福建省2020屆高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題 圓的方程 理

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1、典型例題一 例1 圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有幾個(gè)？ 分析：借助圖形直觀求解．或先求出直線、的方程，從代數(shù)計(jì)算中尋找解答． 解法一：圓的圓心為，半徑． 設(shè)圓心到直線的距離為，則． 如圖，在圓心同側(cè)，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)符合題意． 又． ∴與直線平行的圓的切線的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意． ∴符合題意的點(diǎn)共有3個(gè)． 解法二：符合題意的點(diǎn)是平行于直線，且與之距離為1的直線和圓的交點(diǎn)． 設(shè)所求直線為，則， ∴，即，或，也即 ，或． 設(shè)圓的圓心到直線、的距離為、，則 ，． ∴與相切，與圓有一個(gè)公共點(diǎn)；與圓相交，與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．即

2、符合題意的點(diǎn)共3個(gè)． 說(shuō)明：對(duì)于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解： 設(shè)圓心到直線的距離為，則． ∴圓到距離為1的點(diǎn)有兩個(gè)． 顯然，上述誤解中的是圓心到直線的距離，，只能說(shuō)明此直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，而不能說(shuō)明圓上有兩點(diǎn)到此直線的距離為1． 到一條直線的距離等于定值的點(diǎn)，在與此直線距離為這個(gè)定值的兩條平行直線上，因此題中所求的點(diǎn)就是這兩條平行直線與圓的公共點(diǎn)．求直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系來(lái)判斷，即根據(jù)圓心與直線的距離和半徑的大小比較來(lái)判斷． 典型例題三 例3 求過(guò)兩點(diǎn)、且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)與圓的關(guān)系． 分析：欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的

3、圓的半徑的大小，而要判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，只須看點(diǎn)與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大于半徑，則點(diǎn)在圓外；若距離等于半徑，則點(diǎn)在圓上；若距離小于半徑，則點(diǎn)在圓內(nèi)． 解法一：（待定系數(shù)法） 設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． ∵圓心在上，故． ∴圓的方程為． 又∵該圓過(guò)、兩點(diǎn)． ∴ 解之得：，． 所以所求圓的方程為． 解法二：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑） 因?yàn)閳A過(guò)、兩點(diǎn)，所以圓心必在線段的垂直平分線上，又因?yàn)?，故的斜率?，又的中點(diǎn)為，故的垂直平分線的方程為：即． 又知圓心在直線上，故圓心坐標(biāo)為 ∴半徑． 故所求圓的方程為． 又點(diǎn)到圓心的距離為 ． ∴點(diǎn)在圓外． 說(shuō)明：本題

4、利用兩種方法求解了圓的方程，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個(gè)關(guān)鍵的量，然后根據(jù)圓心與定點(diǎn)之間的距離和半徑的大小關(guān)系來(lái)判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若將點(diǎn)換成直線又該如何來(lái)判定直線與圓的位置關(guān)系呢？ 典型例題四 例4　圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有（ ）． （A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè) 分析：把化為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以在圓上共有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，所以選C． 典型例題五 例5　過(guò)點(diǎn)作直線，當(dāng)斜率為何值時(shí)，直線與圓有公共點(diǎn)，如圖所示． 分析：觀察動(dòng)畫(huà)演示，分析思路． P E O y x 解：設(shè)直線的

5、方程為 即 根據(jù)有 整理得 解得 ． 典型例題六 例6　已知圓，求過(guò)點(diǎn)與圓相切的切線． 解：∵點(diǎn)不在圓上， ∴切線的直線方程可設(shè)為 根據(jù) ∴ 解得 所以 即 因?yàn)檫^(guò)圓外一點(diǎn)作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見(jiàn)另一條直線的斜率不存在．易求另一條切線為． 說(shuō)明：上述解題過(guò)程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補(bǔ)回漏掉的解． 本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方

