǎn)在棱上，(2)兩邊在面內(nèi)，(3)兩邊與棱垂直．應(yīng)注意不滿(mǎn)足第(3)條，不是二面角的平面角． 在求二面角大小時(shí)，若其平面角不易作出時(shí)，則可考慮判定兩平面是否垂直，如果兩平面垂直，則其二面角為，反之亦然． 典型例題九 例9　如果，，，那么． 分析：(1)本題是一道高考題，考查線(xiàn)面垂直和面面垂直的性質(zhì)和邏輯推理能力．要證，只要證明直線(xiàn)與平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直就可以了，從而借助

9、平面與平面垂直的性質(zhì)達(dá)到證明的目的；(2)要證，只要證明平行于平面的一條垂線(xiàn)就可以了，這也可以借助面面垂直的性質(zhì)加以考慮；(3)可以用“同一法”來(lái)證明． 證法一：如圖所示，設(shè)，， 過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)作于，作于． ∵，∴． 又，∴，同理可證． ∵且，∴． 證法二：如圖所示， 設(shè)，在平面內(nèi)作直線(xiàn)． ∵，∴． 設(shè)，在平面內(nèi)作直線(xiàn)．同理可證，因此． 由于，，∴． 而，，∴． 故由知，． 證法三：如圖所示 過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)作直線(xiàn)． ∵，， ∴，根據(jù)課本第37頁(yè)例2（如果兩個(gè)平面互相垂直， 那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線(xiàn)在第一個(gè)平面內(nèi)）， ∴．同理可

10、證，故． 椐公理2可知，直線(xiàn)與直線(xiàn)重合． ∴ 說(shuō)明：(1)本例實(shí)際上可作為兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，主要用于判斷直線(xiàn)和平面的垂直，在很多習(xí)題中都可以用到本例的結(jié)論． (2)本例的三種證明方法其思維角度不同，但都是圍繞“面面垂直”、“線(xiàn)面面垂直”的判定與性質(zhì)定理來(lái)進(jìn)行思考的，希望同學(xué)們今后在解題中多進(jìn)行這方面的訓(xùn)練，這對(duì)提高數(shù)學(xué)思維能力是大有裨益的． 典型例題十 例10　設(shè)由一點(diǎn)發(fā)出三條射線(xiàn)、、，，，，、、均為銳角，且．求證：平面平面． 分析：欲證兩平面垂直，只需證明其中一平面內(nèi)有一直線(xiàn)垂直于另一平面即可，此題設(shè)法通過(guò)線(xiàn)段關(guān)系過(guò)渡． 證明：如圖，任取點(diǎn)，作于，過(guò)作于，連結(jié)．

11、 ∵，， 故． 又由， 則，從而可得， 即，已作，故平面， 即有，已作，從而平面， 故平面平面． 說(shuō)明：本題易犯錯(cuò)誤是：作于，作于，連結(jié)，由三垂線(xiàn)定理得，∴平面，∴，∴平面．其錯(cuò)誤原因是作后，將誤認(rèn)為是平面的垂線(xiàn)． 此題的證明也可以作于，于，連結(jié)．在中，由余弦定理及條件，證明，從而，∴面，∴．由此進(jìn)一步證明，平面平面． 典型例題十一 例11　如果二面角的平面角是銳角，點(diǎn)到、和棱的距離分別為、、，求二面角的大?。? 分析：如果二面角內(nèi)部，也可能在外部，應(yīng)區(qū)別處理． 解：如圖甲是點(diǎn)在二面角的內(nèi)部時(shí)， 乙是點(diǎn)在二面角的外部時(shí)． ∵，∴． ∵，∴面． 同理，面，

