福建省2020屆高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題 離散型隨機(jī)變量的期望與方差 理

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1、開鎖次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差 例 有n把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有一把能把大門上的鎖打開．用它們?nèi)ピ囬_門上的鎖．設(shè)抽取鑰匙是相互獨(dú)立且等可能的．每把鑰匙試開后不能放回．求試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差． 分析：求時(shí)，由題知前次沒打開，恰第k次打開．不過(guò)，一般我們應(yīng)從簡(jiǎn)單的地方入手，如，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，推廣到一般． 解：的可能取值為1，2，3，…，n． ；所以的分布列為： 1 2 … k … n … … ； 說(shuō)明：復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)化處理，即從個(gè)數(shù)較小的看起，找出規(guī)律所在，進(jìn)而推廣到一般，方差的公式正確使用后，

2、涉及一個(gè)數(shù)列求和問(wèn)題，合理拆項(xiàng)，轉(zhuǎn)化成熟悉的公式，是解決的關(guān)鍵． 次品個(gè)數(shù)的期望 例 某批數(shù)量較大的商品的次品率是5％，從中任意地連續(xù)取出10件，為所含次品的個(gè)數(shù)，求． 分析：數(shù)量較大，意味著每次抽取時(shí)出現(xiàn)次品的概率都是0.05，可能取值是：0，1，2，…，10．10次抽取看成10次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以抽到次品數(shù)服從二項(xiàng)分布，由公式可得解． 解：由題，，所以． 說(shuō)明：隨機(jī)變量的概率分布，是求其數(shù)學(xué)期望的關(guān)鍵．因此，入手時(shí)，決定取哪些值及其相應(yīng)的概率，是重要的突破點(diǎn)．此題，應(yīng)覺察到這是． 根據(jù)分布列求期望和方差 例 設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列如下表，求值，并求．

3、 －1 0 1 P 分析：根據(jù)分布列的兩個(gè)性質(zhì)，先確定q的值，當(dāng)分布列確定時(shí)，只須按定義代公式即可． 解： 離散型隨機(jī)變量的分布滿足 （1） （2） 所以有解得 故的分布列為 －1 0 1 P 小結(jié)：解題時(shí)不能忽視條件時(shí)，，否則取了 的值后，辛辛苦苦計(jì)算得到的是兩個(gè)毫無(wú)用處的計(jì)算． 產(chǎn)品中次品數(shù)分布列與期望值 例 一批產(chǎn)品共100件，其中有10件是次品，為了檢驗(yàn)其質(zhì)量，從中以隨機(jī)的方式選取5件，求在抽取的這5件產(chǎn)品中次品數(shù)分布列與期望值，并說(shuō)明5件中有3件以上（包括3件）為次品的概率．（精確到0．

4、001） 分析：根據(jù)題意確定隨機(jī)變量及其取值，對(duì)于次品在3件以上的概率是3，4，5三種情況的和． 解：抽取的次品數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)為，顯然可以取從0到5的6個(gè)整數(shù)． 抽樣中，如果恰巧有個(gè)（）次品，則其概率為 按照這個(gè)公式計(jì)算，并要求精確到0．001，則有 故的分布列為 0 1 2 3 4 5 P 0.583 0.340 0.070 0.007 0 0 由分布列可知， 這就是說(shuō)，所抽取的5件品中3件以上為次品的可能性很小，只有7％． 評(píng)定兩保護(hù)區(qū)的管理水平 例 甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動(dòng)物的種類和數(shù)量

5、也大致相等．而兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為： 甲保護(hù)區(qū)： 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.2 乙保護(hù)區(qū)： 0 1 2 0.1 0.5 0.4 試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平． 分析：一是要比較一下甲、乙兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的違規(guī)事件的次數(shù)的均值，即數(shù)學(xué)期望；二是要看發(fā)生違規(guī)事件次數(shù)的波動(dòng)情況，即方差值的大?。ó?dāng)然，亦可計(jì)算其標(biāo)準(zhǔn)差，同樣說(shuō)明道理．） 解：甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差為： 乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差為： ； 因?yàn)?，所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的違規(guī)平均