6、程代入圓方程，用判別式等于0解決（也要注意漏解）．還可以運(yùn)用，求出切點(diǎn)坐標(biāo)、的值來(lái)解決，此時(shí)沒(méi)有漏解． 典型例題七 例7　自點(diǎn)發(fā)出的光線射到軸上，被軸反射，反射光線所在的直線與圓相切 （1）求光線和反射光線所在的直線方程． G O B N M y A x 圖3 C A’ （2）光線自到切點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程． 分析、略解：觀察動(dòng)畫(huà)演示，分析思路．根據(jù)對(duì)稱關(guān)系，首先求出點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，其次設(shè)過(guò)的圓的切線方程為 根據(jù)，即求出圓的切線的斜率為 或 進(jìn)一步求出反射光線所在的直線的方程為 或 最后根據(jù)入射光與反射光關(guān)于軸對(duì)稱，求出入射光所在

7、直線方程為 或 光路的距離為，可由勾股定理求得． 說(shuō)明：本題亦可把圓對(duì)稱到軸下方，再求解． 典型例題八 例8 如圖所示，已知圓與軸的正方向交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)做圓的切線，切點(diǎn)為，求垂心的軌跡． 分析：按常規(guī)求軌跡的方法，設(shè)，找的關(guān)系非常難．由于點(diǎn)隨，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，可考慮，，三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系． 解：設(shè)，，連結(jié)，， 則，，是切線， 所以，，， 所以四邊形是菱形． 所以，得 又滿足， 所以即是所求軌跡方程． 說(shuō)明：題目巧妙運(yùn)用了三角形垂心的性質(zhì)及菱形的相關(guān)知識(shí)．采取代入法求軌跡方程．做題時(shí)應(yīng)注意分析圖形的幾何性質(zhì)，求軌跡時(shí)應(yīng)注意分析與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)

8、，如相關(guān)聯(lián)點(diǎn)軌跡方程已知，可考慮代入法． 典型例題九 例9 求半徑為4，與圓相切，且和直線相切的圓的方程． 分析：根據(jù)問(wèn)題的特征，宜用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解． 解：則題意，設(shè)所求圓的方程為圓． 圓與直線相切，且半徑為4，則圓心的坐標(biāo)為或． 又已知圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為3． 若兩圓相切，則或． (1)當(dāng)時(shí)，，或(無(wú)解)，故可得． ∴所求圓方程為，或． (2)當(dāng)時(shí)，，或(無(wú)解)，故． ∴所求圓的方程為，或． 說(shuō)明：對(duì)本題，易發(fā)生以下誤解： 由題意，所求圓與直線相切且半徑為4，則圓心坐標(biāo)為，且方程形如．又圓，即，其圓心為，半徑為3．若兩圓相切，則．故，解之得．所

9、以欲求圓的方程為，或． 上述誤解只考慮了圓心在直線上方的情形，而疏漏了圓心在直線下方的情形．另外，誤解中沒(méi)有考慮兩圓內(nèi)切的情況．也是不全面的． 典型例題十 例10 已知圓與直線相交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值． 分析：設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)為、，則由，可得，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解．或因?yàn)橥ㄟ^(guò)原點(diǎn)的直線的斜率為，由直線與圓的方程構(gòu)造以為未知數(shù)的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出的值，從而使問(wèn)題得以解決． 解法一：設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)為、．一方面，由，得 ，即，也即：．　　?、? 另一方面，、是方程組的實(shí)數(shù)解，即、是方程　　　　② 的兩個(gè)根． ∴，．　③ 又、在直線上， ∴

10、． 將③代入，得．　?、? 將③、④代入①，解得，代入方程②，檢驗(yàn)成立， ∴． 解法二：由直線方程可得，代入圓的方程，有 ， 整理，得． 由于，故可得 ． ∴，是上述方程兩根．故．得 ，解得． 經(jīng)檢驗(yàn)可知為所求． 說(shuō)明：求解本題時(shí)，應(yīng)避免去求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)的具體數(shù)值．除此之外，還應(yīng)對(duì)求出的值進(jìn)行必要的檢驗(yàn)，這是因?yàn)樵谇蠼膺^(guò)程中并沒(méi)有確保有交點(diǎn)、存在． 解法一顯示了一種解這類題的通法，解法二的關(guān)鍵在于依據(jù)直線方程構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于的二次齊次方程，雖有規(guī)律可循，但需一定的變形技巧，同時(shí)也可看出，這種方法給人以一種淋漓酣暢，一氣呵成之感． 典型例題十一 例11