12、 而面面 ∴面與面應(yīng)重合， 即、、、在同一平面內(nèi)， 是二面角的平面角． 在中，， ∴． 在中，， ∴， 故（圖甲）或（圖乙）． 說(shuō)明：作一個(gè)垂直于棱的平面，此平面與兩個(gè)半平面的交線(xiàn)所成的角就是二面角的平面角．這是本題得到二面平面角的方法，即所謂垂面法． 典型例題十二 例12　為的二面角內(nèi)一點(diǎn)，到和的距離均為10，求點(diǎn)到棱的距離． 分析：本題已知二面角的大小而求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，須做出二面角的平面角，然后將條件揉和在一起，便可解決問(wèn)題． 解：如圖， 過(guò)點(diǎn)作于，于， 設(shè)相交直線(xiàn)、確定的平面為，，則， 連結(jié)，則 ∵，， ∴，而平面， ∴， ∴的長(zhǎng)即

13、為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離． 又∵，， ∴是二面角的平面角，即． 而四邊形為一圓內(nèi)接四邊形，且為該四邊形的外接圓直徑． ∵四邊形的外接圓半徑等于由、、、中任意三點(diǎn)確定的三角形的外接圓半徑，因此求的長(zhǎng)可利用． 在中，，，∴． 由正弦定理：． 說(shuō)明：(1)該題尋找的二面角的平面角，所采取的方法即為垂面法，由此可見(jiàn)，若題目可找到與棱垂直的平面，用“垂面法”確定二面角的平面角也是一種可取的方法． (2)充分借助于四邊形為一圓內(nèi)接四邊形，∵，，∵即為其外接圓直徑，然后借助于四邊有的外接圓直徑等于其中任一三角形的外接圓直徑進(jìn)行轉(zhuǎn)移，由正弦定理幫助解決了問(wèn)題． 典型例題十三 例13　如圖，正方

14、體的棱長(zhǎng)為1，，求： (1)與所成的角； (2)與平面所成角的正切值； (3)平面與平面所成的角． 解：(1)∵， ∴與所成的角就是． ∵，平面， ∴（三垂線(xiàn)定理）． 在中，，， ∴． (2)作，平面平面． ∴平面，為與平面所成的角． 在中，，． ∴． (3)∵，，∴平面． 又∵平面，∴平面平面． 說(shuō)明：本題包含了線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)面角和面面角三類(lèi)問(wèn)題．求角度問(wèn)題主要是求兩條異面直線(xiàn)所成角，直線(xiàn)和平面所成角，二面角三種． 典型例題十四 例14　如圖，矩形，平面，若，與平面所成的角為，與平面成角，求： (1)的長(zhǎng)； (2)求與所在的角； (3)求二面角的

15、余弦值． 分析：從圖中可以看出，四面體是一個(gè)基礎(chǔ)四面體，前面已推導(dǎo)出平面與平面所成的二面角的余弦值為，可見(jiàn)，基礎(chǔ)四面體作為一部分，經(jīng)常出現(xiàn)在某些幾何體中． 解：(1)∵平面，∴． 又平面， ∴為與平面所在的角， 即． 同理：即為與平面所成的角， ∴， 在中，∵，∴． 在中，，∴，． 在中，，，∴． (2)∵，∴與所成的角， 即為與所成的角，即為與所成的角 ∵平面，，∴（三垂線(xiàn)定理）． 在中，，，∴． (3)由點(diǎn)向作垂線(xiàn)，垂足為，由點(diǎn)向作垂線(xiàn)，垂足為，連結(jié)． ∵平面，∴． 又，∴平面， 為平面的斜線(xiàn)，由于， ∴由三垂線(xiàn)定理：． ∴為二面角的平面角 在

16、中，，，， ∴． 在中，，，， ∴， ∴． ∴， ∴二面角的余弦值為． 說(shuō)明：解空間幾何計(jì)算問(wèn)題，一般要做兩件事：一件是根據(jù)問(wèn)題的需要作必要證明，如本題中的線(xiàn)線(xiàn)所成的角、面面所成的角從理認(rèn)上都必須說(shuō)清楚究竟是誰(shuí)； 另一件事才是計(jì)算，這兩件事是根據(jù)問(wèn)題解答邏輯上的需要有機(jī)的結(jié)合在一起的． 典型例題十五 例15　過(guò)點(diǎn)引三條不共面的直線(xiàn)、、，如圖，，，若截取 (1)求證：平面平面； (2)求到平面的距離． 分析：要證明平面平面，根據(jù)面面垂直的判定定理，須在平面或平面內(nèi)找到一條與另一個(gè)平面垂直的直線(xiàn)． (1)證明：∵， 又， ∴和都是等邊三角形， ∴， 取的