6、次數(shù)是相同的，但乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定，而甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對(duì)分散和波動(dòng)． （標(biāo)準(zhǔn)差這兩個(gè)值在科學(xué)計(jì)算器上容易獲得，顯然，） 說(shuō)明：數(shù)學(xué)期望僅體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小，但有時(shí)僅知道均值大小還是不夠的，比如：兩個(gè)隨機(jī)變量的均值相等了（即數(shù)學(xué)期望值相等），這就還需要知道隨機(jī)變量的取值如何在均值周期變化，即計(jì)算其方差（或是標(biāo)準(zhǔn)差）．方差大說(shuō)明隨機(jī)變量取值分散性大；方差小說(shuō)明取值分散性小或者說(shuō)取值比較集中、穩(wěn)定． 射擊練習(xí)中耗用子彈數(shù)的分布列、期望及方差 例 某射手進(jìn)行射擊練習(xí)，每射擊5發(fā)子彈算一組，一旦命中就停止射擊，并進(jìn)入下一組的練習(xí)，否則一直打完5發(fā)子彈后才

7、能進(jìn)入下一組練習(xí)，若該射手在某組練習(xí)中射擊命中一次，并且已知他射擊一次的命中率為0.8，求在這一組練習(xí)中耗用子彈數(shù)的分布列，并求出的期望與方差（保留兩位小數(shù)）． 分析：根據(jù)隨機(jī)變量不同的取值確定對(duì)應(yīng)的概率，在利用期望和方差的定義求解． 解： 該組練習(xí)耗用的子彈數(shù)為隨機(jī)變量，可以取值為1，2，3，4，5． ＝1，表示一發(fā)即中，故概率為 ＝2，表示第一發(fā)未中，第二發(fā)命中，故 ＝3，表示第一、二發(fā)未中，第三發(fā)命中，故 ＝4，表示第一、二、三發(fā)未中，第四發(fā)命中，故 ＝5，表示第五發(fā)命中，故 因此，的分布列為 1 2 3 4 5 P 0.8 0.1

8、6 0.032 0.0064 0.0016 說(shuō)明：解決這類問(wèn)題首先要確定隨機(jī)變量的所有可能取值，然后再根據(jù)概率的知識(shí)求解對(duì)應(yīng)的概率． 準(zhǔn)備禮品的個(gè)數(shù) 例 某尋呼臺(tái)共有客戶3000人，若尋呼臺(tái)準(zhǔn)備了100份小禮品，邀請(qǐng)客戶在指定時(shí)間來(lái)領(lǐng)?。僭O(shè)任一客戶去領(lǐng)獎(jiǎng)的概率為4％．問(wèn)：尋呼臺(tái)能否向每一位顧客都發(fā)出獎(jiǎng)邀請(qǐng)？若能使每一位領(lǐng)獎(jiǎng)人都得到禮品，尋呼臺(tái)至少應(yīng)準(zhǔn)備多少禮品？ 分析：可能來(lái)多少人，是一個(gè)隨機(jī)變量．而顯然是服從二項(xiàng)分布的，用數(shù)學(xué)期望來(lái)反映平均來(lái)領(lǐng)獎(jiǎng)人數(shù)，即能說(shuō)明是否可行． 解：設(shè)來(lái)領(lǐng)獎(jiǎng)的人數(shù)，所以，可見，所以，（人）（人）． 答：不能，尋呼臺(tái)至少應(yīng)準(zhǔn)備120份禮品． 說(shuō)明：“能”與“不能”是實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)到數(shù)學(xué)中來(lái)，即用數(shù)字來(lái)說(shuō)明問(wèn)題．?dāng)?shù)字期望反映了隨機(jī)變量取值的平均水平．用它來(lái)刻畫、比較和描述取值的平均情況，在一些實(shí)際問(wèn)題中有重要的價(jià)值．因此，要想到用期望來(lái)解決這一問(wèn)題．