11、求經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線和都相切的圓的方程． 分析：欲確定圓的方程．需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過(guò)定點(diǎn)，故只需確定圓心坐標(biāo)．又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上． 解：∵圓和直線與相切， ∴圓心在這兩條直線的交角平分線上， 又圓心到兩直線和的距離相等． ∴． ∴兩直線交角的平分線方程是或． 又∵圓過(guò)點(diǎn)， ∴圓心只能在直線上． 設(shè)圓心 ∵到直線的距離等于， ∴． 化簡(jiǎn)整理得． 解得：或 ∴圓心是，半徑為或圓心是，半徑為． ∴所求圓的方程為或． 說(shuō)明：本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程，這是過(guò)定點(diǎn)且與兩

12、已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法． 典型例題十二 例12 設(shè)圓滿足：(1)截軸所得弦長(zhǎng)為2；(2)被軸分成兩段弧，其弧長(zhǎng)的比為，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線的距離最小的圓的方程． 分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，便可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．滿足兩個(gè)條件的圓有無(wú)數(shù)個(gè)，其圓心的集合可看作動(dòng)點(diǎn)的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點(diǎn)到直線的距離公式，通過(guò)求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定圓的半徑，求出圓的方程． 解法一：設(shè)圓心為，半徑為． 則到軸、軸的距離分別為和． 由題設(shè)知：圓截軸所得劣弧所對(duì)的圓心角為，故圓截軸所得弦長(zhǎng)為． ∴

13、又圓截軸所得弦長(zhǎng)為2． ∴． 又∵到直線的距離為 ∴ 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)，此時(shí)． 這時(shí)有 ∴或 又 故所求圓的方程為或 解法二：同解法一，得 ． ∴． ∴． 將代入上式得： ． 上述方程有實(shí)根，故 ， ∴． 將代入方程得． 又　　∴． 由知、同號(hào)． 故所求圓的方程為或． 說(shuō)明：本題是求點(diǎn)到直線距離最小時(shí)的圓的方程，若變換為求面積最小呢？ 典型例題十三 例13 兩圓與相交于、兩點(diǎn)，求它們的公共弦所在直線的方程． 分析：首先求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線的方程，但是求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過(guò)程太繁．為了避免求交點(diǎn)，可以采用“設(shè)而不求

14、”的技巧． 解：設(shè)兩圓、的任一交點(diǎn)坐標(biāo)為，則有： 　　?、? 　　?、? ①－②得：． ∵、的坐標(biāo)滿足方程． ∴方程是過(guò)、兩點(diǎn)的直線方程． 又過(guò)、兩點(diǎn)的直線是唯一的． ∴兩圓、的公共弦所在直線的方程為． 說(shuō)明：上述解法中，巧妙地避開(kāi)了求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒(méi)有去求它，而是利用曲線與方程的概念達(dá)到了目標(biāo)．從解題的角度上說(shuō)，這是一種“設(shè)而不求”的技巧，從知識(shí)內(nèi)容的角度上說(shuō)，還體現(xiàn)了對(duì)曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對(duì)直線方程是一次方程的本質(zhì)認(rèn)識(shí)．它的應(yīng)用很廣泛． 典型例題十四 例14　已知對(duì)于圓上任意一點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解：運(yùn)用圓的參數(shù)