17、中點(diǎn)，連結(jié)，∴． 在中，， ∴，， ∴，∴． 在中，∴，，， ∴，∴， ∴平面． ∵平面，∴平面平面． 或：∵， ∴頂點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為的外心， 又為，∴在斜邊上， 又為等腰直角三角形，∴為的中點(diǎn)， ∴平面． ∵平面，∴平面平面． (2)解：由前所證：，，∴平面， ∴的長(zhǎng)即為點(diǎn)到平面的距離，， ∴點(diǎn)到平面的距離為． 典型例題十六 例16　判斷下列命題的真假 (1)兩個(gè)平面垂直，過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作與它們交線(xiàn)垂直的直線(xiàn)，必垂直于另一個(gè)平面． (2)兩個(gè)平面垂直，分別在兩個(gè)平面內(nèi)且互相垂直的兩直線(xiàn)，一定分別與另一平面垂直； (3)兩平面垂直，分別在這

18、兩個(gè)平面內(nèi)的兩直線(xiàn)互相垂直． 分析：(1)若該點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線(xiàn)上，則命題是錯(cuò)誤的，如圖，正方體中，平面平面，平面平面，在上取點(diǎn)，連結(jié)，則，即過(guò)棱上一點(diǎn)的直線(xiàn)與棱垂直，但與平面不垂直，其錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有保證在平面內(nèi)．可以看出：線(xiàn)在面內(nèi)這一條件的重要性； (2)該命題注意了直線(xiàn)在平面內(nèi)，但不能保證這兩條直線(xiàn)都與棱垂直，如圖，在正方體中，平面平面，平面，平面，且，即與相互垂直，但與平面不垂直； (3)如上圖，正方體中，平面平面，平面，平面，與所成的角為，即與不垂直． 說(shuō)明：必須注意兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理成立的條件：(1)線(xiàn)在面內(nèi)，(2)線(xiàn)垂直于交線(xiàn)，從而可得出線(xiàn)面垂直． 典型例題

19、十七 例17　如圖，在二面角內(nèi)有一點(diǎn)，到、的距離分別為3和5，求到交線(xiàn)的距離． 解：作于，于， 設(shè)，所確定的平面為，， 連，，∵， ∴． 同理，∴平面， ∴，則是到的距離． 在四邊形中，， ∴是圓的內(nèi)接四邊形，且． 又∵，， ∴， ． 說(shuō)明：本例作二面角的平面角用作垂面法，避免了再證明、、、四點(diǎn)共面，同時(shí)用到正弦定理和余弦定理． 典型例題十八 例18　如圖，四面體中，是等腰三角形，，，且平面，．求點(diǎn)到平面的距離． 分析：考慮利用兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理作出點(diǎn)到的垂線(xiàn)，先確定一個(gè)過(guò)點(diǎn)和平面垂直的平面，∵平面，故作于，連結(jié)，則平面平面，平面實(shí)際上就是二面角的平面角所在的平面，因此，它的作圖過(guò)程和用三垂線(xiàn)法作二面角的平面角的作圖過(guò)程完全相同． 解：作交于，連結(jié)， ∵平面，根據(jù)三垂線(xiàn)定理有，又， ∴平面，又平面， ∴平面平面，且平面平面， ∴過(guò)點(diǎn)作于，由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知：平面． 在中，，， ∴， 即點(diǎn)到平面的距離為． 說(shuō)明：二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱，同時(shí)垂直于二面角的兩個(gè)兩．從本例可以看出：要求點(diǎn)到平面的距離，只要過(guò)該點(diǎn)找到與已知平面垂直的平面，則點(diǎn)面距即可根據(jù)面面垂直的性質(zhì)作出．