15、方程，設(shè)的坐標(biāo)為， 即，， ∵恒成立 ∴恒成立 即恒成立 ∴只需大于等于的最大值． 令 的最大值為 ∴ 說(shuō)明：在上述解法中我們運(yùn)用了圓上點(diǎn)的參數(shù)設(shè)法．采用這種設(shè)法的優(yōu)點(diǎn)在于，一方面可以減少參數(shù)的個(gè)數(shù)，另一方面可以靈活地運(yùn)用三角公式．從代數(shù)的觀點(diǎn)看，這種設(shè)法的實(shí)質(zhì)就是三角代換． 另外本題也可以不用圓的參數(shù)方程求解，本題的實(shí)質(zhì)就是求最值問(wèn)題，方法較多．但以上述解法較簡(jiǎn)． 典型例題十五 例15 試求圓(為參數(shù))上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大(小)值． 分析：利用兩點(diǎn)間距離公式求解或數(shù)形結(jié)合求解． 解法一：設(shè)是圓上任一點(diǎn)，則．所以 ． 因?yàn)椋?，因? 當(dāng)時(shí)，．

16、 當(dāng)時(shí)，． 解法二：將圓代入普通方程得． 如圖所示可得，、分別是圓上的點(diǎn)到的距離的最小值和最大值．易知：，． 說(shuō)明： (1)在圓的參數(shù)方程(為參數(shù))中，為圓心，為半徑，參數(shù)的幾何意義是：圓的半徑從軸正向繞圓心按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到所得圓心角的大?。粼c(diǎn)為圓心，常常用來(lái)表示半徑為的圓上的任一點(diǎn)． (2)圓的參數(shù)方程也是解決某些代數(shù)問(wèn)題的一個(gè)重要工具． 典型例題十六 例16 已知圓的方程為，圓內(nèi)有定點(diǎn)，圓周上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、，使，求矩形的頂點(diǎn)的軌跡方程． 分析：利用幾何法求解，或利用轉(zhuǎn)移法求解，或利用參數(shù)法求解． 解法一：如圖，在矩形中，連結(jié)，交于，顯然，， 在直角三角形

17、中，若設(shè)，則． 由，即 ， 也即，這便是的軌跡方程． 解法二：設(shè)、、，則，． 又，即 ．① 又與的中點(diǎn)重合，故，，即 ?、? ①＋②，有． 這就是所求的軌跡方程． 解法三：設(shè)、、， 由于為矩形，故與的中點(diǎn)重合，即有 ，　　?、? ，　　　② 又由有　?、? 聯(lián)立①、②、③消去、，即可得點(diǎn)的軌跡方程為． 說(shuō)明：本題的條件較多且較隱含，解題時(shí)，思路應(yīng)清晰，且應(yīng)充分利用圖形的幾何性質(zhì)，否則，將使解題陷入困境之中． 本題給出三種解法．其中的解法一是幾何方法，它充分利用了圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系．而解法二與解法三，從本質(zhì)上是一樣的，都可以稱為參數(shù)方法．解法二涉及到了、、、四個(gè)參

18、數(shù)，故需列出五個(gè)方程；而解法三中，由于借助了圓的參數(shù)方程，只涉及到兩個(gè)參數(shù)、，故只需列出三個(gè)方程便可．上述三種解法的共同之處是，利用了圖形的幾何特征，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法求解． 典型例題十七 例17 設(shè)點(diǎn)是圓是任一點(diǎn)，求的取值范圍． 分析一：利用圓上任一點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)代替、，轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題來(lái)解決． 解法一：設(shè)圓上任一點(diǎn) 則有， ∴，∴ ∴． 即（） ∴． 又∵ ∴ 解之得：． 分析二：的幾何意義是過(guò)圓上一動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)的連線的斜率，利用此直線與圓有公共點(diǎn)，可確定出的取值范圍． 解法二：由得：，此直線與圓有公共點(diǎn)，故點(diǎn)到直線的距離． ∴ 解得：． 另外，直線

19、與圓的公共點(diǎn)還可以這樣來(lái)處理： 由消去后得：， 此方程有實(shí)根，故， 解之得：． 說(shuō)明：這里將圓上的點(diǎn)用它的參數(shù)式表示出來(lái)，從而將求變量的范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)來(lái)求解．或者是利用其幾何意義轉(zhuǎn)化成斜率來(lái)求解，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)捷方便． 典型例題十八 例18 已知對(duì)于圓上任一點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 分析一：為了使不等式恒成立，即使恒成立，只須使就行了．因此只要求出的最小值，的范圍就可求得． 解法一：令， 由 得： ∵且， ∴． 即，∴， ∴，即 又恒成立即恒成立． ∴成立， ∴． 分析二：設(shè)圓上一點(diǎn)[因?yàn)檫@時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程]問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用

20、三解問(wèn)題來(lái)解． 解法二：設(shè)圓上任一點(diǎn) ∴， ∵恒成立 ∴ 即恒成立． ∴只須不小于的最大值． 設(shè) ∴即． 說(shuō)明：在這種解法中，運(yùn)用了圓上的點(diǎn)的參數(shù)設(shè)法．一般地，把圓上的點(diǎn)設(shè)為()．采用這種設(shè)法一方面可減少參數(shù)的個(gè)數(shù)，另一方面可以靈活地運(yùn)用三角公式．從代數(shù)觀點(diǎn)來(lái)看，這種做法的實(shí)質(zhì)就是三角代換． 典型例題十九 例19　(1)已知圓，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大、最小值． (2)已知圓，為圓上任一點(diǎn)．求的最大、最小值，求的最大、最小值． 分析：(1)、(2)兩小題都涉及到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決． 解：(1)(法1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 可設(shè)圓的參

21、數(shù)方程為（是參數(shù)）． 則 （其中）． 所以，． (法2)圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值等于圓心到原點(diǎn)的距離加上半徑1，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值等于圓心到原點(diǎn)的距離減去半徑1． 所以． ． 所以．． (2) (法1)由得圓的參數(shù)方程：是參數(shù)． 則．令， 得， ． 所以，． 即的最大值為，最小值為． 此時(shí)． 所以的最大值為，最小值為． (法2)設(shè)，則．由于是圓上點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有交點(diǎn)時(shí)，如圖所示， 兩條切線的斜率分別是最大、最小值． 由，得． 所以的最大值為，最小值為． 令，同理兩條切線在軸上的截距分別是最大、最小值． 由，得． 所以的最大值為，最小值為．

22、 典型例題二十 例20 有一種大型商品，、兩地都有出售，且價(jià)格相同．某地居民從兩地之一購(gòu)得商品后運(yùn)回的費(fèi)用是：每單位距離地的運(yùn)費(fèi)是地的運(yùn)費(fèi)的3倍．已知、兩地距離為10公里，顧客選擇地或地購(gòu)買這種商品的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低．求、兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購(gòu)貨地點(diǎn)． 分析：該題不論是問(wèn)題的背景或生活實(shí)際的貼近程度上都具有深刻的實(shí)際意義和較強(qiáng)的應(yīng)用意識(shí)，啟示我們?cè)趯W(xué)習(xí)中要注意聯(lián)系實(shí)際，要重視數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活以及相關(guān)學(xué)科的應(yīng)用．解題時(shí)要明確題意，掌握建立數(shù)學(xué)模型的方法． 解：以、所確定的直線為軸，的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系． ∵，∴，． 設(shè)某地的坐標(biāo)為，且地居民選擇地購(gòu)買商品便宜，并設(shè)地的運(yùn)費(fèi)為元/公里，地的運(yùn)費(fèi)為元/公里．因?yàn)榈鼐用褓?gòu)貨總費(fèi)用滿足條件： 價(jià)格＋地運(yùn)費(fèi)≤價(jià)格＋地的運(yùn)費(fèi) 即：． ∵， ∴ 化簡(jiǎn)整理得： ∴以點(diǎn)為圓心為半徑的圓是兩地購(gòu)貨的分界線． 圓內(nèi)的居民從地購(gòu)貨便宜，圓外的居民從地購(gòu)貨便宜，圓上的居民從、兩地購(gòu)貨的總費(fèi)用相等．因此可隨意從、兩地之一購(gòu)貨． 說(shuō)明：實(shí)際應(yīng)用題要明確題意，建議數(shù)學(xué)模型．